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Determinant

이 글에서는 행렬식(determinant)을 정의하고 여러가지 성질들에 대해서 논하고 증명하도록 한다.

보통 선형대수학 책에서는 adjoint expansion을 이용해서 귀납적으로 정의를 한다. 이렇게 정의하면 ‘계산’을 하는데 장점을 가지게 된다. 그렇지만 어떤 성질을 유도하기에는 그렇게 적합한 형태는 아니다.  이 글에서는 행렬식을 형식적으로 정의를 하고자 한다. 이렇게 정의했을 때는 계산의 장점을 잃어버리지만, 여러가지 성질들을 유도할 때 유용한 면이 있다.

Definition 1. 실수성분을 갖는 n\times n 행렬들의 몽모임들을 정의역으로 갖는 실함수 f가 다음의 성질들을 모두 만족하면 이를 행렬식 함수(determinant function)이라 한다:

  1. f(I_n)=1
  2. f의 두 행이 서로 바뀔 경우 부호가 바뀐다. 즉, BA에서 두 행만 서로 바뀌었을 때, f(B)=-f(A)이다.
  3. f는 첫번째 행에서 선형성을 갖는다. 즉,

        \[ f\begin{bmatrix}a\mathbf{r}_{1}+\mathbf{r}_{1}^{\prime}\\ \mathbf{r}_{2}\\ \vdots\\ \mathbf{r}_{n} \end{bmatrix}=af\begin{bmatrix}\mathbf{r}_{1}\\ \mathbf{r}_{2}\\ \vdots\\ \mathbf{r}_{n} \end{bmatrix}+f\begin{bmatrix}\mathbf{r}_{1}^{\prime}\\ \mathbf{r}_{2}\\ \vdots\\ \mathbf{r}_{n} \end{bmatrix} \]

    이다.

이 함수의 성질을 갖는 것은 유일하므로 f=\det라 쓴다.

Limit points of {sin n}

Proposition 1. \alpha가 무리수일 때, A=\left\{ m+n\alpha:m,n\in\mathbb{Z}\right\}\mathbb{R}에서 dense하다.

Proof. \left\langle \alpha\right\rangle ,\left\langle 2\alpha\right\rangle ,\dots\left\langle \left(n+1\right)\alpha\right\rangle와 같은 수열을 생각하자. 여기서 n\ge1은 임의의 정수다. \alpha\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}이므로 \left\langle j\alpha\right\rangle \neq\left\langle k\alpha\right\rangle for any 1\le j<k\le n+1이다. 이제

    \[ \left\{ \left\langle \alpha\right\rangle ,\left\langle 2\alpha\right\rangle ,\dots,\left\langle \left(n+1\right)\alpha\right\rangle \right\} \subset\left[0,1\right)=\bigcup_{k=1}^{n}\left[0,\frac{1}{k}\right) \]

가 성립한다. 그러므로 비둘기집의 원리에 의하여 적어도 한 쌍 \left\langle p\alpha\right\rangle ,\left\langle q\alpha\right\rangle\left(1\le p<q\le n+1\right)\left[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right)에 있다. 다시 말해 \left|\left\langle p\alpha\right\rangle -\left\langle q\alpha\right\rangle \right|<\frac{1}{n}이다.
이제

    \[ a_{n}=\left\langle p\alpha\right\rangle -\left\langle q\alpha\right\rangle =\left(p-q\right)\alpha+\left[q\alpha\right]-\left[p\alpha\right]\in A \]

라는 것을 기억하고 \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0이라는 것을 기억하자. 그런데 a_{n}\neq0이므로 B=\left\{ ka_{n}:k\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N}\right\}\mathbb{R}에서 dense하다. B\subset A이므로 원하는 바를 얻는다.


 

Example 1. \left\{ \sin n\right\}의 limit point들을 찾아라.

Proof. y\in\left[-1,1\right]에 대하여 x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]를 만족하는 \sin x=y가 존재한다. Kronecker’s density theorem에 의하여 a_{n}=p_{n}+2\pi q_{n}, \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=x를 만족하는 p_{n},q_{n}\in\mathbb{Z}이 존재한다. 다시 말해 p_{n}\neq0 for infinitely many n이다. 그러므로 p_{n}\neq0 for all n\ge1이라 해도 무방하다. a_{n}\rightarrow x이므로 \sin a_{n}=\sin p_{n}\rightarrow\sin x=y이다.
이제 두 가지 경우로 나누어서 증명한다.
(i) p_{n}>0 for infinitely many n\ge1. 증명 끝
(ii) p_{n}>0이 finitely many한 경우. 이런 경우에는 p_{n}<0 for all n\ge1이라 가정해도 무방하다. b_{n}=\pi-a_{n}=-p_{n}-\left(2q_{n}-1\right)\pi라 하면 b_{n}\rightarrow\pi-x이다. 그러므로 -p_{n}>0이고 \sin b_{n}\rightarrow\sin\left(\pi-x\right)=\sin x=y이다.

따라서 \left\{ \sin n\right\} ^{\prime}=\left[-1,1\right]이다.

Brief Introduction to Hardy space

이 글에서는 Hardy 공간과 그에 관련된 중요한 결과들을 소개하고자 한다. Hardy 공간의 필요성은 여러 이유에서 나타난다. 전혀 관계가 없어보이는 결과도 Hardy 공간을 도입할 경우, 보다 증명을 간편하게 할 수 있는 경우가 종종 발생한다. 쉽게 소개할 수 있는 이유로는 Hardy-Littlewood maximal function에서 나온다. \mathbb{R}^{d}에서 정의된 measurable function f에 대하여 (uncentered) Hardy-Littlewood maximal
function은

    \[ M\left(f\right)\left(x\right)=\sup_{x\in B}\frac{1}{\left|B\right|}\int_{B}\left|f\left(y\right)\right|dy \]

라 정의된다. 여기서 B는 ball이며 \left|\cdot\right|\mathbb{R}^{d}의 Lebesgue measure를 말한다.

Hardy-Littlewood maximal function은 1<p\le\infty에 대하여

    \[ \norm{Mf}{L^{p}}\le C_{p}\norm f{L^{p}} \]

를 만족한다. 여기서 p=1일 때 성립하지 않는다. 그렇기 때문에 L^{p}공간을 자연스럽게 대체할 수 있는 공간으로서 어떤 것이 있는지 살펴보는 것이 중요하다. \mathcal{S}\mathbb{R}^{d}에서 정의된 Schwarz function들의 모임이라 하자. Tempered distribution f, \Phi\in\mathcal{S}에 대하여

    \[ M_{\Phi}f\left(x\right)=\sup_{t>0}\left|\left(f*\Phi_{t}\right)\left(x\right)\right| \]

라 정의하자. 여기서 \Phi_{t}\left(x\right)=\frac{1}{t^{d}}\Phi\left(\frac{x}{t}\right)를 말하며, convolution은 임의의 h\in C_{0}^{\infty}에 대하여

    \[ \left\langle f*\Phi,h\right\rangle =\left\langle f,\tilde{\Phi}*h\right\rangle \]

로 정의된 것이다. 참고로 \left(f*\Phi_{t}\right)\left(x\right)\in C^{\infty}이므로 M_{\Phi}f는 함수다.

이제부터 Hardy space를 정의하면 다음과 같다.

Definition. \mathbb{R}^{d}위에서의 tempered distribtuion f에 대하여

    \[ M_{\Phi}f\in L^{p}\left(\mathbb{R}^{d}\right) \]

를 만족하게 하는 \Phi\in\mathcal{S}, \int\Phi dx\neq0이 존재하면 fH^{p}\left(\mathbb{R}^{d}\right)의 원소라고 말한다.

첫번째로 중요한 관찰로, H^{p}=L^{p} for p>1이다. 그러므로 어떤 의미에서 H^{p}L^{p}공간의 일반화로 간주할 수 있다.

Hardy 공간의 미묘한 현상은 0<p\leq1일 때 발생한다. 그나마 다행인건 L^{1}함수일 때 가지고 있던 Calderon-Zygmund decomposition을 확장해서 H^{p}공간에도 적용할 수 있다는 것이다. 이 글에서는 그 원리를 설명하기에는 다소 복잡해서 적절치는 못하다.

아무튼간에 확장된 Calderon-Zygmund decomposition에 인하여 H^{p}\left(p\le1\right)의 원소를 단순한 성질을 갖는 함수들의 합으로 표현할 수 있는 기반을 갖게 된다. 이를 Atomic decomposition이라 하는데, 그 근본이 되는 H^{p}-atom을 정의하면 다음과 같다.

Definition. p\le1일 때, 다음의 성질을 갖는 함수 aH^{p}-atom이라 한다:

  1. \item a의 support는 한 ball의 부분집합이고,
  2. \left|a\right|\le\left|B\right|^{-\frac{1}{p}} a.e.이고
  3. \int x^{\beta}a\left(x\right)dx=0 for all \beta with \left|\beta\right|\le n\left(\frac{1}{p}-1\right)
    만족한다.

우선 aH^{p}-atom이면, a\in H^{p}이다. 그리고 1과 2에 의하여 \int\left|M_{\Phi}\left(a\right)\right|^{p}dx\le c라는 것을 확인할 수 있다. 여기서 ca에 의존하지 않는 상수다.

이제 중요한 관찰을 시작한다. 만약 \left\{ a_{k}\right\}H^{p}-atom들의 sequence이고 \left\{ \lambda_{k}\right\} \subset\mathbb{C}이면서 \sum_{k}\left|\lambda_{k}\right|^{p}
만족하면

    \[ f=\sum_{k}\lambda_{k}a_{k} \]

는 distribution sense로 수렴하고 f\in H^{p}가 성립한다. 사실 증명이 어렵지는 않다.

\Phi\in\mathcal{S}, \int\Phi dx\ne0에 대하여

    \[ M_{\Phi}\left(f\right)=M_{\Phi}\left(\sum_{k}\lambda_{k}a_{k}\right)\le\sum_{k}\left|\lambda_{k}\right|M_{\Phi}\left(a_{k}\right) \]

가 성립하며 p\le1이기 때문에

    \[ \left(\sum_{k}\left|\lambda_{k}\right|M_{\Phi}\left(a_{k}\right)\right)^{p}\le\sum_{k}\left|\lambda_{k}\right|^{p}M_{\Phi}\left(a_{k}\right)^{p} \]

가 성립한다. 따라서

    \[ \int\left|M_{\Phi}\left(f\right)\right|^{p}dx\le\sum_{k}\left|\lambda_{k}\right|^{p}\int M_{\Phi}\left(a_{k}\right)^{p}dx\le c\sum_{k}\left|\lambda_{k}\right|^{p}<\infty \]

가 성립하므로 f\in H^{p}이다.

반대 또한 성립한다는 것이 알려져있으며 이는 Fefferman과 Stein의 결과다.

Theorem.
p\le1 이라 하자. 그러면 f\in H^{p}H^{p}-atom들의 합으로 표현할 수 있다. 즉,

    \[ f=\sum_{k}\lambda_{k}a_{k}, \]

a_{k}H^{p}-atom들이고 \sum_{k}\left|\lambda_{k}\right|^{p}\le c\norm f{H^{p}}
만족한다.

이 증명에서 Calderon-Zygmund decomposition을 강력하게 사용한다. 증명은 소개하지 않는다.

다만 Hardy 공간이 어떤 의미에서는 조금 안 좋은 공간인게, 처음에 언급한 maximal function을 적용하기에는 그닥 좋은 공간은 아니다. 첫 번째로 Hardy 공간에서 H^{p}-atom만 생각해도 cancellation property를 가지고 있는데, Hardy-Littlewood maximal function은 절댓값으로서 정의되어 있다. 그렇기 때문에 f\in H^{p}의 atom들이 가지고 있는 cancellation property를 사용하기가 매우 곤란한 개념이 된다. 또한 근본적으로 Hardy-Littlewood maximal function은 정확히 말해 characteristic function들을 가지고 cut-off를 하고 있는 상황이라 말할 수 있는데, smoothness를 잃어버리는 상황이라 닥 좋지는 못하다. H^{p} 공간의 특성을 고려할 때 그닥 좋지만은 않은 상황이다.

그래서 이 공간에서는 대체재로서 M_{\Phi} 함수를 고려해야 한다. 참고로 임의의 L^{p}\left(\mathbb{R}^{d}\right)\left(1\le p\le\infty\right)에 대하여 \Phi가 radially decreasing with \int\Phi dx\neq0이면,

    \[ M_{\Phi}\left(f\right)\le CM\left(f\right) \]

인 것 또한 확인할 수 있다. Approximation to the identity를 염두하면 거의 모든 x에 대하여

    \[ \left|f\left(x\right)\right|\le M_{\Phi}\left(f\right)\le CM\left(f\right) \]

또한 얻을 수 있다.

p=1일 때 다음의 결과가 성립한다.

Theorem.
\Phi\in C_{c}^{1}\left(\mathbb{R}^{d}\right) 라 하자. f\in H^{1}이면
M_{\Phi}\left(f\right)\in L^{1}이고

    \[ \norm{M_{\Phi}\left(f\right)}{L^{1}\left(\mathbb{R}^{d}\right)}\le C\norm f{H^{1}\left(\mathbb{R}^{d}\right)} \]

이다.

Proof. f\in H^{1}\left(\mathbb{R}^{d}\right)라 하고 f=\sum_{k}\lambda_{k}a_{k}를 atomic decomposition이라 하자. 그러면

    \[ M_{\Phi}\left(f\right)\le\sum_{k}\left|\lambda_{k}\right|M\left(a_{k}\right) \]

가 성립하므로 f=a_{k}일때 원하는 식이 잘 성립하는지만 확인하면 된다.

a_{r}\left(x\right)=r^{d}a\left(rx\right), r>0이라 정의하면

    \[ \left(a_{r}*\Phi_{\varepsilon}\right)\left(x\right)=r^{d}\left(a*\Phi_{\varepsilon r}\right)\left(rx\right) \]

가 잘 성립하므로

    \[ M_{\Phi}\left(a_{r}\right)\left(x\right)=r^{d}M_{\Phi}\left(a\right)\left(rx\right) \]

가 성립한다. 그리고 a\mapsto M_{\Phi}\left(a\right)가 translation invariant이므로 a의 support of ball의 center가 origin이고 unit ball이라 해도 무방하다.

우선 \left|x\right|\le2일 때, M\left(a\right)\left(x\right)\le c이므로 \int_{\left|x\right|\le2}M\left(a\right)\left(x\right)dx\le c^{\prime}을 만족한다. 두 번째 경우에는 a의 cancellation property에 의하여

    \begin{align*} \left(a*\Phi_{\varepsilon}\right)\left(x\right) & =\varepsilon^{-d}\int_{\mathbb{R}^{d}}a\left(y\right)\Phi\left(\frac{x-y}{\varepsilon}\right)dy\\ & =\varepsilon^{-d}\int_{\mathbb{R}^{d}}a\left(y\right)\left[\Phi\left(\frac{x-y}{\varepsilon}\right)-\Phi\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)\right]dy \end{align*}

를 갖는다. 그런데 \left|x\right|\ge2, \left|y\right|\le1이므로 \left|x-y\right|\ge\frac{\left|x\right|}{2}
성립하며 \Phi\in C^{1}이므로 mean value theorem에 의하여

    \[ \left|\Phi\left(\frac{x-y}{\varepsilon}\right)-\Phi\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)\right|\le\frac{C}{\varepsilon} \]

C>0가 존재한다.

\Phi가 compact support를 가지므로 적당히 큰 A에 대하여 \left|\frac{x-y}{\varepsilon}\right|\le A가 아니라면 \left(a*\Phi_{\varepsilon}\right)\left(x\right)=0을 갖는다. 그리고 이 조건으로부터

    \[ \frac{\left|x\right|}{2A}\le\frac{1}{A}\left|\left|x\right|-\left|y\right|\right|\le\frac{\left|x-y\right|}{A}\le\varepsilon \]

를 갖는다.

그런 x들에 대하여

    \[ \varepsilon^{-d}\left|\Phi\left(\frac{x-y}{\varepsilon}\right)-\Phi\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)\right|\le c\varepsilon^{-d-1}\le\frac{c^{\prime}}{\left|x\right|^{d+1}} \]

가 성립하므로 \int_{\left|x\right|\ge2}M\left(a\right)\left(x\right)dx\le c가 성립한다. 따라서 원하는 결과가 증명이 된다.

그러므로 어떤 의미에서 H^{1}L^{1}을 대체할 수 있는 좋은 공간이라는 것을 확인할 수 있다.

Hardy 공간의 위력을 확인하기 위해서는 더 많은 수학들이 필요하다. 증명을 하지 않고 중요한 결과들만 소개하도록 한다.

Locally integrable function f에 대하여 임의의 ball B에 대하여

    \[ \frac{1}{\left|B\right|}\int_{B}\left|f\left(x\right)-f_{B}\right|dx\le A \]

를 만족하는 상수 A가 존재하면 이 때 f가 bounded mean oscillation 함수라고 한다. (줄여서 BMO라 한다.) 여기서 f_{B}=\frac{1}{\left|B\right|}\int_{B}fdx이다.

이전에 L^{p}공간의 duality를 공부했을 때, 1\le p<\infty이고 \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1일 때 \left(L^{p}\right)^{*}=L^{q} 가 된다는 것을 알고 있다. Hardy 공간도 비슷한 결과를 가지고 있다. Fefferman이 density argument를 이용해서

    \[ \left(H^{1}\right)^{*}=\mathrm{BMO} \]

라는 결과를 얻었다. 이 결과는 PDE에서도 강력한 응용이 있을 정도로 매우 중요한 결과다.

1<p<\infty일 때, L^{p}은 reflexive이므로 locally sequentially weak compactness를 가지고 있다. 그러나 L^{1}은 weak compactness라는 관점에서 그렇게 좋은 성질을 가지고 있는 공간은 아니다. 반례또한 쉽게 발견된다.

반면 H^{1}은 weak compactness를 가지고 있는 좋은 공간이다. 이 이유는

    \[ H^{1}=\left(\mathrm{VMO}\right)^{*} \]

이고 \mathrm{VMO}가 separable Banach space이기 때문에 가능한 일이다. 여기서 VMO는 vanishing mean oscillation의 약자로

    \[ \lim_{\mathrm{diam}\left(B\right)\rightarrow0\text{ or }\infty}\frac{1}{\left|B\right|}\int_{B}\left|f\left(x\right)-f_{B}\right|dx=0 \]

일때를 말한다.

또 하나 중요한 결과로서 sharp function이란 도구의 강력함을 소개한다. Locally integrable function f에 대하여 sharp function f^{\sharp}

    \[ f^{\sharp}\left(x\right)=\sup_{x\in B}\frac{1}{\left|B\right|}\int_{B}\left|f\left(y\right)-f_{B}\right|dy \]

라 정의한다. 여기서 supremum은 x를 포함하는 ball B에 대해서 취한다.

당연한 관찰로 f^{\sharp}이 bounded function이면 f\in\mathrm{BMO}이다.

한가지 자명한 관찰로

    \[ f^{\sharp}\left(x\right)\le2Mf\left(x\right) \]

를 얻는다. 그러므로 1<p\le\infty에 대하여 Hardy-Littlewood maximal function의
L^{p} boundedness에 의하여

    \[ \norm{f^{\sharp}}{L^{p}}\le C_{p}\norm f{L^{p}} \]

를 얻는다.

그럼 반대도 성립할지 궁금한데, 이에 대해서 Fefferman과 Stein이 증명했다.

Theorem. 1<p<\infty이라 하자. 만약 f\in L^{p}\left(\mathbb{R}^{d}\right)이면

    \[ \norm f{L^{p}}\le A_{p}\norm{f^{\sharp}}{L^{p}} \]

만족하는 상수 A_{p}가 존재한다. 여기서 A_{p}f에 의존하지 않는다.

크게 두 가지 방법이 있으나, H^{1} 공간의 관점으로 분석해서 얻어낼 수 있다. 다른 증명방법은 filtration of partition을 이용한 방법 또한 존재한다.

이런 관점에서 해석학의 여러결과를 유도하는데에 Hardy 공간은 꽤나 큰 역할을 하고 있다는 것을 확인할 수 있다.

Week 1. Infimum and Supremum

 

이 연재는 현재 서강대학교 수학과 고등미적분학의 진도에 맞춰 연재를 하는 글이다. 이 글에서는 교과서에 나온 정리를 증명하지는 않고, 예제들은 증명을 하도록 한다.

고등미적분학은 실수체를 바탕으로 함수의 극한의 존재성, 연속성, 미분가능성, 적분에 관련된 것을 공부하는 기본과목이다.

그렇기 때문에 처음에는 실수라는 것은 어떤 성질을 가지고 있는지 파악을 하는 것이 먼저다.

실수 구조는 크게 세 가지 요소로 구성되어있다. 하나는 사칙연산, 하나는 순서, 하나는 완비성이다. 사칙연산은 익숙한 것이므로 생략하고, 이번 글에서는 순서에 집중해서 이야기를 하고자 한다. 다음은 일반적인 순서의 정의와 순서집합의 정의다.

이 글에서는 자연수, 정수, 유리수에 대해서 이미 알고 있다고 전제한다. 이 내용에 대해서 알고 싶은 사람은 [이 글]을 참고하라.

Definition 1. S를 집합이라 하자. S의 \term{순서}{order}란 기호로 <라 쓰는 관계이며 다음의 성질을 두 성질을 만족한다: (i) 만약 x\in S이고 y\in S이면 셋 중 하나는 반드시 참이다: x<y, x=y, y<x 또 만약 x,y,z\in S이고 x<y, y<z이면 x<z이다.

어떤 집합 S가 순서집합(ordered set)이라는 것은 S에 순서가 정의된 집합을 말한다.

예를 들어 유리수 집합 \mathbb{Q}r<sr-s가 양의 유리수인 경우라 정의를 하면 이는 순서가 되며 \mathbb{Q}는 이 관계에 의하여 순서집합이 된다.

이제 중요한 개념을 하나 정의한다.

Definition 2. S가 순서집합이라 하고 E\subset S라 하자. 임의의 x\in E에 대하여 x\leq S를 만족하는 \beta\in S가 존재하면, E를 위로 유계(bounded above)라 하고 \betaE의 상계(upper bound)라 한다.

하계(lower bound)도 비슷한 방식으로 정의한다.

Definition 3. S를 순서집합이라 하고 E\subset S를 위로 유계(bounded above)라 하자. 다음의 성질을 갖는 \alpha\in SE의 상한(supremum, least upper bound)이라 한다:

  • \alphaE의 상계(upper bound)다.
  • 만약 \gamma <\alpha이면 \gammaE의 상계가 아니다.

이 때 기호로 \alpha=\sup_S{E}로 쓴다. 만약 S가 문맥상 분명한 집합이면 생략을 한다. 하한(infimum, greatest lower bound) 또한 비슷한 방식으로 정의할 수 있다.

Example 1. \sup{E},\inf{E}은 반드시 E에 들어갈 필요가 없다. 이에 대한 예시로

    \[ E = \left\{ \frac{1}{n} : n\in \mathbb{N} \right\} \]

를 생각해보도록 하자. 지금은 엄밀하게 증명하는 것보다 느낌을 아는 것이 중요하다. 이 예시에서 \sup{E}=1이고 \inf{E}=0이다. 그러나 1\in E이지만 0\notin E이다.

이제 정말 중요한 개념을 정의하도록 한다.

Definition 4. 순서집합 S가 다음의 성질을 만족한다면 least upper bound property를 갖는다고 한다: 공집합이 아닌 집합 E\subset S가 위로 유계(bounded above)일 경우, \sup_S{E} \in S가 항상 존재한다.

실수는 유리수 체 \mathbb{Q}를 부분집합으로 갖고 사칙연산이 정의되어있고 least upper bound property를 갖는 순서집합이라고 정의한다. 이 때 특별히 least upper bound property를 완비성 공리(Completeness Axiom)이라 부른다.

그렇지만 실수를 정의는 했지만, 문제는 이런 `수학적 대상’가 실제로 있을 지에 대해서는 현재로서는 알 방법이 없다. 그렇지만 데데킨트 컷이나 나중에 배울 코시 수열이라는 개념을 이용해서 실수라는 것이 존재한다는 것을 증명할 수 있다. 그러나 이 내용은 고등미적분학에 적절하지 못한 내용으로 생략하는 것이 바람직하다. 데데킨트 컷으로 만드는 과정이 궁금한 사람은 [루딘]을 참고하고, 코시 수열이라는 개념을 이용해서 만드는 과정은 [이 글]을 참고하라.

다음은 실수의 특성 중 완비성과 관련된 결과를 보여준다. 증명은 하지 않는다.

Theorem 1.

  1. x,y\in \mathbb{R}이고 x>0이면 nx>y를 만족하는 자연수 n이 존재한다.
  2. x,y\in \mathbb{R}이고 x<y이면 x<p<y를 만족하는 유리수 p가 존재한다.