# Monthly Archives: December 2016

## Marcinkiewicz-Zygmund’s SLLN

First, we present well-known Khintchine-Kolmogorov Theorem.

Theorem (Khintchine-Kolmogorov). Let be independent random variables with finite expectation. If ,
then converges a.e.

Now we present the Marcinkiewicz-Zygmund theorem which is our object of this article.

Theorem (Marcinkiewicz-Zygmund Theorem). Suppose that are i.i.d with for some . Then where Proof. Set Then The last inequality comes from the fact Now Hence converges a.e. Note that Hence by Borel-Cantelli’s lemma, a.e. for all but finitely many . Hence converges a.e. This completes the proof.

Now we give some application of this theorem.

Problem. Given i.i.d sequence of random variables , assume and Show converges almost surely.

Proof. Note that . Indeed, Hence it suffices to show

(1) Indeed, suppose the above is true. Then note that since .

Now Marcinkiewicz-Zygmund theorem gives converges almost surely.

Now we left to show that (1) holds. Let .
Then observe that So we are done.

## Derivation of Navier-Stokes equation

이 글은 Euler equation에서 얻는 momentum conservation law로부터 Newtonian fluid에서의 Navier-Stokes equation을 유도하는 것을 목표로 한다. 를 유체의 밀도라고 하고, 를 유체의 속도, 를 유체의 압력이라 하자.  Euler equation에서 얻는 momentum conservation law는 다음과 같다: 여기서 이다.

여기서 이 방정식은 ideal fluid에서 유도된 것이다. ideal fluid은 열 교환이나 점성을 무시하는 유체다. 그러나 Navier-Stokes equation에서 고려하는 상황은 점성(viscosity)가 있는 상황이므로 momentum conservation에 다른 변수가 추가되어야 한다.

위 식에서 대신 을 넣는다.  여기서 는 점성 효과를 넣기 위하여 고려된 변수로 Newtonian fluid에서는 라 가정하는 것이 합리적이며,  이를 바탕으로 와 같이 정의한다.

여기서 는 상수이며 특히 은 양수인 점성 상수다.

그럼 이를 바탕으로 Navier-Stokse equation을 유도한다. Summation 기호를 생략하면 곱의 법칙에 의하여 을 얻는다.

여기서 mass conservartion law에 의하여 에 의하여 을 얻으며, 이를 벡터기호로 정리하면 을 얻는다. 좌변은 유체의 관성을 기술하며, 우변은 유체에 가해지는 힘이다.

이제 incompressiblity을 가정하면, 즉 를 상수로 취급하고 이라
하면 을 얻는다.

여기서 Navier-Stokes equation을 momentum conservation law을 바탕으로 유도했다.
Incompressible Navier-Stokes equation은 점성항 때문에 일반적으로 energy conservation law가 발생하지 않는다. 적절한 가정을 위하여 에 대하여 라 하자. 라 하면 를 얻는다.

Incompressibility 가정 으로부터 을 얻는다. 이제 이를 적분하면 divergence theorem에 의하여 를 얻는다. 를 원점을 중심으로 하는 구라 하고 반지름이 적당히 커서 이 되도록
한다면, 를 얻는다. 마지막은 이 대칭텐서이기 때문에 성립한다.

여기서 라 가정했으므로 를 얻는다. 여기서 이므로 임을 얻는다. 즉 에너지가 일반적으로 분산된다.