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Continuous Random variable which does not have pdf

수업의 특성상 어쩔 수 없는거 같긴 한데, 정의가 엄밀하지 못해서 개인적으로는 답답한 상태로 듣고 있다.

확률공간 (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})에 대하여 확률변수 X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}을 생각한다. X의 누적분포함수(culmulative distribution function)을 F_X라 쓰고 이를 다음과 같이 정의한다:

    \[F_X (x) =\mathbb{P}\{X\leq x\}\quad x\in \mathbb{R}.\]

이 때 확률변수 X가 continuous라는 것은 F_X가 continuous일 때라고 정의한다. F_X는 monotone increasing function이므로 almost everywhere에서 미분가능하다는 것이 르베그 미분정리다. 그런데 보통 연속확률변수를 다음과 같은 식이 만족하도록 하는 확률밀도함수 f_X가 존재할 때를 말하는 경우가 많다: 임의의 x\in \mathbb{R}에 대하여

    \[\mathbb{P} \{X\leq x\} = \int_{-\infty}^{x} f_X (t) dt\]

를 만족한다.

그런데 엄밀히 말하면 이것은 아주 특별한 경우에 불과하다. 연속확률변수라고 해서 반드시 확률밀도함수를 가지는 것은 아니다. 이에 대한 예를 드는건 실변수함수론 수준에서 충분히 할 수 있다. Cantor-Lebesgue function을 (-\infty,0)에서 0, (1,\infty)에서 1이라 하자. 그러면 이 함수는 연속함수이고, 단조증가함수이고, 음의 무한대에서는 0, 양의 무한대에서는 1을 갖는 함수다. 그러면 이 함수를 어떤 확률변수 X의 CDF로 볼 수 있다. 그런데 Cantor-Lebesgue function은 absolutely continuous function이 아니므로 이를 어떤 함수의 적분형으로 바라볼 수 없다.

그래서 보통 부르는 연속확률변수는 (absolutely) continuous random variable이라 하는 것이 정확하다.