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Steady heat equation in a ball

학부해석 때 하는 노가다 중에 뭘 하는지 의미도 모르고 계산하거나, 아니면 뭔가 이점은 있을텐데.. 하지만 수업시간에 안 배우는 것이 있다. 특히나 학부 수학 커리큘럼을 잘 돌이켜보면 `문제의 대칭성’을 고려하는 연습을 잘 하지 않는다. 개인적으로 이는 좋은 교육방법이 아니라고 생각한다. 문제 상황에 잘 맞는 대칭성이 무엇인지 찾는 훈련은 수학적 정리를 배우는 것만큼이나 중요한 `본능’ 훈련이다.

그런 문제가 다음과 같은 문제가 아닐까 싶다.

Problem 1. C^{2} 함수 u:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}에서에 대하여

    \[ \triangle u=\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} \]

라 정의하자. 극좌표계를 \left(r,\theta\right)라 쓸 때,

    \[ \triangle u=\frac{\partial^{2}u}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}u}{\partial\theta^{2}} \]

가 성립함을 보여라.

뭐 좌변에서 우로 가던, 우에서 좌로 가던 노가다를 통해 위 결과는 쉽게 얻을 수 있다. 이 글을 쓴 글쓴이는 이걸 과제 때문에 증명을 한 후 당시 `그래서 뭐?’라는 인상을 받았던 적이 있었다. 이런 표현은 다음과 같은 문제에서 효력을 갖는다. \mathbb{D}=\left\{ \left(x,y\right)\in\mathbb{R}^{2}:x^{2}+y^{2}<1\right\}이라 하고 다음과 같은 문제를 생각하자.

    \[ \left\{ \begin{array}{rcl} \triangle u=0 &  & \text{in }\mathbb{D}\\ u=f &  & \text{on }\partial\mathbb{D} \end{array}\right. \]

여기서 f는 잠시 적당히 좋은 함수라고 하자.

문제의 상황에서 \mathbb{D}는 원판이다. 따라서 직교좌표계로 \mathbb{D}를 표현하는 것보다는 극좌표계로 표현하는 것이 더 간편하다. 이를 극좌표계로 표현하면

    \[ \mathbb{D}=\left\{ \left(r,\theta\right):0\le r<1,0\le\theta<2\pi\right\}  \]

와 같다. 따라서 위 문제를 풀 때, 직교좌표계 대신 극좌표계로 생각하는 것이 더 편하다. 자 이제 그럼 Problem 1로부터

    \[ \left\{ \begin{array}{rllc} \frac{\partial^{2}u}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}u}{\partial\theta^{2}} & =0 &  & \text{in }\mathbb{D}\\ u\left(1,\theta\right) & =f\left(\theta\right) &  & \text{on }\partial\mathbb{D} \end{array}\right. \]

로 바뀐다.

이제 변수분리법을 쓰기 위해 u\left(r,\theta\right)=F\left(r\right)G\left(\theta\right)라 두고 풀면 조건으로부터

    \[ \frac{r^{2}F^{\prime\prime}\left(r\right)+rF'\left(r\right)}{F\left(r\right)}=-\frac{G^{\prime\prime}\left(\theta\right)}{G\left(\theta\right)} \]

을 얻는다. 여기서 우변과 좌변은 모두 다른 독립 변수이므로 \frac{r^{2}F^{\prime\prime}\left(r\right)+rF'\left(r\right)}{F\left(r\right)}-\frac{G^{\prime\prime}\left(\theta\right)}{G\left(\theta\right)}는 같은 상수다. 이를 \lambda라 쓰자. 그러면 다음과 같은 방정식을 얻게 된다.

    \[ \begin{cases} G''\left(\theta\right)+\lambda G\left(\theta\right)=0\\ r^{2}F''\left(r\right)+rF'\left(r\right)-\lambda F\left(r\right)=0 \end{cases} \]

G에 대한 미분방정식을 풀 때, \lambda<0이라 하면

    \[ G\left(\theta\right)=c_{1}e^{r_{1}\theta}+c_{2}e^{r_{2}\theta} \]

를 얻게 된다. 그런데 G는 주기성을 가지는 것을 원하므로 이 상황에서는 맞지 않게 된다. 따라서 \lambda\ge0라 가정하는 것이 합리적이다. 이제 \lambda=-m^{2}이라 하면

    \[ G\left(\theta\right)=A\cos m\theta+B\sin m\theta \]

를 갖게 된다. 여기서 G2\pi주기 함수이므로 m은 정수가 된다. 이제

    \[ e^{ix}=\cos x+i\sin x \]

를 염두하면

    \[ G\left(\theta\right)=Ae^{im\theta}+Be^{-im\theta} \]

라 쓸 수 있다.

이제 F에 대해서 생각해보면, 이러한 방정식 형의 간단한 해는 r^{m}r^{-m}꼴이다. 만약 m=0이면 F\left(r\right)=1, F\left(r\right)=\log r이 두 해다. 만약 m>0이면, r^{-m}이 0 근방에서 발산한다. 또한 m=0일 때 \log r또한 원점 근방에서 발산한다. 따라서 이 두 가지 종류는 고려하지 않는 걸로 한다.

따라서 앞의 관찰들을 통해

    \[ u_{m}\left(r,\theta\right)=r^{\left|m\right|}e^{im\theta},\quad m\in\mathbb{Z} \]

    \[ \left\{ \begin{array}{rllc} \frac{\partial^{2}u}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}u}{\partial\theta^{2}} & =0 &  & \text{in }\mathbb{D}\\ u\left(1,\theta\right) & =f\left(\theta\right) &  & \text{on }\partial\mathbb{D} \end{array}\right. \]

이 문제의 한 해 임을 안다.

그런데 이 방정식은 선형방정식이므로 중첩원리가 성립한다. 따라서

    \[ u\left(r,\theta\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}a_{m}r^{\left|m\right|}e^{im\theta} \]

은 해가 될 것이다.

따라서 만약 u가 방정식의 해가 된다면

    \[ u\left(1,\theta\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}a_{m}e^{im\theta}=f\left(\theta\right) \]

을 만족해야 한다.

따라서 다음과 같은 문제로 바뀌게 된다.

Question. \left[0,2\pi\right]에서 정의된 함수 ff\left(0\right)=f\left(2\pi\right)라면

    \[ f\left(\theta\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}a_{m}e^{im\theta} \]

를 만족하는 a_{m}을 결정시킬 수 있는가?

이전에 문제로

(1)   \begin{equation*} \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{im\theta}e^{-in\theta}d\theta=\delta_{mn} \end{equation*}

임을 보이는 연습문제를 해본 적이 있을 것이다. 그리고 두 적분가능한 함수 f,g에 대하여

    \[ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(\theta\right)\overline{g\left(\theta\right)}d\theta \]

가 inner product가 된다는 것 또한 쉽게 확인할 수 있었다.

그리고 유한차원 벡터공간 이론을 생각해보면 \left\{ u_{1},\dots,u_{n}\right\}을 orthonormal
basis라 하면

    \[ x=\sum_{k=1}^{n}\left\langle x,u_{k}\right\rangle u_{k} \]

라 쓸 수 있다는 것을 알고 있다.

그런데 (1) 관계로부터 \left\{ e^{in\cdot}\right\} _{n\in\mathbb{Z}}이 orthonormal set임을 안다. 그래서 다음과 같은 과감한 생각

    \[ f\left(\theta\right)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\left(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)e^{-inx}dx\right)e^{in\theta} \]

을 생각해볼 수 있다.

그래서 Question에 대한 답을 줄 수 있다고 할 수 있지만… 사실은 함부로 하면 안되는 행동을 많이 했다. 문제는

    \[ f\left(\theta\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}a_{m}e^{im\theta} \]

이 등식이 성립하지 않을 수도 있다. 사실 이 계산과정을 거치면서 한번도 수렴성에 대한 고려를 하지 않았기 때문에 어떻게 될 지 모른다. 그렇지만 f에 대해 대응되는 이 급수를 생각하는 것이 말도 안되는 건 아니기 때문에 적절한 이름이 있을 법한게 당연하다. 이를 f의 푸리에 급수라고 부른다.

우선 f2\pi주기함수라 하고 연속함수라고 하자. 잠시

    \[ \sum_{m=-\infty}^{\infty}a_{m}r^{\left|m\right|}e^{im\theta} \]

를 관찰해보도록 하자. 그러면 쉽게 확인할 수 있는게

    \[ a_{m}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(\theta\right)e^{-im\theta}d\theta \]

은 uniformly bounded이다. 0\le r<1일 때 \sum_{m=-\infty}^{\infty}r^{\left|m\right|}e^{-im\theta}
converge uniformly on \left[-\pi,\pi\right]이므로 따라서

    \[ \sum_{m=-\infty}^{\infty}a_{m}r^{\left|m\right|}e^{im\theta} \]

이 존재한다. 이제

    \begin{align*} \sum_{m=-\infty}^{\infty}a_{m}r^{\left|m\right|}e^{im\theta} & =\sum_{m=-\infty}^{\infty}r^{\left|m\right|}\left(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(\varphi\right)e^{-im\varphi}d\varphi\right)e^{im\theta}\\  & =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(\varphi\right)\left(\sum_{m=-\infty}^{\infty}r^{\left|m\right|}e^{-im\left(\varphi-\theta\right)}\right)d\varphi \end{align*}

을 얻는다. 마지막에서 적분과 급수를 교환한 것은

    \[ \sum_{m=-\infty}^{\infty}r^{\left|m\right|}e^{-im\theta} \]

의 uniform convergence on \left[0,2\pi\right] 때문이다.

이제

    \[ P_{r}\left(\theta\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}r^{\left|n\right|}e^{in\theta} \]

이라 쓰면 이는

    \[ \sum_{m=-\infty}^{\infty}a_{m}r^{\left|m\right|}e^{im\theta}=\left(P_{r}*f\right)\left(\theta\right) \]

와 같다. 여기서

    \[ \left(f*g\right)\left(\theta\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(\theta-\varphi\right)g\left(\varphi\right)d\varphi \]

이다.

이전에 연습시간에서 했던 문제를 떠올려보면 \left\{ P_{r}\right\} _{0\le r<1}이 만약에 family of good kernels이고 f가 연속이면 \left(P_{r}*f\right)\left(\theta\right)\rightarrow f\left(\theta\right)로 converge uniformly on \left[0,2\pi\right] as r\rightarrow1-하다는 것을 기억하고 있을지도 모른다. 다행히도 \left\{ P_{r}\right\} _{0\le r<1}이 만약에 family of good kernels이 되고

    \[ u\left(r,\theta\right)=\left(f*P_{r}\right)\left(\theta\right) \]

C^{2} 미분가능하며

    \begin{align*} f\left(\theta\right) & =\lim_{r\rightarrow1-}u\left(r,\theta\right)\\  & =\lim_{r\rightarrow1-}\left(P_{r}*f\right)\left(\theta\right)\\  & =\lim_{r\rightarrow1-}\sum_{m=-\infty}^{\infty}a_{m}r^{\left|m\right|}e^{im\theta} \end{align*}

이다.

사실 여기서 이 문제가 풀렸다고 이해해도 될런지 걱정하는 사람들이 좀 있을 것이다. 수학에서는 수렴성의 개념이 생각이상으로 다양하다. 이전에 연습문제로 푼 것들이 사실 다 이유가 있다.

아마 다음과 같은 결과를 배웠던 기억이 날 것이다:

Exercise 2 (Abel’s test). 만약 \sum_{n=1}^{\infty}c_{n}이 수렴하고 그 극한값이 s라 하면

    \[ \lim_{r\rightarrow1-}\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}r^{n}=s \]

이다.

반대로 \lim_{r\rightarrow1-}\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}r^{n}=s이 존재한다고 해서 \sum_{n=1}^{\infty}c_{n}이 존재하는 것은 아니다. 간단한 예로 c_{n}=\left(-1\right)^{n}이라
잡으면 알 수 있다.

사실 그래서 이 정리는 어떤 수열을 `더한다는 개념’을 확장하는 정리이기도 하다.

지금까지 경계값에서 주어진 연속함수 f에 대하여

    \[ \left\{ \begin{array}{rllc} \frac{\partial^{2}u}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2}u}{\partial\theta^{2}} & =0 &  & \text{in }\mathbb{D}\\ u\left(1,\theta\right) & =f\left(\theta\right) &  & \text{on }\partial\mathbb{D} \end{array}\right. \]

을 만족하는 해가 하나 있다는 것을 증명했다.

사실 이 문제에서 해는 유일하다. 이는 다음과 같은 결과로부터도 증명할 수 있다:

Theorem 3. \Omega가 bounded, open connected subset in \mathbb{R}^{n}이라 하고 u\in C^{2}\left(\Omega\right)\cap C\left(\overline{\Omega}\right)
하자. 만약 \triangle u\ge0이면

    \[ \max_{\overline{\Omega}}u=\max_{\partial\Omega}u \]

가 성립한다.

Proof. 우선 \triangle u>0 in \Omega라 가정하고 x_{0}\max_{\overline{\Omega}}u=u\left(x_{0}\right)라 하자. 만약 x_{0}\in\Omega라 하면, 이 점에서 u_{x_{i}x_{j}}\left(x_{0}\right)\le0이 되는데 이는 \triangle u>0 가정에 모순이다. 따라서 x_{0}\in\partial\Omega이다.

일반적인 경우 \varepsilon>0라 하면

    \[ \triangle\left(u+\varepsilon\left|x\right|^{2}\right)\ge2\varepsilon n>0 \]

이며 따라서 임의의 x\in\overline{\Omega}에 대하여

    \begin{align*} u\left(x\right) & \le u\left(x\right)+\varepsilon\left|x\right|^{2}\\  & \le\max_{\partial\Omega}\left[u\left(y\right)+\varepsilon\left|y\right|^{2}\right]\\  & \le\max_{\partial\Omega}u+C\varepsilon \end{align*}

을 얻게 된다. 따라서 이제 \varepsilon\rightarrow0으로 보내면

    \[ \max_{\partial\Omega}u\le\max_{\overline{\Omega}}u\le\max_{\partial\Omega}u \]

을 얻어서 원하는 것이 증명된다.

이로부터 자명하게 얻는 결론은 다음과 같다.

Corollary 4. \Omega가 bounded, open connected subset in \mathbb{R}^{n}이라 하고 u\in C^{2}\left(\Omega\right)\cap C\left(\overline{\Omega}\right)라 하자. 만약 \triangle u=0이면

    \[ \max_{\overline{\Omega}}u=\max_{\partial\Omega}u,\qquad\min_{\overline{\Omega}}u=\min_{\partial\Omega}u \]

가 성립한다.

이와 같은 결과를 maximum principle이라고 부른다. 다음의 결과가 우리 문제와 연관이 된 중요한 결과다.

Theorem 5. u,v\in C^{2}\left(\Omega\right)\cap C\left(\overline{\Omega}\right)\triangle u=\triangle v in \Omega, u=v on \partial\Omega라 하자. 그러면 u=v in \Omega이다.

Proof. w=u-v라 하자. 그러면 \triangle w=0 in \Omega이고 w=0 on \partial\Omega이다. 따라서 maximum principle에 의하여 w=0 in \Omega이므로 원하는 걸 얻는다.

이제 우리 문제랑 연관을 지으면 f\in C\left(\mathbb{D}\right), g\in C\left(\partial\mathbb{D}\right)라 가정하고

    \[ \left\{ \begin{array}{rcl} \triangle u=f &  & \text{in }\mathbb{D}\\ u=g &  & \text{on }\partial\mathbb{D} \end{array}\right. \]

를 만족하는 두 해 u, \tilde{u}가 있다고 하자. 그러면 \triangle u=\triangle\tilde{u} in \mathbb{D}이고 u=\tilde{u} on \partial\mathbb{D}가 된다. 따라서
앞선 정리에 의하여 u=\tilde{u} in \mathbb{D}를 얻으므로 원하는 결론을 얻는다. 따라서 이 방정식의 해는 존재하고 유일하다.

자연스럽게 다음과 같은 질문을 던질 수 있다. 사실 지금 모든 스토리가 쉽게 이어진 것은 \mathbb{D}의 기하적인 특성을 많이 고려한 것이 첫 번째 이유이고, boundary에 주어진 함수가 연속함수라 꽤 좋은 가정인 게 이유다.

따라서 자연스러운 질문은 만약에 두 조건 중 하나가 또는 둘 다 약해질 경우 어떻게 될 것인지다. 예를 들면 \mathbb{D}가 아니라 cube일 경우 어떻게 될 것인가? 라던가 문제

    \[ \left\{ \begin{array}{rcl} \triangle u=f &  & \text{in }\mathbb{D}\\ u=g &  & \text{on }\partial\mathbb{D} \end{array}\right. \]

에서 f\in L^p, g\in B^{s,q}인 경우 해가 어떤 의미로 존재하는가? 어느 p,q,s 범위에서 존재하는가? 이런 물음에 답하는 것이 내 전공 중 하나이며, 많은 부분에서 이론이 개발이 꽤 되어있다. 이 부분을 더 설명하고 싶지만, 이에 대한 기회는 많을 것이기 때문이 이만 줄인다.