Tag Archives: PDE

Derivation of Navier-Stokes equation

이 글은 Euler equation에서 얻는 momentum conservation law로부터 Newtonian fluid에서의 Navier-Stokes equation을 유도하는 것을 목표로 한다. 를 유체의 밀도라고 하고, 를 유체의 속도, 를 유체의 압력이라 하자.  Euler equation에서 얻는 momentum conservation law는 다음과 같다:     여기서 이다. 여기서 이 방정식은 ideal fluid에서 유도된 것이다. ideal fluid은 열 교환이나 점성을 무시하는 유체다. 그러나 Navier-Stokes… Read More »

Sobolev Embedding

Sobolev space 는 거칠게 말하면 에서 정의된 함수 가 함수이고 -times weak derivative 또한 인 함수들의 모임을 말한다. 기본적으로 Sobolev embedding은 다음과 같은 경우를 말한다. 이고 이고     를 만족하는 을 생각하자. 그러면     가 성립하며 이 embedding은 continuous이다. 특히 이고 일 때,     가 성립한다. 여기서 는 를 만족하는 수다. 이… Read More »

Sobolev space and continuous representative

라 하고 는 unbounded인 경우도 고려한다. 에 대하여 Sobolev space 를 다음과 같이 정의한다.     이 공간에서의 norm은     라 정의한다. 이 글에서 증명하고자 하는 바는 다음과 같다. Theorem. 라 하고 라 하자. 여기서 는 bounded 또는 unbounded이다. 그러면     이고     인 가 존재한다. 본격적으로 증명하기 전에 이 결과를 조금… Read More »

Liouville’s theorem on harmonic type

Proposition(Liouville’s Theorem). Let and let be a bounded from above twice continuously differentiable function on satisfying     in . Then . In particular, if is bounded and , then , so that . Proof. 그렇지 않다고 하자. 즉, 인 가 존재한다고 하자. 인 을 잡고 라 하자. 라 하자. 그러면 가정에 의하여 이다.  … Read More »