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Calderón–Zygmund decomposition

이번 글에서는 조화해석학과 편미분방정식 이론의 역사를 바꿔버린 Calder\’on-Zygmund decomposition을 증명하는 것을 목표로 한다.

    \[ K\left(t\right)=\frac{1}{\pi t} \]

라 하자. K\left(t\right)는 원점을 포함한 작은 구간에서도 적분이 불가능한 함수다. 공학적인 응용에서 다음과 같은 적분변환을 생각하는 경우가 많다.

    \[ Hf\left(x\right)=\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_{\left|y\right|\ge\varepsilon}K\left(x-y\right)f\left(y\right)dy. \]

이는 수학자 힐베트의 이름을 따와 힐버트 변환이라고 부른다. f\in L^{p}\left(\mathbb{R}\right)에 대하여 1928년에 M. Riesz가 1\le p<\infty일 때 위 식이 잘 정의된다는 것을 증명했으며,

    \[ \Norm{Hf}_{L^{p}}\le C_{p}\Norm f_{L^{p}} \]

와 같은 estimate가 되도록 하는 상수 C_{p}가 존재함을 보였다. 여기서 p의 영역은 1<p<\infty이다. K\left(x-y\right)x=y에 있을 때 정의되지 않는 것 때문에, Hf\left(x\right)
정의하는 적분의 극한이 존재하지 않을 것 같지만, 이 경우에는 잘 정의되며, L^{p}-estimate 또한 잘 성립한다는 것을 알 수 있었다. 이와 같은 형태의 적분변환을 singular integral operator라 부른다.
이 정리를 증명할 때, 복소함수론의 코시정리를 이용하고 Riesz-Thorine interpolation을 사용하는데, 복소함수론의 방법의 특성상 이 결과를 일변수가 아닌 다변수에서 정의된 함수에서는 증명을 하는 것이 쉽지 않다. 이를 가능하게 만든 것이 Calderón-Zygmund theory이며, 이번 절에서 증명할 정리는 이 Calderón–Zygmund theory를 건설하기 위한 기본 보조정리다.

Lemma (Calderón-Zygmund). Let f be a non-negative integrable function on \mathbb{R}^{n} and let \alpha be a positive constant. Then there exists a decomposition of \mathbb{R}^{n} so that

  1.  \mathbb{R}^{n}=F\cup\Omega, F\cap\Omega=\varnothing;
  2. f\left(x\right)\le\alpha almost everywhere on F;
  3. \Omega is the union of cubes, \Omega=\bigcup_{k}Q_{k}, whose interiors are disjoint and for each Q_{k},

        \[ \alpha<\frac{1}{m\left(Q_{k}\right)}\int_{Q_{k}}f\left(x\right)dx\le2^{n}\alpha \]

    and

        \[ m\left(\Omega\right)\le\frac{A}{\alpha}\Norm f_{L^{1}}. \]

Proof. f가 적분가능하므로, \mathbb{R}^{n}을 축과 평행하고, 크기가 같고, interior가 서로 겹치지 않으며

    \[ \frac{1}{m\left(Q\right)}\int_{Q}f\left(x\right)dx\le\alpha \]

가 되도록 하는 cube Q들로 쪼개자. 이러한 cube은 존재한다. Lattice 점을 기준으로 각 변을 2등분 해서 만드는 과정을 해서 얻어낸다. 이러한 cube들은 물론 countable하다. 이제 Q^{\left(0\right)}를 하나 고정하고, 각 변을 이등분 해서 2^{n}개의 합동 cube를 만들어낸다. Q^{\left(1\right)}을 그러한 cube중 하나라고 하면, 두 가지 케이스로 나눌 수 있을 것이다: 하나는

    \[ \frac{1}{m\left(Q^{\left(1\right)}\right)}\int_{Q^{\left(1\right)}}f\left(x\right)dx\le\alpha \]

인 경우, 또 하나는

    \[ \frac{1}{m\left(Q^{\left(1\right)}\right)}\int_{Q^{\left(1\right)}}f\left(x\right)dx>\alpha \]

인 경우.

만약에 두 번째 경우라면, 그 cube는 그대로 냅두도록 하자. 이러한 cube들을 모은 것을 \mathcal{Q}라 쓰자. 그러면

    \[ \alpha<\frac{1}{m\left(Q^{\left(1\right)}\right)}\int_{Q^{\left(1\right)}}f\left(x\right)dx\le\frac{1}{2^{-n}m\left(Q^{\left(0\right)}\right)}\int_{Q^{\left(0\right)}}f\left(x\right)dx\le2^{n}\alpha \]

을 얻게 된다.

만약에 첫 번째 경우라면, Q^{\left(1\right)}을 다시 각 변을 이등분해서 2^{n}개의 합동 cube를 만들어낸다. 그리고나서 앞선 판정을 계속 진행한다. 이러한 과정으로부터 만들어진 \mathcal{Q}는 당연히 countable이다. 이제

    \[ \mathcal{Q}=\left\{ Q_{k}:k\in\mathbb{N}\right\} \]

이라 쓰고 \Omega=\bigcup_{k=1}^{\infty}Q_{k}, F=\Omega^{c}라 하자. 그러면 \left\{ Q_{k}\right\}의 interior가 disjoint하다는 것으로부터

    \[ m\left(\Omega\right)=\sum_{k=1}^{\infty}m\left(Q_{k}\right)<\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\alpha}\int_{Q_{k}}f\left(x\right)dx=\frac{1}{\alpha}\Norm f_{L^{1}} \]

을 얻는다. 이제 x\in\Omega^{c}를 보면, \Omega의 정의로부터

    \[ \frac{1}{m\left(\tilde{Q_{k}}\right)}\int_{\tilde{Q}_{k}}f\left(x\right)dx\le\alpha \]

를 만족하고 x\in\tilde{Q}_{k}이면서 \mathrm{diam}\left(\tilde{Q}_{k}\right)\rightarrow0인 cube들을 생각할 수 있다. 따라서 Lebesgue differentiation theorem에 의하여 거의 모든 x\in F에 대하여

    \[ f\left(x\right)=\lim_{m\left(\tilde{Q}_{k}\right)\rightarrow0}\frac{1}{m\left(\tilde{Q_{k}}\right)}\int_{\tilde{Q}_{k}}f\left(x\right)dx\le\alpha \]

를 얻는다.


이 분해의 결과로 다변수에서의 singular integral theory를 전개할 수 있게 되며, 그 내용이 다음에 연재할 글이다.

창의성에 대하여

1. 음악을 전공하는 학생들 중 최고 수준의 학생과 음악 교사를 목표로 하는 학생들 사이의 가장 큰 차이는, 이들이 음대에 들어오기 전인 18세까지 소화했던 연습량이었다. 최고 수준의 학생들이 평균적으로 7,410시간을 연습한 것으로 추정된 반면, 음악 교사를 목표로 하는 학생들은 3,420시간 정도 연습한 것으로 나타났다. 절반에 못 미치는 것이다.

2. 자연과학 분야의 노벨상 수상자들 중의 절반은 노벨상을 받은 스승 밑에서 훈련을 받았고, 남들보다 적어도 두 배는 많은 논문을 써냈다. 그들은 평균적으로 20대 중반에 박사학위를 받아서 거의 40이 다 되어서야 노벨상에 해당하는 업적을 내놓는다. 보통 “천재”라고 불리는 사람들도 알고 보면 공통적으로 10년이 넘는 기간동안 혹독한 훈련을 질릴 정도로 받는다.

3. 많은 이들이 “창의력” 운운하면서 기발한 발상의 ‘질적 경험’만을 강조한다. 하지만 정작 그런 질적 통찰의 배후에 어마어마한 지식과 훈련의 양적 축적이 있다는 점은 간과한다. 그러나 ‘많이’ 보지 않고 ‘새롭게’ 보기는 힘들다. 헤겔이 “양적 축적이 질적 변환을 초래한다”고 말한 것은 인간 지성에 관해서도 참인 것이다.

“내게 창의성이 있다는 생각은 남들은 모두 나보다 못하다는 생각과 동치이다. 앞 시대를 살다 간 수 많은 천재들의 업적을 이해하려 하지 않고 창의성만을 기대하는 사람을 우리는 ‘아마추어’라고 부른다. ‘프로’는 먼저 수많은 천재들의 업적을 이해하려고 노력한다. 창의성은 그 다음의 문제이다. 그리고 수많았던 천재들의 업적을 일이년에 이해할 수 없음은 말할 필요도 없다.”

 

이인석, 선형대수와 군 서문에서