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Weak Young’s convolution theorem

잘 알려진 Young’s convolution inequality는 다음과 같다.

Theorem. For all \left(p,q,r\right)\in\left[1,\infty\right]^{3} such that

    \[ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1+\frac{1}{r} \]

and f\in\Leb p\left(\mathbb{R}^{d}\right), g\in\Leb q\left(\mathbb{R}^{d}\right), we have f*g\in\Leb r\left(\mathbb{R}^{d}\right) and

    \[ \norm{f*g}{\Leb r}\le\norm f{\Leb p}\norm g{\Leb q}. \]

이제 한 쪽의 integrability가 조금 약해져도 Young’s convolution theorem이 성립한다.

Theorem. Let \left(p,q,r\right)\in\left(1,\infty\right)^{3} and satisfies

    \[ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1+\frac{1}{r}. \]

Then for any f\in\Leb p\left(\mathbb{R}^{d}\right) and g\in\Leb q_{w}\left(\mathbb{R}^{d}\right), f*g\in\Leb r\left(\mathbb{R}^{d}\right) and there is a constant
C>0 such that

    \[ \norm{f*g}{\Leb r}\le C\norm f{\Leb p}\norm g{\Leb q_{w}}. \]

여기서 \Leb q_{w}\left(\mathbb{R}^{d}\right)이란 다음과 같이 정의되는 weak \Leb q space라 한다:

    \[ \norm g{\Leb q_{w}\left(\mathbb{R}^{d}\right)}^{q}:=\sup_{\lambda>0}\lambda^{q}\mu\left\{ \left|g\right|>\lambda\right\} <\infty \]

가 되는 함수들의 모임이다.

저자에 따라서는 \Leb{q,\infty}라 쓰는 경우도 있으나, Lorentz space와의 혼동을 막기 위해서 \Leb q_{w}라 쓴다.

우선 자연스러운 시도는 원래의 Young’s convolution inequality를 변형해서 잘 이용하는 것이다.

f,g를 nonnegative measurable function이라 하고 nonnegative h\in\Leb{r^{\prime}}\left(\mathbb{R}^{d}\right)에 대하여

    \[ I\left(f,g,h\right):=\int_{\mathbb{R}^{d}\times\mathbb{R}^{d}}f\left(y\right)g\left(x-y\right)h\left(x\right)dxdy \]

라 하자. homogeneity를 쓰면 되므로 \norm f{\Leb p}=\norm g{\Leb q_{w}}=\norm h{\Leb{r^{\prime}}}=1이라 하자.

C_{j}:=\left\{ y\in\mathbb{R}^{d}:2^{j}\le g\left(y\right)<2^{j+1}\right\}이라
하면

    \[ I\left(f,g,h\right)\le2\sum_{j\in\mathbb{Z}}2^{j}I_{j}\left(f,h\right) \]

이며 여기서

    \[ I_{j}\left(f,h\right):=\int_{\mathbb{R}^{d}\times\mathbb{R}^{d}}f\left(y\right)h\left(x\right)1_{C_{j}}\left(x-y\right)dxdy \]

이다. 그런데 \norm g{\Leb q_{w}}=1이므로

    \[ \norm{1_{C_{j}}}{\Leb s}\le2^{-j\frac{q}{s}} \]

for all 1\le s\le\infty이 성립한다. 이제 Holder’s inequality, Young’s
convolution inequality를 쓰면

    \begin{align*} I_{j}\left(f,h\right) & \le\norm h{\Leb{r^{\prime}}}\norm{f*1_{C_{j}}}{\Leb r}\\ & \le\norm h{\Leb{r^{\prime}}}\norm f{\Leb p}\norm{1_{C_{j}}}{\Leb q}\\ & \le2^{-j} \end{align*}

를 얻는다. 그러나 이 걸로는 \sum_{j\in\mathbb{Z}}2^{j}I_{j}\left(f,h\right)가 수렴한다는 보장을 못한다.

그러므로 여기서 새로운 기술을 도입할 필요가 생긴다. 여기서 문제가 발생했던 이유는 I_{j}\left(f,h\right)를 estimate할 때 일반적인 Young’s convolution inequality를 썼는데 이 estimate가 optimal하지가 않아서 convergence 문제가 발생하는 것이다. 이 문제를 해결하기 위해서는 단순히 C_{j}로 쪼개는 것을 넘어서 h,f에 대해서도 정보를 최대한 뽑아낸다. 이를 도와주는 도구가 바로 atomic decomposition이다.

Lemma. Let \left(X,\mu\right) be a measure space and 1\le p<\infty. Let f be a nonnegative function in \Leb p. Then there exist sequence of positive real numbers \left\{ c_{k}\right\} _{k\in\mathbb{Z}} and a sequence of nonnegative functions \left\{ f_{k}\right\} _{k\in\mathbb{Z}}(the atoms) such that

    \[ f=\sum_{k\in\mathbb{Z}}c_{k}f_{k} \]

where the supports of the functions f_{k} are pairwise disjoint and

  1. \mu\left(\supp{f_{k}}\right)\le2^{k+1},
  2. \norm{f_{k}}{\Leb{\infty}}\le2^{-\frac{k}{p}},
  3. \norm f{\Leb p}^{p}\approx\sum_{k\in\mathbb{Z}}c_{k}^{p}.

 

우선 잠시 이 사실을 받아들이고 증명을 해보도록 하자.

f,h에 대한 atomic decomposition을 고려해보도록 하자:

    \[ I_{j}\left(f,h\right)=\sum_{k,l}c_{k}d_{l}I_{j}\left(f_{k},h_{l}\right). \]

이제 \left(a,b\right)\in\left[1,\infty\right]^{2}이고 b\le a^{\prime}, \left(\tilde{f},\tilde{h}\right)\in\Leb a\times\Leb b가 되는 것을 고르면 Young’s inequality에 의하여

    \[ I_{j}\left(\tilde{f},\tilde{h}\right)\le\norm{\tilde{f}}{\Leb a}\norm{\tilde{h}}{\Leb b}\norm{1_{C_{j}}}{\Leb{c^{\prime}}},\quad\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1+\frac{1}{c} \]

이 성립한다. 이로부터

    \[ I_{j}\left(\tilde{f},\tilde{h}\right)\le2^{-j\left(2-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)}\norm{\tilde{f}}{\Leb a}\norm{\tilde{h}}{\Leb b} \]

가 성립한다. 이제 Atomic decomposition의 결과를 사용하면

    \begin{align*} 2^{j}I_{j}\left(f_{k},h_{l}\right) & \le2^{jq\left(\frac{1}{q}-2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)}2^{k\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{p}\right)}2^{l\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{r^{\prime}}\right)}\\ & =2^{\left(jq+k\right)\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{p}\right)}2^{\left(jq+l\right)\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{r^{\prime}}\right)} \end{align*}

을 얻는다. 이제 a,b

    \[ \frac{1}{a}=\frac{1}{p}-2\varepsilon\mathrm{sgn}\left(jq+k\right),\quad\frac{1}{b}=\frac{1}{r^{\prime}}-2\varepsilon\mathrm{sgn}\left(jq+l\right)\quad\text{with }\varepsilon=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{r}\right) \]

이라 두자. 그러면 q>1이므로 p<r임을 안다. 그러므로 b\le a^{\prime}을 얻는다. 따라서 삼각부등식에 의하여

    \begin{align*} 2^{j}I_{j}\left(f_{k},h_{l}\right) & \le2^{-2\varepsilon\left|jq+k\right|-2\varepsilon\left|jq+l\right|}\\ & \le2^{-\varepsilon\left|jq+k\right|-\varepsilon\left|jq+l\right|-\varepsilon\left|k-l\right|} \end{align*}

을 얻는다. 이제 counting measure를 갖춘 후 \mathbb{Z}위에서 Young’s convolution inequality를 적용하면

    \begin{align*} I\left(f,g,h\right) & \le C\sum_{j,k,l}c_{k}d_{l}2^{-\varepsilon\left|jq+k\right|-\varepsilon\left|jq+l\right|-\varepsilon\left|k-l\right|}\\ & \le\frac{C}{\varepsilon}\sum_{k,l}c_{k}d_{l}2^{-\varepsilon\left|k-l\right|}\\ & \le\frac{C}{\varepsilon^{2}}\norm{\left\{ c_{k}\right\} }{\ell^{p}}\norm{\left\{ d_{l}\right\} }{\ell^{p^{\prime}}} \end{align*}

를 얻고 r^{\prime}\le p^{\prime}으로부터

    \[ I\left(f,g,h\right)\le\frac{C}{\varepsilon^{2}}\norm{\left\{ c_{k}\right\} }{\ell^{p}}\norm{\left\{ d_{l}\right\} }{\ell^{r^{\prime}}} \]

을 얻는다. 이제 \left\{ c_{k}\right\} ,\left\{ d_{l}\right\}이 조건에 의하여

    \[ I\left(f,g,h\right)\le C_{p,q,r}\norm f{\Leb p}\norm h{\Leb{r^{\prime}}} \]

를 얻으므로 duality argument와 scaling에 의하여

    \[ \norm{f*g}{\Leb r}\le C_{p,q,r}\norm f{\Leb p}\norm g{\Leb q_{w}} \]

를 얻는다. 이제 증명에서 남은 것은 atomic decomposition을 증명하는 것이다. 이를 위해

    \begin{align*} \lambda_{k} & =\inf\left\{ \lambda:\mu\left\{ f>\lambda\right\} <2^{k}\right\} ,\\ c_{k} & =2^{\frac{k}{p}}\lambda_{k},\\ f_{k} & =c_{k}^{-1}1_{\left\{ \lambda_{k+1}<f\le\lambda_{k}\right\} }f \end{align*}

라 하자. \lambda_{k},f_{k}의 정의에 의하여 \norm{f_{k}}{\Leb{\infty}}\le2^{-\frac{k}{p}}이고 \lambda_{k}의 정의에 의하여 \left\{ \lambda_{k}\right\} _{k\in\mathbb{Z}}은 decreasing한다. 그리고 \lambda_{k}의 정의에 의하여 \mu\left\{ f>\lambda_{k}\right\} \le2^{k}가 성립하므로 \mu\left(\supp{f_{k}}\right)\le2^{k+1}이 성립한다. 따라서

    \begin{align*} \sum_{k\in\mathbb{Z}}c_{k}^{p} & =\sum_{k\in\mathbb{Z}}2^{k}\lambda_{k}^{p}\\ & =p\sum_{k\in\mathbb{Z}}\int_{0}^{\infty}2^{k}1_{\left(0,\lambda_{k}\right)}\left(\lambda\right)\lambda^{p-1}d\lambda \end{align*}

이 성립한다. 따라서 Fubini’s theorem에 의하여

    \[ \sum_{k\in\mathbb{Z}}c_{k}^{p}=p\int_{0}^{\infty}\lambda^{p-1}\left(\sum_{\left\{ k:\lambda_{k}>\lambda\right\} }2^{k}\right)d\lambda \]

이 성립한다. 따라서 \left\{ \lambda_{k}\right\} _{k\in\mathbb{Z}}에 의하여 \lambda<\lambda_{k}이므로 \mu\left(f>\lambda\right)\ge2^{k}이므로

    \begin{align*} \sum_{k\in\mathbb{Z}}c_{k}^{p} & \le p\int_{0}^{\infty}\lambda^{p-1}\left(\sum_{\left\{ k:\mu\left\{ f>\lambda\right\} \ge2^{k}\right\} }2^{k}\right)d\lambda\\ & \le2p\int_{0}^{\infty}\lambda^{p-1}\mu\left(f>\lambda\right)d\lambda\\ & =2\norm f{\Leb p}^{p} \end{align*}

를 얻는다.

반대방향을 보이기 위해서 \left\{ f_{k}\right\} _{k\in\mathbb{Z}}의 support들이 pairwise disjoint하다는 사실을 생각하면

    \[ \norm f{\Leb p}^{p}=\sum_{k\in\mathbb{Z}}c_{k}^{p}\norm{f_k}{\Leb p}^{p} \]

를 얻고 \norm{f_{k}}{\Leb p}^{p}\le2 for all k\in\mathbb{Z}로부터 원하는 바를 얻는다.

Remark. (1) 위의 정리는 \mathbb{R}^d에서 정의된 함수에 대해서만 다루었다. 일반적으로 locally compact topological group위에서 Borel set E에 대하여 E^{-1}E의 measure가 같은 haar measure에 대해서 위 결과를 확장시킬 수 있다. 증명은 동일하다.

(2) Weak Schur test를 이용해서도 증명할 수 있다.

Reference
H. Bahouri and J.-Y. Chemin and R. Danchin, Fourier analysis and nonlinear partial differential equations, Springer, 2011.