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Notes 1. On the equation div u =f

유체역학을 공부할 때 중요한 결과 중 하나는 Helmholtz-Weyl decomposition이다. 이 결과는 임의의 벡터필드를 divergence-free vector-field와 gradient의 합으로 표현할 수 있다는 결과다. 즉,

    \[  u = v + \nabla w \]

이다. 이 결과를 얻는 방법은 다양한 방법이 있으나, 근본적이고 더 넓은 범위까지 결과를 얻기 위해서 \Div{u} =f 방정식을 이용하면 쉽다.

\Omega\subset\mathbb{R}^{n}(n\ge2)을 bounded domain이라 하자. 이번 글은 다음과 같은 문제를 풀고자 한다.

Problem. 주어진 f\in\Leb{q}\left(\Omega\right)에 대하여

    \[ \Div\boldsymbol{u}=f \]

를 만족하는 \boldsymbol{u}:\Omega\rightarrow\mathbb{R}^{n}이 어떤 의미로 존재하는가?

만약 f\in C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right)일때 어떤지 관찰해보도록 하자. \Gamma를 Laplacian의 fundamental solution이라 하자. 즉

    \[ \Gamma\left(x\right)=\begin{cases} \frac{1}{n\left(2-n\right)\omega_{n}}\frac{1}{\left|x\right|^{n-2}} & n\ge3\\ \frac{1}{2\pi}\log\left|x\right| & n=2 \end{cases} \]

여기서 \omega_{n}\mathbb{R}^{n}에서의 unit ball의 부피

    \[ \omega_{n}=\frac{2\pi^{\frac{n}{2}}}{n\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \]

이다. 이제

    \[ F\left(x\right)=\int_{\Omega}\Gamma\left(x-y\right)f\left(y\right)dy\quad\left(x\in\mathbb{R}^{n}\right) \]

이라 정의하자.

그러면 \Gamma\in\Leb{1}_{\mathrm{loc}}\left(\mathbb{R}^{n}\right)이고 f\in C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right)이므로 F\in C^{\infty}\left(\mathbb{R}^{n}\right)이고 \triangle F=f in \Omega을 만족한다.

여기에 Calderón–Zygmund theorem에 의하여

    \[ \norm{\nabla^{m+2}F}{q;\mathbb{R}^{n}}\le C\left(m,q,n\right)\norm{\nabla^{m}f}{q;\Omega} \]

를 얻는다. 여기서 m\in\mathbb{N}\cup\left\{ 0\right\}이고 1<q<\infty이며

    \[ \norm{\nabla^{m}F}{q;\Omega}^{q}=\sum_{\left|\alpha\right|=m}\norm{D^{\alpha}f}{\Leb{q}\left(\Omega\right)}^{q} \]

이다.

이제

    \[ \boldsymbol{u}\left(x\right)=\int_{\Omega}\nabla\Gamma\left(x-y\right)f\left(y\right)dy \]

라 하면 \boldsymbol{u}\in C^{\infty}\left(\mathbb{R}^{n}\right)^{n}이고

    \[ \Div\boldsymbol{u}=\triangle F=f\quad\text{in }\Omega \]

이고 모든 m\in\mathbb{N}\cup\left\{ 0\right\}이고 1<q<\infty에 대하여

    \[ \norm{\nabla^{m+1}\boldsymbol{u}}{q;\mathbb{R}^{n}}\le C\left(m,q,n\right)\norm{\nabla^{m}f}{q;\Omega} \]

을 얻는다.

u\in\Leb{q}\left(\Omega\right)\alpha-th weak derivative를 가진다는 것은 임의의 v\in C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right)에 대하여

    \[ \int_{\Omega}uD^{\alpha}vdx=\left(-1\right)^{\left|\alpha\right|}\int_{\Omega}u_{\alpha}vdx \]

를 만족하는 u_{\alpha}\in\Leb{q}\left(\Omega\right)가 존재할 때를 말한다. \Sob{k}{q}\left(\Omega\right)u\in\Leb{q}\left(\Omega\right)중에서 \left|\alpha\right|\le k\alphath weak derivative를 모두 갖는 공간이라고 정의하자.

여기서 이 공간의 노름은

    \[ \norm u{k,q;\Omega}=\sum_{\left|\alpha\right|\le k}\norm{D^{\alpha}u}{q;\Omega} \]

이다. \Sob{k}{q}_{0}\left(\Omega\right)C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right)\norm{\cdot}{k,q;\Omega}노름으로 closure를 취한 공간이다.

그러므로 density argument에 의하여 임의의 f\in\Sob{m}{q}_{0}\left(\Omega\right)에 대하여 적어도

    \[ \Div\boldsymbol{u}=f\quad\text{in }\Omega \]

and

    \[ \norm{\nabla\boldsymbol{u}}{m,q;\Omega}\le C\left(m,q,n\right)\norm f{m,q;\Omega} \]

을 만족하는 \boldsymbol{u}\in\Sob{m+1}{q}\left(\Omega\right)^{n}이 존재한다.

위 결과는 \Omega가 unbounded여도 성립한다. 그런데 이 결과는 다소 만족스럽지 못한 점이 있는데, 대다수 편미분방정식의 해는 \Omega의 경계에서 해의 조건이라던가 여러가지 문제가 발생한다. 위 결과는 \Omega의 경계에서 해의 존재성을 말하는데 다소 위험한 면이 있다.

\Omega의 경계에 관련된 문제를 피하기 위하여 \boldsymbol{u}\Sob{m+1}{q}\left(\Omega\right)^{n}뿐만 아니라 \boldsymbol{u}\in\Sob{m+1}{q}_{0}\left(\Omega\right)^{n}을 만족해야 한다.

이를 극복하기 위하여 많은 수학자들이 노력을 해왔다. 이 글에서는 \Omega가 bounded Lipschitz domain일 때 어떻게 이 문제를 해결할 수 있는지에 대해 설명하고자 한다.

\Omega\subset\mathbb{R}^{n}이 bounded Lipschitz라는 것은 \mathbb{R}^{n}의 bounded이고 open이고 connected set을 말하며 여기에 임의의 x_{0}\in\partial\Omega에 대하여

    \[ \Omega\cap B_{r}\left(x_{0}\right)=\left\{ x\in B_{r}\left(x_{0}\right):x_{n}<\phi\left(x_{1},\dots,x_{n-1}\right)\right\} \]

and

    \[ \partial\Omega\cap B_{r}\left(x_{0}\right)=\left\{ x\in B_{r}\left(x_{0}\right):x_{n}=\phi\left(x_{1},\dots,x_{n-1}\right)\right\} \]

을 만족하는 r>0와 Lipschitz continuous function\phi:\mathbb{R}^{n-1}\rightarrow\mathbb{R}이 존재할 때를 말한다.

다음의 결과는 Bogovskii가 1979년에 증명한 것이다.

Theorem. Let \Omega be a bounded Lipschitz domain in \mathbb{R}^{n} and \zeta\in C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right) a fixed function with \int_{\Omega}\zeta dx=1. Then there exists a linear operator

    \[ \mathcal{B}_{\Omega}:C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right)\rightarrow C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right)^{n} \]

such that for each f\in C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right), the vector field \boldsymbol{u}=\mathcal{B}_{\Omega}\left[f\right] satisfies

    \[ \Div\boldsymbol{u}=f-\left(\int_{\Omega}fdx\right)\zeta\quad\text{in }\Omega \]

and

    \[ \norm{\boldsymbol{u}}{m+1,q;\Omega}\le C\left(m,q,n,\Omega\right)\norm f{m,q;\Omega} \]

for every m\in\mathbb{N}\cup\left\{ 0\right\} and 1<q<\infty. Moreover, by continuity, \mathcal{B}_{\Omega} can be extended uniquely to a bounded linear operator from \Sob{m}{q}_{0}\left(\Omega\right) into \Sob{m+1}{q}_{0}\left(\Omega\right)^{n}, called the Bogovskii and denoted again by \mathcal{B}_{\Omega}.

따라서 위의 정리로부터 f\in\Leb{q}_{\#}\left(\Omega\right), 즉 f\in\Leb{q}\left(\Omega\right)이면서 \int_{\Omega}fdx=0인 경우에 \Div\boldsymbol{u}=f, \norm{\boldsymbol{u}}{1,q;\Omega}\le C\left(n,q,\Omega\right)\norm f{q;\Omega}을 만족하는 \boldsymbol{u}\in\Sob{1}{q}_{0}\left(\Omega\right)^{n}가 존재한다는 것을 보이게 된다.

여기서 \int_{\Omega}fdx=0이란 조건은 상당히 자연스러운 조건이다. 만약 \Div\boldsymbol{u}=f in \Omega을 만족하는 \boldsymbol{u}\in\Sob{1}{q}_{0}\left(\Omega\right)^{n}이 존재한다면,

    \[ \int_{\Omega}fdx=\lim_{k\rightarrow\infty}\int_{\Omega}\Div\boldsymbol{u}_{k}dx=\lim_{k\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}\boldsymbol{u}_{k}\cdot\nu d\sigma=0 \]

을 얻기 때문이다. 여기서 \left\{ \boldsymbol{u}_{k}\right\}\boldsymbol{u}_{k}\rightarrow\boldsymbol{u} in \Sob {1}{q}\left(\Omega\right)^{n}C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right)^{n} 함수들이다.

\eta\in C_{0}^{\infty}\left(B_{1}\left(0\right);\left[0,1\right]\right) with \int_{B_{1}\left(0\right)}\eta dx=1을 하나 잡고 \eta_{R}\left(x\right)=R^{-n}\eta\left(\frac{x}{R}\right)이라 하자. 그러면 \eta_{R}\in C_{0}^{\infty}\left(B_{R}\left(0\right)\right)이고 \int_{B_{R}\left(0\right)}\eta_{R}dx=1이다.

Bogovskii은 위 결과를 증명하기 위하여 star-shaped domain에서 다음과 같은 결과를 보였다. \Omega가 star-shaped with respect to a ball B\subset\Omega라는 것은 임의의 x_{0}\in Bx\in\Omega, \lambda\in\left[0,1\right]에 대하여 \lambda x_{0}+\left(1-\lambda\right)x\in\Omega일 때를 말한다.

Lemma. Let \Omega be a bounded domain in \mathbb{R}^{n} that is star-shaped with respect to an open ball B=B_{R}\left(0\right) with \overline{B}\subset\Omega. For each f\in C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right), we define

    \begin{align*} \boldsymbol{u}\left(x\right) & =\mathcal{B}_{\Omega}\left[f\right]\left(x\right)\\ & =\int_{\Omega}f\left(y\right)\left[\frac{\left(x-y\right)}{\left|x-y\right|^{n}}\int_{\left|x-y\right|}^{\infty}\eta_{R}\left(y+r\frac{x-y}{\left|x-y\right|}\right)r^{n-1}dr\right]dy \end{align*}

for all x\in\Omega. Then

    \[ \boldsymbol{u}\in C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right)^{n},\quad\Div\boldsymbol{u}=f-\left(\int_{\Omega}fdx\right)\eta_{R}\quad\text{in }\Omega \]

and

    \[ \norm{\nabla\boldsymbol{u}}{m,q;\Omega}\le C\left(m,q,n,\delta\left(\Omega\right)/R\right)\norm f{m,q;\Omega} \]

for every m\in\mathbb{N}\cup\left\{ 0\right\} and 1<q<\infty, where \delta\left(\Omega\right) is the diameter of \Omega.

증명은 지면의 문제로 개요만 소개한다. 위와 같이 정의한 \boldsymbol{u}가 잘 정의된다는 것을 보이고 부분적분을 통해

    \begin{align*} D_{j}u^{i}\left(x\right) & =\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_{\partial B_{\varepsilon}\left(0\right)}f\left(x-z\right)\left[z_{i}\int_{0}^{\infty}\eta_{R}\left(x+rz\right)\left(r+1\right)^{n-1}dr\right]\frac{z_{j}}{\left|z\right|}d\sigma\left(z\right)\\ & \relphantom{=}+\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_{B_{\varepsilon}\left(0\right)^{c}}g\left(x-z\right)\bigg[\delta_{ij}\int_{0}^{\infty}\eta_{R}\left(x+rz\right)\left(r+1\right)^{n-1}dr\\ & \relphantom{=}+z_{i}\int_{0}^{\infty}D_{j}\eta_{R}\left(x+rz\right)\left(r+1\right)^{n}dr\biggr]\\ & =I_{1}^{ij}\left(x\right)+I_{2}^{ij}\left(x\right) \end{align*}

을 확인할 수 있으며 계산을 통해

    \[ \left|I_{1}^{ij}\left(x\right)\right|\le\left|f\left(x\right)\right| \]

을 확인할 수 있으며

    \begin{align*} \sum_{i=1}^{n}I_{1}^{ii}\left(x\right) & =f\left(x\right),\\ \sum_{i=1}^{n}I_{2}^{ii}\left(x\right) & =-\left(\int_{\Omega}fdx\right)\eta_{R}\left(x\right) \end{align*}

임을 확인할 수 있다.

I_{1}^{ij}\left(x\right)인 경우에는 pointwise estimate가 있었지만, I_{2}^{ij}\left(x\right)인 경우에는

    \[ \norm{I_{2}^{ij}}{q;\Omega}\le C\left(n,q,\frac{\delta\left(\Omega\right)}{R}\right)\norm f{q;\Omega} \]

을 보일 수 있는데, 여기서 Calderón–Zygmund singular integral theory를 사용한다. 이로서 Lemma의 증명이 끝나게 된다.

위의 Lemma은 star-shaped domain일 때 성립하는 결과다. Bounded Lipschitz domain을 다뤄본 경험이 있으면 증명은 비교적 표준적이다. 이 증명은 Galdi의 책을 참고하길 바란다.

이 증명에서 한 가지 꺼림찍한 면이라면, non-convolution type의 Calderon-Zygmund theory를 쓰고 있다는 것이다. 이 방법 이외에 다른 증명이 2가지가 더 알려져있는데, 하나는 함수해석을 강하게 쓰는 증명이고, 하나는 편미분방정식 이론에서 표준적으로 사용하는 flatterning techinque을 이용하는 것이다. 즉, 전체공간에서 풀고, 그 다음에 반공간 위에서 푼 다음에, partition of unity를 이용해서 bounded Lipschitz domain으로 바꾸는 작업이다. 그러나 이 증명에서는 반 공간에서 편미분방정식을 풀 때, Sobolev trace theory라던가, Sobolev embedding의 미묘한 파트, 차원의 특성과 관련된 문제 등등이 있어서 계산이 간단하다고 말할 수 없다.

어찌했던 이 결과를 얻기 위해서는 쉬운 길은 없고, 많은 노력이 필요하다.

 

앞의 정리의 한 응용을 제시하고자 한다. m\ge1일 때 1<q<\infty일 때, \Sob{-m}{q}\left(\Omega\right)\Sob{m}{q^{\prime}}_{0}\left(\Omega\right)의 dual space라 정의한다. 여기의 norm을 \norm{\cdot}{-m,q;\Omega}라 쓰고

    \[ \norm f{-m,q;\Omega}=\sup\left\{ \left\langle f,\phi\right\rangle :\phi\in\Sob{m}{q^{\prime}}_{0}\left(\Omega\right),\norm{\phi}{m,q^{\prime};\Omega}\le1\right\} \]

라 정의한다. 그리고 C_{0,\sigma}^{\infty}\left(\Omega\right)=\left\{ \boldsymbol{u}\in C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right)^{n}:\Div\boldsymbol{u}=0\text{ in }\Omega\right\}라 쓰자. 그러면 다음과 같은 결과가 성립한다.

Theorem. Let \Omega be a bounded Lipschitz domain in \mathbb{R}^{n}, and let m\in\mathbb{Z} and 1<q<\infty. If \boldsymbol{f}\in\Sob{m}{q}\left(\Omega\right)^{n} satisfies

    \[ \left\langle \boldsymbol{f},\boldsymbol{\Phi}\right\rangle =0\quad\text{for all }\boldsymbol{\Phi}\in C_{0,\sigma}^{\infty}\left(\Omega\right), \]

then there exists \psi\in\Sob{m+1}{q}\left(\Omega\right) such that

    \[ \boldsymbol{f}=\nabla\psi\quad\text{in }\Omega \]

and

    \[ \norm{\psi}{m+1,q;\Omega}\le C\norm{\boldsymbol{f}}{m,q;\Omega} \]

for some constant C=C\left(m,q,\Omega\right).

Proof. 우선 m\le-1일 경우, \textbf{\boldsymbol{f}}는 \Sob{-m}{q^{\prime}}_{0}\left(\Omega\right)^{n}
한 bounded linear functional이다. 그런데 \mathcal{B}=\mathcal{B}_{\Omega}\Sob{-m-1}{q^{\prime}}_{0}\left(\Omega\right)\Sob{-m}{q^{\prime}}_{0}\left(\Omega\right)^{n}으로 가는 bounded linear operator이므로

    \begin{align*} \left\langle \boldsymbol{f},\mathcal{B}\left[g\right]\right\rangle & \le\norm{\boldsymbol{f}}{m,q;\Omega}\norm{\mathcal{B}\left[g\right]}{-m,q^{\prime};\Omega}\\ & \le C\norm{\boldsymbol{f}}{m,q;\Omega}\norm g{-m-1,q^{\prime};\Omega} \end{align*}

for all g\in\Sob{-m-1}{q^{\prime}}_{0}\left(\Omega\right)이 성립한다. \psi

    \[ \left\langle \psi,g\right\rangle =-\left\langle f,\mathcal{B}\left[g\right]\right\rangle \quad\text{for all }g\in\Sob{-m-1}{q^{\prime}}_{0}\left(\Omega\right) \]

라 정의하면 duality에 의하여 \psi\in\Sob{m+1}q\left(\Omega\right)이고 \norm{\psi}{m+1,q;\Omega}\le c\norm{\boldsymbol{f}}{m,q;\Omega}가 성립한다.

만약 m=-1일 경우 Riesz representation theorem에 의하여 \psi\in\Leb{q}\left(\Omega\right)이다.

이제 \Phi\in C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right)^{n}이 주어졌다고 하자. 이제 g=\Div\boldsymbol{\Phi}라 하면

    \[ \Div\mathcal{B}\left[g\right]=\Div\boldsymbol{\Phi}-\left(\int_{\Omega}\Div\boldsymbol{\Phi}dx\right)\zeta=\Div\boldsymbol{\Phi} \]

를 얻고 \mathcal{B}\left[g\right]-\boldsymbol{\Phi}\in C_{0,\sigma}^{\infty}\left(\Omega\right)을 얻는다. 따라서

    \[ -\left\langle \psi,\Div\boldsymbol{\Phi}\right\rangle =-\left\langle \psi,g\right\rangle =\left\langle f,\mathcal{B}\left[g\right]\right\rangle =\left\langle f,\boldsymbol{\Phi}\right\rangle \]

을 얻는다. 이로서 m\le-1일 때 증명이 끝난다. m=0일 경우, 즉 \boldsymbol{f}\in\Sob{-1}{q}\left(\Omega\right)^{n}일때는 \boldsymbol{f}=\nabla\psi가 존재하는 \psi\in\Leb{q}\left(\Omega\right)가 존재한다. 비슷한 방법으로 m\ge0일 경우 \boldsymbol{f}=\nabla\psi가 되게 하는 \psi\in\Sob{m+1}{q}\left(\Omega\right)가 존재한다는 것을 어렵지 않게 보일 수 있다.

이로부터 Poincaré’s inequality을 얻을 수 있다.

Corollary. Let \Omega be a bounded Lipschitz domain in \mathbb{R}^{n} and let m\in\mathbb{Z} and 1<q<\infty. If \psi is a distribution on \Omega such that \nabla\psi\in\Sob{m}{q}\left(\Omega\right)^{n}, then \psi\in\Sob{m+1}{q}\left(\Omega\right). Moreover, if m=-1,
then

    \[ \norm{\psi-\frac{1}{\left|\Omega\right|}\int_{\Omega}\psi dx}{q;\Omega}\le C\left(n,q,\Omega\right)\norm{\nabla\psi}{-1,q;\Omega}. \]

\mathbb{R}^{n}=\bigcup_{k}B_{k}\left(0\right)임을 염두하면 다음과 같은 결론을 얻는다.

Theorem. Let 1<q<\infty. If \boldsymbol{f}\in\Leb {q}_{\mathrm{loc}}\left(\mathbb{R}^{n}\right)^{n} satisfies

    \[ \int_{\mathbb{R}^{n}}\boldsymbol{f}\cdot\boldsymbol{\Phi}dx=0\quad\text{for all }\boldsymbol{\Phi}\in C_{0,\sigma}^{\infty}\left(\mathbb{R}^{n}\right), \]

then there exists \psi\in\Sob{1}{q}_{\mathrm{loc}}\left(\mathbb{R}^{n}\right) such that

    \[ \boldsymbol{f}=\nabla\psi\quad\text{in }\Omega. \]

사실은 임의의 domain \Omega은 bounded Lipschitz domain들의 증가수열의 union으로 표현할 수 있기 때문에 전체공간이 아닌 임의의 domain에서 성립하는 결과다.

마지막으로 최신 연구결과를 소개하고 이 글을 마치고자 한다. 앞서 우리가 보인건 \Omega가 bounded Lipschitz domain, 1<q<\infty, f\in\Leb{q}\left(\Omega\right), \int_{\Omega}fdx=0일 때 \Div\boldsymbol{u}=f을 만족하는 \boldsymbol{u}\in\Sob {1}{q}_{0}\left(\Omega\right)가 존재한다는 것을 보였다.

이제 관심있는 경우가 q=1,q=\infty다. f\in\Leb{1}\left(\Omega\right)일 때 \triangle u=f를 만족하는 u\in\Sob {2}{1}\left(\Omega\right)이 존재하지 않는다는 것은 잘 알려진 결과다. 마찬가지로 f\in\Leb{\infty}\left(\Omega\right)일 때도 \triangle u=f를 만족하는 u\in\Sob{2}{\infty}\left(\Omega\right)도 존재하지 않는다는 것도 잘 알려져있다.

그러나 \Div\boldsymbol{u}=f일 경우는 구조가 달라 어떻게 될지 기대하게 되는데, 둘다 \boldsymbol{u}\in\Sob{1}{1}, \boldsymbol{u}\in\Sob{1}{\infty} 해가 없다는 것을 보일 수 있다.

우선 q=1일 때 증명을 해보도록 하자. 해당하는 명제는 2004년에 Bourgain과 Brezis가 보였다. 귀류법으로 보이고자 한다. 주어진 f\in\Leb{1}\left(\Omega\right) with \int_{\Omega}fdx=0에 대하여

    \[ \Div\boldsymbol{v}=f,\quad\norm{\boldsymbol{v}}{1,1;\Omega}\le c\norm f{1;\Omega} \]

를 만족하는 \boldsymbol{v}\in\Sob{1}{1}_{0}\left(\Omega\right)가 존재한다고 가정하자.
g\in\Leb{1}\left(\Omega\right)이라 하고 f=g-g_{\Omega}라 두자. 여기서 g_{\Omega}=\frac{1}{\left|\Omega\right|}\int_{\Omega}gdx이다. 그러면 임의의 u\in C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right)에 대하여

    \[ \left\langle \nabla u,\boldsymbol{v}\right\rangle =-\left\langle u,\Div\boldsymbol{v}\right\rangle =-\left\langle u,g-g_{\Omega}\right\rangle \]

를 얻고 Hölder’s inequality와 Poincaré’s inequality, Sobolev embedding theorem에 의하여

    \[ \left|\left\langle u-u_{\Omega},g\right\rangle \right|\le c\norm{\nabla u}{n;\Omega}\norm{\boldsymbol{v}}{\frac{n}{n-1};\Omega}\le c\norm{\nabla u}{n;\Omega}\norm{\boldsymbol{v}}{1,1;\Omega} \]

를 얻는다. 따라서

    \[ \left|\left\langle u-u_{\Omega},g\right\rangle \right|\le c\norm{\nabla u}{n;\Omega}\norm g{1;\Omega} \]

을 얻으며 duality에 의하여

    \[ \norm{u-u_{\Omega}}{\infty;\Omega}=\sup_{\norm g{1;\Omega}=1}\left|\left\langle u-u_{\Omega},g\right\rangle \right|\le c\norm{\nabla u}{n;\Omega} \]

를 얻는다. 따라서 임의의 u\in C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right)에 대하여

    \[ \norm u{\infty;\Omega}\le c\norm{\nabla u}{n;\Omega} \]

를 얻는데, \Sob{1}{n}\Leb{\infty}에 embedding이 되지 않으므로 모순이다. 그러므로 q=1일 때는 \Div\boldsymbol{u}=f\Sob{1}{1}_{0}\left(\Omega\right) 해가 존재하지 않을 수 있다.

q=\infty일 때는 이전에 많은 사람들이 증명했다. 증명은 T. McMullen, Lipschitz maps and nets in Euclidean space, Geom. Funct. Anal. 8 (1998), 304–314를 참고하라.

Bourgain-Brezis는 2004년에 다음과 같은 비자명한 결론을 하나 얻었다.

Theorem. Let \Omega be a bounded and locally Lipschitz domain in \mathbb{R}^{n},
n\ge2. For every f\in\Leb{n}\left(\Omega\right) satisfying \int_{\Omega}fdx=0, there exists a solution \boldsymbol{v}\in\Sob{1}{n}\left(\Omega\right)\cap\Leb{\infty}\left(\Omega\right) such that \Div\boldsymbol{v}=f in \Omega. Furthermore, \boldsymbol{v}\in C\left(\overline{\Omega}\right) and obeys the following estimate

    \[ \norm{\boldsymbol{v}}{\infty;\Omega}\le c\norm f{n;\Omega}. \]

증명은 필자의 수준을 넘어가서 생략한다. 기회가 있으면 추후 쓰고자 한다.

다음 글은 이 결과를 바탕으로 Helmholtz-Weyl decomposition을 얻을 것이다.

Notes 0. Introduction

이 블로그에서는 한동안 주기적으로 나비에-스토크스 방정식의 고전적인 수학적 이론을 소개하고자 한다. 이 글에서 소개하는 것에는 새로운 것이 거의 없으며, 글쓴이는 공부단계에서 정리하는 차원에서 글을 쓰는 것일 뿐이다.

나비에-스토크스 방정식은 점성이 있는 유체의 흐름을 기술하는 방정식이다. 이 방정식은 공학적 응용도 뛰어나며, 산업적 응용도 많이 활용되고 있다. 예를 들어서 인공심장의 혈류의 흐름을 연구하거나, 해양과 기상학에 관련된 연구를 하거나, 자동차 또는 비행기의 공기저항을 연구할 때, 이 방정식을 빼고서는 연구가 불가능할 정도로 많은 유용성이 입증이 된 방정식이다.
유체가 비압축성일 때 뉴턴유체의 나비에-스토크스 방정식은 다음과 같다.

    \[ (NS) \qquad \left\{ \begin{array}{rl} u_t + (u \cdot \nabla ) u - \Delta u + \nabla p = f \quad\mbox{in}\,\, (0,T) \times\Omega \,\,\,\,\,\,\, \,\\ {\rm div}\, u =0 \quad\mbox{in}\,\, (0,T) \times\Omega\, \,\,\, \,\,\,\,\\ u =0 \quad \mbox{on}\,\, (0,T) \times \partial\Omega \,\,\, \\ u=u_0 \quad \mbox{on}\,\, \{t=0\} \times\Omega , \end{array}\right. \]

여기서 \Omega\mathbb{R}^3의 한 정역이다. 이론을 어떻게 전개하느냐에 따라 다르지만, 이 연재글에서 다룰 수학적인 이론에서는 점성상수를 1로 보편적으로 둔다.

나비에-스토크스 방정식은 수학적인 이론의 측면에서 많은 부분이 많이 알려지지 않았다. 가장 유명한 문제는 강해의 존재성이다. 시간효과를 무시할 수 있는 경우 또는 비선형항 u\cdot \nabla u이 없는 경우에는, 초기치가 매우 부드러울 경우, 강해의 존재성이 증명되었으나, 일반적인 나비에-스토크스 방정식의 경우 강해의 존재성이 아직까지 알려져 있지 않다.

1934년에 장 르레가 나비에-스토크스 방정식의 약해의 존재성을 보인 이후, 많은 사람들이 강해의 존재성을 증명하려고 시도를 했으나 부분적인 결과 외에 완전한 해를 얻지 못했다. 그로인해 2000년에 클레이-수학 난제센터에서 밀레니엄 난제 중 하나로 선정했으며, 아직까지도 미해결 상태로 남아있다. 2014년에 테렌스 타오는 평균화된 나비에-스토크스 방정식의 경우, 유한시간 안에 폭발하는 해(finite time blowup)가 존재함을 보였다. 전문가들 사이에서도 강해가 존재하는지, 유한시간 안에 폭발하는 해가 존재하는지 의견이 분분한 상태다.

또다른 측면에서 다양한 도메인 조건 하에서 해의 존재성이 있는지 아직까지는 연구가 많이 필요한 방정식이다. 예를 들어서 댐에서 물을 빼낼 때, 갇혀있는 물의 흐름이 빠져나오는 경우 어떠한 해가 있는지에 대해서도 아직 연구가 미진한 상태이다. 정역이 회전할 경우, 수학적인 해의 존재성이 있는지도 완전한 연구가 된 상태가 아니다. 이러한 부분에 대한 연구는 시간을 무시할 수 있는 (정상) 나비에-스토크스 방정식의 경우에는 이탈리아, 한국과 일본의 수학자들에 의해 어느정도 해결된 것으로 알고 있으나, 완전한 해답은 아직 안 나온 것으로 알고 있다. 정역들에 부여된 다양한 조건들은 여러가지 물리적인 상황에서도 나오기 때문에, 현학적인 조건이 아니다.

이 연재 시리즈에서는 나비에-스토크스 방정식의 수학적인 이론을 건설하는 것을 목표로 하며, 다음과 같은 구성으로 연재하려고 한다. 이 연재글에서는 \Omega를 유계인 경우만 다루고자 한다.

Chapter 1. Preliminaries
Chapter 2. Physical derivation of Navier-Stokes equation
Chapter 3. Existence and regularity theory of Stokes equation
Chapter 4. Existence and regularity theory of Stationary Navier-Stokes equation
Chapter 5. Existence theory of nonstationary Navier-Stokes equation
Chapter 6. Partial result on regularity theory of nonstationary Navier-Stokes equation

Chapter 1에서는 헬름홀츠 분해를 증명하는 것을 목표로 한다. 다양한 접근방법이 있지만, 매우 약한 조건하에서 헬름홀츠 분해의 존재성을 보이는 가장 쉬운 방법은 방정식

    \[ \mathrm{div } u =f \]

을 이해하는 것이다. 이 방정식 자체도 최근에도 결과가 나올 정도로 완전한 이해가 된 방정식은 아니다. 이 글에서는 이 방정식을 특이적분이론을 사용하지 않고, 비교적 초등적인 방법으로 공부하는 것을 목표로 한다.

Chapter 2에서는 나비에-스토크스 방정식을 물리적인 방법을 이용해서 유도하는 것을 목표로 한다. 수학적인 이론을 이해하는데에는 물리적 유도가 그렇게 중요하지는 않지만, 이 방정식은 모델링으로 나온 방정식이 아닌 물리적인 가정으로부터 유도되는 방정식이다. 그렇기 때문에 글쓴이는 이 방정식을 물리적으로 유도하는 것을 이해하는 것 또한 중요하다고 생각한다. 이 부분은 주로 란다우-렙시쯔의 설명방법을 따라가며, 다른 책들의 설명도 참고해서 기술할 것이다.

Chapter 3부터 Chapter 5까지는 고전적인 나비에-스토크스 방정식 이론에 관한 내용이며, 나비에-스토크스 방정식의 해의 존재성을 주로 다룰 것이다. 해의 존재성을 보일 때 다양한 이론들을 사용할 것인데, 필요한 이론의 경우에는 기술할 것이며, 증명은 적절한 수준에서 제공할 것이다.

Chapter 6는 현재의 나비에-스토크스 방정식의 해의 정칙성이론이 어디까지 진행되었는지를 간략하게 살펴보는 것으로 마무리하고자 한다.

Definition of Locally Convex Topological Spaces

Locally convex topological space의 정의는 크게 두 가지가 있다.

하나는

Definition A. A linear topological space X is called a locally convex linear topological space if any of its open sets containing 0 contains a convex, balanced and absorbing open set.

이고 또 다른 하나는

Definition B. A linear topological space X is called a locally convex linear topological space if there is a local base \mathcal{B} whose members are convex.

이다.

첫 번째 정의는 Yosida의 정의고, absorbing이라는 조건을 제외하면 위키와 Conway에서 사용하는 정의다. 두 번째 정의는 Rudin과 Lax에서 택하는 정의다.

수업시간에 나는 전자로 정의를 알고 있었는데, 후자의 정의가 모자른 정의라고 생각했다. 잘못하면 scalar product을 제어하지 못하는 정의라고 생각했기 때문이다.

그러나 Rudin 책을 잘 보니, Definition B로부터 Definition A를 증명할 수 있다고 한다. 이 글은 그것을 정리해놓은 글이다.

Theorem 1.14. In a topological vector space X, every convex neighborhood of 0 contains a balanced convex neighborhood of 0.

Proof. UX에서의 0의 neighborhood라 하자. Scalar multiplication이 continuous이므로 모든 |\alpha|<\delta에 대하여

    \[ \alpha V\subset U \]

가 되도록 하는 0<\delta<1과 open neighborhood V of 0가 존재한다. 이제 W\alpha V 집합들의 union이라 두면 W0의 neighborhood이고 W는 balanced이다.

이제 U를 convex neighborhood라 하고 A=\bigcap_{|\alpha|=1} \alpha U라 하자. W를 앞서 잡은 것과 같이 두면, W는 balanced이므로 \alpha^{-1} W=W이다. 여기서 |\alpha|=1이다. 따라서 W\subset \alpha U이다. 그러므로 W\subset A이다. 이는 A^{\circ}0에서의 neighborhood가 됨을 보인다. A의 정의로부터 A^\circ \subset U임이 보여진다. Convex set의 intersection은 convex이므로 A 또한 convex이다. 그러므로 A^\circ도 또한 convex이다. 이제 A^\circ가 balanced set만 보이면 된다. 0\leq r\leq 1, |\beta|=1이 되도록 숫자들을 잡으면

    \[ r\beta A =\bigcap_{|\alpha|=1} r\beta \alpha U =\bigcap_{|\alpha|=1} r\alpha U \]

가 된다.

여기서 \alpha U0을 포함하는 한 convex set이므로 r\alpha U \subset \alpha U이다. 따라서 r\beta A\subset A이므로 원하는 바를 얻는다.

이로부터

Corollary. Every locally convex space has a balanced convex local base.

이제 absorbing 쪽을 처리하기 위해서 다음의 정리를 증명한다.

Theorem 1.15. Suppose V is a nbd of 0 in a topological vector space X.

  1. If 0<r_1<r_2<\cdots and r_n\rightarrow \infty as n\rightarrow\infty, then

        \[ X = \bigcup_{n=1}^\infty r_n V.\]

  2. Every compact subset K of X is bounded.
  3. If \delta_1>\delta_2>\cdots and \delta_n\rightarrow 0 as n\rightarrow\infty and if V is bounded, then the collection

        \[ \{\delta_n V: n=1,2,3,\dots \} \]

    is a local base for X.

Proof. (i) x\in X를 고정하자. \alpha \mapsto \alpha x이 역시나 연속함수이므로 \{ \alpha : \alpha x\in V\}이 열린집합이고 0을 포함하며, 따라서 적당히 큰 n에 대하여 \frac{1}{r_n}을 갖는다. 그러므로 적당히 큰 n에 대하여 (1/r_n) x\in V이므로 x\in r_n V이다. 따라서 원하는 바를 얻는다.

(ii) WV의 부분집합중에서 0의 한 balanced neighborhood라 하자. (i)로부터

    \[ K \subset \bigcup_{n=1}^\infty nW \]

을 얻는다. 여기서 K는 compact이므로

    \[ K\subset n W$\]

를 만족하는 정수 n이 존재한다. W가 balanced이므로 저러한 자연수 n이 존재한다. 이제 t>n이라 하면 K\subset tW\subset tV이다. 그러므로 compact set은 bounded이다.

(iii) U0의 한 원점에서의 neighborhood라 하자. 만약 V가 bounded이면 V\subset tU for all t>ss가 존재한다. \delta_n s <1보다 작게 만드는 자연수 n을 하나 잡는다면 V\subset (1/\delta_n) U를 얻으며 U는 유한개를 제외하고 \delta_n V 꼴의 집합들을 포함한다.

위의 정리로부터 topological vector space에서의 모든 원점에서의 neighborhood는 반드시 absorbing이라는 것이 증명된다.

따라서 Definition B로부터 Definition A가 함의된다.

Yosida가 이걸 몰랐을리는 없고, Minkowski functional같은 것을 유한값으로 바로 잡기 위해서 그렇게 가정한 것으로 추측된다. 그리고 이러한 construction보다 더 중요한 것은 가지고 있어야 할 성질들을 바탕으로 노는 것이 중요해서 그렇게 정의한것이 아닐까 싶다.

Minkowski functional(글 http://willkwon.dothome.co.kr/index.php/archives/446 참조)로부터 semi-norm으로 정의한 topological vector space와 Definition A, B로 정의된 topological vector space가 동치임을 보일 수 있다.

Construction of Bergman kernel, evaluation of Bergman kernel

In this note, first we construct a Bergman kernel of simply connected smooth bounded domain in \mathbb{C}. Next, we evaluate the Bergman kernel when the domain is a unit disc. Finally, we introduce Bergman metirc on a complex manifold.

1. Construction of Bergman kernel

Let \Omega be a bounded, simply connected and smooth domain in \mathbb{C}. Consider the following function space

    \[ A^{2}\left(\Omega\right):=\left\{ f:\Omega\rightarrow\mathbb{C}:f\in\Leb 2\left(\Omega\right)\text{ and analytic in }\Omega\right\} . \]

Note for z\in\Omega, since \mathrm{dist}\left(z,\partial\Omega\right)>0, there exists r>0 such that \overline{B_{r}\left(z\right)}\subset\Omega. So for any compact set K\subset\Omega, and z\in K, then there exists r>0 such that B_{r}\left(z\right)\subset K. Now by the mean value property of analytic function, we have

    \[ f\left(z\right)=\frac{1}{\left|B\left(z,r\right)\right|}\iint_{B\left(z,r\right)}f\left(\zeta\right)d\zeta. \]

Hence by the Cauchy-Schwarz inequality, we have

    \[ \left|f\left(z\right)\right|\le\frac{1}{\pi r^{2}}\Norm f_{2;\Omega}\left(\pi r^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{\pi}r}\Norm f_{2;\Omega}. \]

So there exists a constant C_{K}>0 such that \left|f\left(z\right)\right|\le C_{K}\Norm f_{2;\Omega} for all z\in K. Observe that K was arbitrary compact subset of \Omega.

Now consider a Cauchy sequence \left\{ f_{n}\right\} in A^{2}\left(\Omega\right). Then by the above estimate, \left\{ f_{n}\left(z\right)\right\} is a Cauchy sequence for every z\in K. Thus, \left\{ f_{n}\right\} converges uniformly to some f on every compact subset K in \Omega. Moreover, by Morera’s theorem, f is analyic in \Omega. Hence A^{2}\left(\Omega\right) is a closed subspace of \Leb 2\left(\Omega\right).

By the above estimate, the evaluation map L_{z}:f\mapsto f\left(z\right) is a bounded linear functional on A^{2}\left(\Omega\right). Hence by the Riesz representation theorem, for each z\in\Omega, there exists k_{z}\in A^{2}\left(\Omega\right) such that

    \[ f\left(z\right)=L_{z}\left(f\right)=\int_{\Omega}f\left(w\right)\overline{k_{z}\left(w\right)}dw. \]

We define K\left(z,w\right)=\overline{k_{z}\left(w\right)} and we call this the Bergman kernel of \Omega. By the above identity, the Bergman kernel is another reproducing kernel.

Proposition 1. Define for any f\in\Leb 2\left(\Omega\right), Bf\left(z\right)=\int_{\Omega}K\left(z,w\right)f\left(w\right)dw. Then B:\Leb 2\left(\Omega\right)\rightarrow A^{2}\left(\Omega\right) is an orthogonal projection.

Proof. If h\in\Leb 2\left(\Omega\right) belongs A^{2}\left(\Omega\right)^{\bot}, then

    \[ \int_{\Omega}h\left(z\right)\overline{g\left(z\right)}dz=0\quad\text{for all }g\in A^{2}\left(\Omega\right). \]

Then

    \[ Bh\left(z\right)=\int_{\Omega}k\left(z,w\right)h\left(w\right)dw=\int_{\Omega}h\left(w\right)\overline{k_{z}\left(w\right)}dw=0 \]

since k_{z}\left(w\right)\in A^{2}\left(\Omega\right).

We call B as a Bergman projection.

2. Bergman kernel of unit disc

In this section, we evaluate Bergman kernel when \Omega is a unit disk \mathbb{D}=\left\{ x\in\mathbb{C}:\left|x\right|<1\right\}.

Fix w\in\mathbb{D} and let f\in A^{2}\left(\mathbb{D}\right). Define

    \[ g\left(z\right)=\frac{\left(1-\overline{w}z\right)^{2}}{\left(1-\left|w\right|^{2}\right)^{2}}f\left(z\right). \]

Since \frac{\left(1-\overline{w}z\right)^{2}}{\left(1-\left|w\right|^{2}\right)^{2}} is analytic in \mathbb{D}, g is also analytic in \mathbb{D}. Since \mathbb{D} is bounded domain, g\in A^{2}\left(\mathbb{D}\right).

Consider \psi_{w}\left(z\right):=\frac{w-z}{1-\overline{w}z}, where w\in\mathbb{D}. This mapping is called Blaschke factors. This map has several interesting properties.

  • \psi_{w} maps the unit disc to itself and is holomorphic.
  • \psi_{w} interchanges 0 and w.
  • \left|\psi_{w}\left(z\right)\right|=1
  • If \left|z\right|=1. Also, \psi_{w}\circ\psi_{w}=\mathrm{Id}.

Moreover, the family is automorphism of \mathbb{D}. Hence g\circ\varphi_{w} is analytic in \mathbb{D}. So

    \begin{align*} f\left(w\right) & =g\left(w\right)=g\circ\psi_{w}\left(0\right)\\ & =\frac{1}{\pi}\iint_{\mathbb{D}}g\left(\psi_{w}\left(z\right)\right)dz. \end{align*}

Now change of variable gives

    \begin{align*} f\left(w\right) & =\frac{1}{\pi}\iint_{\mathbb{D}}g\left(z\right)\left|J_{z}\psi_{w}\left(z\right)\right|dz\\ & =\frac{1}{\pi}\iint_{\mathbb{D}}g\left(z\right)\frac{\left(1-\left|w\right|^{2}\right)^{2}}{\left|1-\overline{w}z\right|^{4}}dz\\ & =\frac{1}{\pi}\iint_{\mathbb{D}}\frac{\left(1-\overline{w}z\right)^{2}}{\left(1-\left|w\right|^{2}\right)^{2}}f\left(z\right)\frac{\left(1-\left|w\right|^{2}\right)^{2}}{\left|1-\overline{w}z\right|^{4}}dz\\ & =\frac{1}{\pi}\iint_{\mathbb{D}}\frac{f\left(z\right)}{\left(1-w\overline{z}\right)^{2}}dz. \end{align*}

So by the uniqueness of Bergman kernel, we conclude that

    \[ K\left(z,w\right)=\frac{1}{\pi}\frac{1}{\left(1-w\overline{z}\right)^{2}}. \]

3. Bergman metric

Actually, the theory can be generalized to the theory of several complex variables. In the theory of complex variable, for any holomorphic function f on \Omega\subset\mathbb{C}^{n}, we have Cauchy integral
formula. Hence the proof is exactly same as in the case of single variable function.

One of the important concept arising from the Bergman kernel is the Bergman metric defined on the complex manifold. Let \Omega\Subset\mathbb{C}^{n} be a domain and let K\left(z,w\right) be the Bergman kernel on \Omega. For z\in\Omega, we have K_{\Omega}\left(z,z\right)>0.
Hence we deifne a Hermitian metric on \Omega by

    \[ g_{ij}\left(z\right)=\frac{\partial^{2}}{\partial z_{i}\partial\overline{z}_{j}}\log K\left(z,z\right),\quad z\in\Omega. \]

This metric is called the Bergman metric on \Omega. So the square of the length of a tangent vector \xi=\left(\xi_{1},\dots,\xi_{n}\right) at a point z\in\Omega is given by

    \[ \left|\xi\right|_{B,z}=\sum_{i,j}g_{ij}\left(z\right)\xi_{i}\overline{\xi}_{j}. \]

In a Hermitian metric \left\{ g_{ij}\right\}, the length of a C^{1} curve \gamma:\left[0,1\right]\rightarrow\Omega is given by

    \[ \ell\left(\gamma\right)=\int_{0}^{1}\left(\sum_{i,j}g_{ij}\left(\gamma\left(t\right)\right)\gamma_{i}^{\prime}\left(t\right)\overline{\gamma_{j}^{\prime}}\left(t\right)\right)^{\frac{1}{2}}dt. \]

So for any p,q\in\Omega, we define the distance d_{\Omega}\left(p,q\right) as follows:

    \[ d_{\Omega}\left(p,q\right):=\inf\left\{ \ell\left(\gamma\right):\text{ all PL }C^{1}\text{ curves }\gamma\text{ such that }\gamma\left(0\right)=p\text{ and }\gamma\left(1\right)=q\right\} . \]

The distance d_{\Omega} is called the Bergman distance.

Interestingly, the distance is invariant under biholomorphic mappings.

References

  1. Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.