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Ladyzhenskaya type inequality when d=2

Problem. If u\in C_{0}^{1}\left(\mathbb{R}^{2}\right), then we have

    \[ \norm u{\Leb 4\left(\mathbb{R}^{2}\right)}^{2}\le\sqrt{2}\norm u{\Leb 2\left(\mathbb{R}^{2}\right)}\norm{\nabla u}{\Leb 2\left(\mathbb{R}^{2}\right)}. \]

This is the Ladyzhenskaya’s inequality.

To prove this, we need the following lemma.

Lemma. For f\in C_{0}^{\infty}\left(\mathbb{R}^{d}\right), we have

    \[ \norm f{\Leb{p^{*}}\left(\mathbb{R}^{d}\right)}\le\left(\prod_{j=1}^{d}\norm{\frac{\partial f}{\partial x_{j}}}{\Leb 1\left(\mathbb{R}^{d}\right)}\right)^{\frac{1}{d}}. \]

Here \frac{1}{p^{*}}=1-\frac{1}{d}.

Proof. e proceed by induction on d. The case d=1 is trivial since f\left(x\right)=\int_{-\infty}^{x}f^{\prime}\left(t\right)dt and this leads to

    \[ \norm f{\Leb{\infty}}\le\norm{f^{\prime}}{\Leb 1}. \]

We assume that the inequality holds for d-1. Write x=\left(x_{1},x^{\prime}\right) with x_{1}\in\mathbb{R}, x^{\prime}\in\mathbb{R}^{d-1}. Set

    \[ I_{j}\left(x_{1}\right)=\int_{\mathbb{R}^{d-1}}\left|\frac{\partial f}{\partial x_{j}}\left(x_{1},x^{\prime}\right)\right|dx^{\prime},\quad j=2,\dots d \]

and

    \[ I_{1}\left(x^{\prime}\right)=\int_{\mathbb{R}^{1}}\left|\frac{\partial f}{\partial x_{1}}\left(x_{1},x^{\prime}\right)\right|dx_{1}. \]

For temporary set q=\frac{d}{d-1}, q^{\prime}=\frac{d-1}{d-2}. Then

    \[ \left(\int_{\mathbb{R}^{d-1}}\left|f\left(x_{1},x^{\prime}\right)\right|^{q^{\prime}}dx^{\prime}\right)^{\frac{1}{q^{\prime}}}\le\left(\prod_{j=2}^{d}I_{j}\left(x_{1}\right)\right)^{\frac{1}{d-1}}. \]

Since \left|f\left(x\right)\right|\le I_{1}\left(x^{\prime}\right), we have

    \[ \left|f\right|^{q}\le I_{1}\left(x^{\prime}\right)^{q-1}\left|f\right| \]

because q=\frac{1}{d-1}+1.

Thus,

    \begin{align*} \left(\int_{\mathbb{R}^{d-1}}\left|f\right|^{q}dx^{\prime}\right) & \le\int_{\mathbb{R}^{d-1}}I_{1}\left(x^{\prime}\right)^{q-1}\left|f\right|dx^{\prime}\\  & \le\left(\int_{\mathbb{R}^{d-1}}I_{1}\left(x^{\prime}\right)dx^{\prime}\right)^{\frac{1}{d-1}}\left(\int_{\mathbb{R}^{d}}\left|f\right|^{q^{\prime}}dx^{\prime}\right)^{\frac{1}{q^{\prime}}} \end{align*}

by Hölder inequality. So

    \[ \left(\int_{\mathbb{R}^{d-1}}\left|f\right|^{q}dx^{\prime}\right)\le\left(\int_{\mathbb{R}^{d-1}}I_{1}\left(x^{\prime}\right)dx^{\prime}\right)^{\frac{1}{d-1}}\left(\prod_{j=2}^{d}I_{j}\left(x_{1}\right)\right)^{\frac{1}{d-1}}. \]

By integrating this with respect to x_{1} and multiple Hölder inequality, we get

    \begin{align*} \int_{\mathbb{R}^{d}}\left|f\right|^{q}dx & \le\left(\int_{\mathbb{R}^{d-1}}I_{1}\left(x^{\prime}\right)dx^{\prime}\right)^{\frac{1}{d-1}}\prod_{j=2}^{d}\left(\int_{\mathbb{R}^{1}}I_{j}\left(x_{1}\right)dx_{1}\right)^{\frac{1}{d-1}}\\  & =\left(\prod_{j=1}^{d}\norm{\frac{\partial f}{\partial x_{j}}}{\Leb 1}\right)^{\frac{1}{d-1}}. \end{align*}

Since q=p^{*}, we get

    \[ \norm f{\Leb{p^{*}}}\le\left(\prod_{j=1}^{d}\norm{\frac{\partial f}{\partial x_{j}}}{\Leb 1}\right)^{\frac{1}{d}}.\qedhere \]


Proof of the Ladyzhenskaya’s inequality. For d=2, the result of Lemma is

    \[ \left(\int_{\mathbb{R}^{2}}\left|u\right|^{2}dx\right)^{\frac{1}{2}}\le\left(\int_{\mathbb{R}^{2}}\left|D_{1}u\right|dx\right)^{\frac{1}{2}}\left(\int_{\mathbb{R}^{2}}\left|D_{2}u\right|dx\right)^{\frac{1}{2}}. \]

Put u^{2} instead of u. Then we have

    \[ \left(\int_{\mathbb{R}^{2}}\left|u\right|^{4}dx\right)^{\frac{1}{2}}\le\left(\int_{\mathbb{R}^{2}}\left|D_{1}u^{2}\right|dx\right)^{\frac{1}{2}}\left(\int_{\mathbb{R}^{2}}\left|D_{2}u^{2}\right|dx\right)^{\frac{1}{2}}. \]

Note that for j=1,2 we have

    \[ \int_{\mathbb{R}^{2}}\left|D_{j}u^{2}\right|dx=2\int_{\mathbb{R}^{2}}\left|uD_{j}u\right|dx. \]

By Cauchy-Schwarz inequality, we have

    \[ \int_{\mathbb{R}^{2}}\left|D_{j}u^{2}\right|dx\le2\left(\int_{\mathbb{R}^{2}}\left|u\right|^{2}dx\right)^{\frac{1}{2}}\left(\int_{\mathbb{R}^{2}}\left|D_{j}u\right|^{2}dx\right)^{\frac{1}{2}} \]

for j=1,2.

Hence,

    \begin{align*}  & \relphantom{=}\int_{\mathbb{R}^{2}}\left|u\right|^{4}dx\\  & \le4\left(\int_{\mathbb{R}^{2}}\left|u\right|^{2}dx\right)\left(\int_{\mathbb{R}^{2}}\left|D_{1}u\right|^{2}dx\right)^{\frac{1}{2}}\left(\int_{\mathbb{R}^{2}}\left|D_{2}u\right|^{2}dx\right)^{\frac{1}{2}}\\  & =4\norm u{\Leb 2}^{2}\norm{D_{1}u}{\Leb 2}\norm{D_{2}u}{\Leb 2}\\  & \le2\norm u{\Leb 2}^{2}\left(\norm{D_{1}u}{\Leb 2}^{2}+\norm{D_{2}u}{\Leb 2}^{2}\right). \end{align*}

So

    \[ \norm u{\Leb 4\left(\mathbb{R}^{2}\right)}^{2}\le\sqrt{2}\norm u{\Leb 2\left(\mathbb{R}^{2}\right)}\norm{\nabla u}{\Leb 2\left(\mathbb{R}^{2}\right)}. \]

Reference
1. Elias M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton University Press, 1971.

Sobolev Embedding

Sobolev space \Sob kp\left(\Omega\right)는 거칠게 말하면 \Omega에서 정의된 함수 f\Leb p\left(\Omega\right) 함수이고 k-times weak derivative 또한 \Leb p\left(\Omega\right)인 함수들의 모임을 말한다.

기본적으로 Sobolev embedding은 다음과 같은 경우를 말한다. k>\ell이고 \left(k-\ell\right)p<d이고

    \[ \frac{1}{q}=\frac{1}{p}-\frac{k-\ell}{d} \]

를 만족하는 1\le p<q<\infty을 생각하자. 그러면

    \[ \Sob kp\left(\mathbb{R}^{d}\right)\subset\Sob{\ell}q\left(\mathbb{R}^{d}\right) \]

가 성립하며 이 embedding은 continuous이다. 특히 k=1이고 \ell=0일 때,

    \[ \Sob 1p\left(\mathbb{R}^{d}\right)\subset L^{p^{*}}\left(\mathbb{R}^{d}\right) \]

가 성립한다. 여기서 p^{*}\frac{1}{p*}=\frac{1}{p}-\frac{1}{d}를 만족하는 수다. 이 절에서는 간단한 수준의 Sobolev inequality, k=1이고 \ell=0일 때를 증명하는 것을 목표로 한다.

1. Riesz potential and Hardy-Littlewood-Sobolev theorem

이 절에서는 Riesz potential을 정의하고 I_{\alpha}의 성질을 알려주는 Hardy-Littlewood-Sobolev theorem을 증명한다. f\in\mathcal{S}\left(\mathbb{R}^{d}\right)에 대하여

    \[ -\widehat{\triangle f}\left(\xi\right)=4\pi^{2}\left|\xi\right|^{2}\hat{f}\left(\xi\right) \]

를 얻는다. 그러면 Fourier inversion에 의하여

    \[ -\triangle f\left(x\right)=\int_{\mathbb{R}^{d}}\left(2\pi\left|\xi\right|\right)^{2}\hat{f}\left(\xi\right)e^{2\pi ix\cdot\xi}d\xi \]

를 얻는다. 그러므로 위 관찰로부터 다음과 같은 일반화를 시도하는 것이 자연스럽다. 임의의 a>0에 대하여

    \[ \left(-\triangle\right)^{a}f\left(x\right)=\int_{\mathbb{R}^{d}}\left(2\pi\left|\xi\right|\right)^{2a}\hat{f}\left(\xi\right)e^{2\pi ix\cdot\xi}d\xi \]

라 정의하자.

여기서 a가 양의 정수이면 \left(2\pi\left|\xi\right|\right)^{2a}\xi_{i}들의 polynomial이므로 f\in\mathcal{S}\left(\mathbb{R}^{d}\right)일 경우 위 operator는 잘 정의되어있다. 이런 관점에서 \left(-\triangle\right)^{a}f에 미분하는 것처럼 생각할 수 있는 연산으로 간주 할 수 있다.

이와 관련해서 다음과 같은 개념을 정의한다.

Definition. 0<\alpha<d일 때 f\in\mathcal{S}\left(\mathbb{R}^{d}\right)에 대하여

    \[ \left(I_{\alpha}f\right)\left(x\right)=\frac{1}{\gamma\left(\alpha\right)}\int_{\mathbb{R}^{d}}\frac{f\left(y\right)}{\left|x-y\right|^{d-\alpha}}dy \]

라 정의하자. I_{\alpha}를 Riesz potential이라 부른다. 여기서

    \[ \gamma\left(\alpha\right)=\frac{\pi^{\frac{d}{2}}2^{\alpha}\Gamma\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{d-\alpha}{2}\right)} \]

이다.

I_{\alpha}는 잘 정의된 operator이다. 왜냐하면 \frac{1}{\left|x\right|^{d-\alpha}}는 locally integrable하기 때문이고 f\in\mathcal{S}\left(\mathbb{R}^{d}\right)의 decay가 워낙 좋기 때문이다. 그리고 잘 알려진 사실로 0<\alpha<d일 경우 \left(I_{\alpha}f\right)^{\wedge}\left(\xi\right)=\left(2\pi\left|\xi\right|\right)^{-\alpha}\hat{f}\left(\xi\right)
있다. 이는

    \[ I_{\alpha}\left(f\right)=\left(-\triangle\right)^{-\frac{\alpha}{2}}\left(f\right) \]

가 성립한다는 것을 알려주며, I_{\alpha}는 어떤 의미에서의 Laplacian의 일반화로 간주할 수 있다.

Remark. distribution의 언어를 사용하면 \alpha의 제한 범위를 더 풀 수 있으나, 이 글에서는 그런 방향은 지양한다.

그리고 f\in\Leb p인 경우에도 거의 모든 x에 대하여 I_{\alpha}\left(f\right)\left(x\right)가 잘 정의됨을 보일 수 있다. 이에 대한 증명은 이 글의 원 목적과는 거리가 멀기 때문에 Stein, Singular integral을 참고하라.

다음의 Theorem은 Riesz potential의 성질을 보여주는 중요한 정리라 할 수 있겠다.

Theorem (Hardy-Littlewood-Sobolev theorem of fractional integration). 0<\alpha<d라 하고 1\le p<q<\infty, \frac{1}{q}=\frac{1}{p}-\frac{\alpha}{d}
하자. 그러면

    \[ \norm{I_{\alpha}f}{\Leb q}\le C\norm f{\Leb p} \]

for all f\in\Leb p\left(\mathbb{R}^{d}\right)가 성립하는 constant C=C\left(d,p,\alpha\right)
존재한다.

증명하는 방법은 여러가지가 있지만, 이 글에서는 Hardy-Littlewood maximal function을 이용하고자 한다.

이를 증명하기 위해서, 다음의 lemma가 필요하다.

Lemma. 0<\alpha<d라 하고 \delta>0라 하면

    \[ \int_{B\left(x,\delta\right)}\frac{\left|f\left(y\right)\right|}{\left|x-y\right|^{d-\alpha}}dy\le C\delta^{\alpha}Mf\left(x\right) \]

for all x\in\mathbb{R}^{d}가 성립하는 constant C=C\left(d,\alpha\right)가 존재한다.

Proof. x\in\mathbb{R}^{d}라 하고 \delta>0라 잡은 후

    \[ A_{k}=B\left(x,\frac{\delta}{2^{k}}\right)\setminus B\left(x,\frac{\delta}{2^{k+1}}\right) \]

라 하자.

    \[ B\left(x,\delta\right)=\bigcup_{k=0}^{\infty}A_{k} \]

라는 것은 쉬운 관찰이다. 그리고 이 union은 disjoint다.

이제

    \begin{align*} & \relphantom{=}\int_{B\left(x,\delta\right)}\frac{\left|f\left(y\right)\right|}{\left|x-y\right|^{d-\alpha}}dy\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\int_{A_{k}}\frac{\left|f\left(y\right)\right|}{\left|x-y\right|^{d-\alpha}}dy\\ & \le\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{\delta}{2^{k+1}}\right)^{\alpha-d}\int_{A_{k}}\left|f\left(y\right)\right|dy\\ & \le m\left(B\left(0,1\right)\right)\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{\delta}{2^{k+1}}\right)^{\alpha-d}\left(\frac{\delta}{2^{k}}\right)^{d}\frac{1}{m\left(B\left(0,\frac{\delta}{2^{k}}\right)\right)}\int_{B\left(x,\frac{\delta}{2^{k}}\right)}\left|f\left(y\right)\right|dy\\ & \le m\left(B\left(0,1\right)\right)\frac{\delta^{\alpha}}{2}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k\alpha}}\right)Mf\left(x\right)\\ & \le C\left(d,\alpha\right)Mf\left(x\right) \end{align*}

가 성립하므로 증명이 끝난다.


Proof of Theorem. \delta>0를 고정하고 p^{\prime}p의 Hölder conjugate라 하자. 그러면 Hölder’s inequality에 의하여

    \begin{align*}  & \relphantom{=}\int_{\mathbb{R}^{d}\setminus B\left(x,\delta\right)}\frac{\left|f\left(y\right)\right|}{\left|x-y\right|^{d-\alpha}}dy\\  & \le\left(\int_{\mathbb{R}^{d}\setminus B\left(x,\delta\right)}\left|f\left(y\right)\right|^{p}dy\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_{\mathbb{R}^{d}\setminus B\left(x,\delta\right)}\frac{1}{\left|x-y\right|^{\left(d-\alpha\right)p^{\prime}}}dy\right)^{\frac{1}{p^{\prime}}}\\  & \le\norm f{\Leb p}\left(c_{d}\int_{\delta}^{\infty}s^{d-1-\left(d-\alpha\right)p^{\prime}}ds\right)^{\frac{1}{p^{\prime}}} \end{align*}

을 얻는다. 그런데 d-\left(d-\alpha\right)p^{\prime}<0로부터 적분의 수렴성이 보장받으며
이는

    \[ C\left(d,p,\alpha\right)\delta^{\alpha-\frac{d}{p}}\norm f{\Leb p} \]

와 같이 쓸 수 있다.

그러므로 앞의 Lemma에 의하여

    \[ \left|I_{\alpha}f\left(x\right)\right|\le C\left(\delta^{\alpha}Mf\left(x\right)+\delta^{\alpha-\frac{d}{p}}\norm f{\Leb p}\right) \]

를 얻는다. 이제

    \[ \delta=\left(\frac{Mf\left(x\right)}{\norm f{\Leb p}}\right)^{-\frac{p}{d}} \]

로 놓으면

    \[ \delta^{\alpha}Mf\left(x\right)=\left(Mf\left(x\right)\right)^{1-\frac{\alpha p}{d}}\norm f{\Leb p}^{\frac{\alpha p}{d}} \]

를 얻고

    \[ \delta^{\alpha-\frac{d}{p}}\norm f{\Leb p}=\left(Mf\left(x\right)\right)^{1-\frac{\alpha p}{d}}\norm f{\Leb p}^{\frac{\alpha p}{d}} \]

를 얻는다.

이제

    \begin{align*} \left|I_{\alpha}f\left(x\right)\right|^{q} & \le C\left(Mf\left(x\right)\right)^{q\left(1-\frac{\alpha p}{d}\right)}\norm f{\Leb p}^{\frac{\alpha pq}{d}}\\  & =C\left(Mf\left(x\right)\right)^{p}\norm f{\Leb p}^{\frac{\alpha pq}{d}} \end{align*}

를 얻고 Hardy-Littlewood maximal function의 \Leb p-boundedness에 의하여

    \[ \norm{I_{\alpha}f}{\Leb q}\le C\norm f{\Leb p} \]

를 얻는다.


Remark. 다른 증명으로는 Marcinkiewicz interpolation theorem을 이용하는 방법도 있다.

2. Sobolev Embedding Theorem

이 글의 Main Theorem인 Sobolev Embedding Theorem을 제시한다.

Theorem. k를 양의 정수라 하고 \frac{1}{p^{*}}=\frac{1}{p}-\frac{k}{d}라 하자. p^{*}<\infty이면(다시 말해 p<\frac{d}{k}) \Sob kp\left(\mathbb{R}^{d}\right)\subset L^{p^{*}}\left(\mathbb{R}^{d}\right)이고 이 inclusion map은 continuous이다.

Proof. k=1일 때만 보여도 충분하다. f\in C_{0}^{\infty}\left(\mathbb{R}^{1}\right)에 대하여

    \[ f\left(x\right)=\int_{0}^{\infty}f^{\prime}\left(x-t\right)dt \]

가 fundamental theorem of calculus에 의하여 잘 성립하며, 이 결과의 d-dimensional analogue는

    \[ f\left(x\right)=\int_{0}^{\infty}\left\langle \nabla f\left(x-\xi t\right),\xi\right\rangle dt \]

이다. 여기서 \xi\in\mathbb{S}^{d-1}이며 \nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}},\dots,\frac{\partial f}{\partial x_{d}}\right)이다.
식은 chain rule과 fundamental theorem of calculus에 의해 쉽게 얻는다.

이제 위의 양변에 \xi\in\mathbb{S}^{d-1}위에서 적분을 취하면

    \begin{align*} f\left(x\right) & =\frac{1}{\omega_{d-1}}\int_{\mathbb{S}^{d-1}}\int_{0}^{\infty}\left\langle \nabla f\left(x-\xi t\right),\xi\right\rangle dtd\sigma\left(\xi\right)\\  & =\frac{1}{\omega_{d-1}}\int_{0}^{\infty}\int_{\mathbb{S}^{d-1}}\sum_{j=1}^{d}\frac{\partial f}{\partial x_{j}}\left(x-\xi t\right)\xi_{j}d\sigma\left(\xi\right)dt\\  & =\frac{1}{\omega_{d-1}}\int_{\mathbb{R}^{d}}\sum_{j=1}^{d}\frac{\partial f}{\partial x_{j}}\left(x-y\right)\frac{y_{j}}{\left|y\right|^{d}}dy \end{align*}

를 얻는다.

그리고 잘 알려진 Riesz potential의 성질 중 f=-I_{2}\left(\triangle f\right)가 있다는 것을 기억하고 있자. 그리고 F=I_{1}\left(f\right)일 경우, \frac{\partial F}{\partial x_{j}}=-R_{j}\left(f\right)라는 것 또한 잘 알려져 있다. 여기서 R_{j}j번째 Riesz transform이다. 증명은 Fourier transform을 이용하면 된다.

이제 위 사실들을 바탕으로 k=1, 1<p<\infty일 때를 해결해보도록 하자. f\in C_{0}^{\infty}\left(\mathbb{R}^{d}\right)라 가정하자. 그러면

    \[ \left|f\left(x\right)\right|\le\frac{1}{\omega_{d-1}}\sum_{j=1}^{d}\int_{\mathbb{R}^{d}}\left|\frac{\partial f}{\partial x_{j}}\left(x-y\right)\right|\frac{1}{\left|y\right|^{d-1}}dy \]

가 성립하고 우변은 Riesz potential 형태라는 점에 주목해서 Hardy-Littlewood-Sobolev theorem \left(\alpha=1\right)을 적용하면

    \[ \norm f{\Leb{p^{*}}}\le\frac{1}{\omega_{d-1}}\sum_{j=1}^{d}\norm{\frac{\partial f}{\partial x_{j}}}{\Leb p} \]

를 얻는다.

이제 f\in\Sob 1p\left(\mathbb{R}^{d}\right)라 하자. 그러면 f_{n}\rightarrow f in \Leb p norm이고 \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{j}} converges in \Leb p이 되게하는 \left\{ f_{n}\right\} \subset C_{0}^{\infty}\left(\mathbb{R}^{d}\right)가 존재한다. 그리고 \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\partial f_{n}}{\partial x_{j}}=\frac{\partial f}{\partial x_{j}}이다. 왜냐하면 임의의 \varphi\in C_{0}^{\infty}에 대하여

    \begin{align*} \int_{\mathbb{R}^{d}}f\frac{\partial\varphi}{\partial x_{j}}dx & =\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\mathbb{R}^{d}}f_{n}\frac{\partial\varphi}{\partial x_{j}}dx\\  & =-\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\mathbb{R}^{d}}\frac{\partial f_{n}}{\partial x_{j}}\varphi dx\\  & =-\int_{\mathbb{R}^{d}}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\partial f_{n}}{\partial x_{j}}\varphi dx \end{align*}

가 성립하기 때문이다.

그리고 앞서 보인 식에 의하여

    \[ \norm{f_{n}-f_{m}}{\Leb{p^{*}}}\le A^{\prime}\sum_{j=1}^{d}\norm{\frac{\partial f_{n}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{j}}}{\Leb p} \]

를 얻는다. 그러므로 수열 \left\{ f_{n}\right\}\Leb{p^{*}}\left(\mathbb{R}^{d}\right)에서 converge 하며 이는 f와 반드시 일치한다. 그러므로 f\in\Leb{p^{*}}이며

    \[ \norm f{\Leb{p^{*}}}\le A^{\prime}\sum_{j=1}^{d}\norm{\frac{\partial f}{\partial x_{j}}}{\Leb p}\le A^{\prime}\norm f{\Sob 1p} \]

를 얻으므로 Sobolev inequality를 얻으며 \Sob 1p\hookrightarrow\Leb{p^{*}}은 continuous이다.

일반적인 f\in\Sob kp에 대해서는 f\in\Sob kp\left(\mathbb{R}^{d}\right)라는 것과 f\in\Sob{k-1}p이고 \frac{\partial f}{\partial x_{j}}\in\Sob{k-1}p라는 것과 동치라는 것으로부터 induction에 의하여 얻는다.


더 일반화된 형태인 Gagliardo–Nirenberg–Sobolev inequality과 같은 것은 필자의 공부가 짧아 여기서는 소개하지 않는다.

Sobolev space and continuous representative

I=\left(a,b\right)라 하고 I는 unbounded인 경우도 고려한다. p\in[1,\infty]에 대하여 Sobolev space \Sob{1}{p}\left(I\right)를 다음과 같이 정의한다.

    \[ \Sob{1}{p}\left(I\right)=\left\{ u\in L_{p}\left(I\right):\text{ there is }g\in L_{p}\left(I\right)\text{ such that }\int_{I}u\varphi^{\prime}=-\int_{I}g\quad\text{for all }\varphi\in C_{c}^{1}\left(I\right)\right\} . \]

이 공간에서의 norm은

    \[ \norm u_{\Sob 1p\left(I\right)}=\norm u_{\Leb p\left(I\right)}+\norm{u^{\prime}}_{\Leb p\left(I\right)} \]

라 정의한다.

이 글에서 증명하고자 하는 바는 다음과 같다.

Theorem. 1\le p\le\infty라 하고 u\in\Sob{1}{p}\left(I\right)라 하자. 여기서 I는 bounded 또는 unbounded이다. 그러면

    \[ u=\tilde{u}\quad\text{a.e. on }I \]

이고

    \[ \tilde{u}\left(x\right)-\tilde{u}\left(y\right)=\int_{y}^{x}u^{\prime}\left(t\right)dt\quad\text{for all }x,y\in\overline{I} \]

\tilde{u}\in C\left(\overline{I}\right)가 존재한다.

본격적으로 증명하기 전에 이 결과를 조금 요약을 해보도록 한다. 이 정리가 시사하는 바는 임의의 u\in\Sob{1}{p}에 대하여 이의 \overline{I}위에서 정의된 continuous representative가 존재한다. 다시
말해, equivalence relation u\sim vu=v a.e. on I라는 말로 정의하면, continuous function \tilde{u}\tilde{u}\in\left[u\right]라는 말이다.

그리고 이 성질은 전혀 continuous a.e.랑은 다른 말이라는 것에 유의한다.

이 증명을 위해서는 다음과 같은 Lemma들이 필요하다.

Lemma 1. f\in\Leb{1,loc}\left(I\right)라 하고

    \[ \int_{I}f\varphi^{\prime}=0\quad\text{for all }\varphi\in C_{c}^{1}\left(I\right) \]

라 하자. 그러면 f=C a.e. on I가 되는 constant C가 존재한다.

Proof. \int_{I}\psi=1를 만족하는 \psi\in C_{c}\left(I\right)를 고정한다. w\in C_{c}\left(I\right)에 대하여

    \[ \varphi^{\prime}=w-\left(\int_{I}w\right)\psi \]

를 만족하는 w이 존재한다는 것을 보이고자 한다.

h=w-\left(\int_{I}w\right)\psi라 하면 h는 continuous with compact support in I이다. 그리고

    \begin{align*} \int_{I}h\left(x\right)dx & =\int_{I}w\left(x\right)dx-\int_{I}\left(\int_{I}w\left(y\right)dy\right)\psi\left(x\right)dx\\ & =0 \end{align*}

을 만족한다. 그러므로 fundamental theorem of calculus에 의하여 hI에서 unique primitive with compact support in I를 갖는다. 이제 이를 바탕으로

    \[ \int_{I}f\left[w-\left(\int_{I}w\right)\psi\right]=0\quad\text{for all }w\in C_{c}\left(I\right), \]

즉,

    \[ \int_{I}\left[f-\left(\int_{I}f\psi\right)\right]w=0\quad\text{for all }w\in C_{c}\left(I\right) \]

를 얻으므로 f=\int_{I}f\psi a.e. on I를 얻는다. 그러므로 C=\int_{I}f\psi라 두면 원하는 바를 얻는다. 여기서 C는 앞서 보였던 h가 unique primitive를 갖는다는 가정에 의하여 constant가 된다.


Lemma 2. g\in\Leb{1,loc}\left(I\right)라 하고 고정된 y_{0}\in I에 대하여

    \[ v\left(x\right)=\int_{y_{0}}^{x}g\left(t\right)dt,\quad x\in I \]

라 하자. 그러면 v\in C\left(I\right)이고

    \[ \int_{I}v\varphi^{\prime}=-\int_{I}g\varphi\quad\text{for all }\varphi\in C_{0}^{1}\left(I\right) \]

를 얻는다.

Proof. g\in\Leb{1,loc}\left(I\right)이므로 v가 continuous라는 것은 자명하게 얻는다. 그리고

    \begin{align*} \int_{I}v\varphi^{\prime} & =\int_{I}\left[\int_{y_{0}}^{x}g\left(t\right)dt\right]\varphi^{\prime}\left(x\right)dx\\ & =-\int_{a}^{y_{0}}\left[\int_{x}^{y_{0}}g\left(t\right)dt\right]\varphi^{\prime}\left(x\right)dx+\int_{y_{0}}^{b}\left[\int_{y_{0}}^{x}g\left(t\right)dt\right]\varphi^{\prime}\left(x\right)dx \end{align*}

를 정의로부터 얻는다.

그리고 Fubini’s theorem에 의하여

    \begin{align*} \int_{I}v\varphi^{\prime} & =-\int_{a}^{y_{0}}\int_{a}^{t}g\left(t\right)\varphi^{\prime}\left(x\right)dxdt+\int_{y_{0}}^{b}\int_{t}^{b}g\left(t\right)\varphi^{\prime}\left(x\right)dxdt\\ & =-\int_{a}^{y_{0}}g\left(t\right)\left[\varphi\left(t\right)-\varphi\left(a\right)\right]dt+\int_{y_{0}}^{b}g\left(t\right)\left[\varphi\left(b\right)-\varphi\left(t\right)\right]dt\\ & =-\int_{I}g\left(t\right)\varphi\left(t\right)dt+\varphi\left(b\right)v\left(b\right)-\varphi\left(a\right)v\left(a\right)\\ & =-\int_{I}g\left(t\right)\varphi\left(t\right)dt \end{align*}

를 얻는다. 여기서 \varphi\left(b\right)=\varphi\left(a\right)=0으로 잡으면 되기 때문에 결과를 얻는다.


Proof of Theorem. y_{0}\in I를 고정하고 \overline{u}\left(x\right)=\int_{y_{0}}^{x}u^{\prime}\left(t\right)dt라 하자. 그러면

    \[ \overline{u}\left(x\right)-\overline{u}\left(y\right)=\int_{y}^{x}u^{\prime}\left(t\right)dt \]

를 정의에 의해 얻고 앞의 Lemma에 의하여

    \[ \int_{I}\overline{u}\varphi^{\prime}=-\int_{I}u^{\prime}\varphi\quad\text{for all }\varphi\in C_{c}^{1}\left(I\right) \]

를 얻는다. 그러므로 weak derivative의 정의에 의하여

    \[ \int_{I}\left(u-\overline{u}\right)\varphi^{\prime}=0 \]

for all \varphi\in C_{c}^{1}\left(I\right)를 얻으며 u=\overline{u}+C a.e.를 얻는다. 이제 \tilde{u}=\overline{u}+C라 정의하면 원하는 바를 얻는다.


Reference

  1. H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2011.

Liouville’s theorem on harmonic type

Proposition(Liouville’s Theorem). Let \lambda>0 and let u be a bounded from above twice continuously differentiable function on \mathbb{R}^{d} satisfying

    \[ \triangle u-\lambda u\ge0 \]

in \mathbb{R}^{d}. Then u\le0. In particular, if u is bounded and \triangle u-\lambda u=0, then \pm u\le0, so that u\equiv0.

Proof. 그렇지 않다고 하자. 즉, x^{*}\in\mathbb{R}^{d}u\left(x^{*}\right)>0가 존재한다고 하자. \varepsilon^{2}<\frac{\lambda}{d}\varepsilon>0을 잡고 \zeta\left(x\right)=\cosh\left\varepsilon\left|x\right|\right)라 하자. v=\frac{u}{\zeta}라 하자. 그러면 가정에 의하여 \left(\triangle-\lambda\right)\left(\zeta v\right)\ge0이다.

    \begin{align*} c & =\triangle\zeta-\lambda\zeta\\  & =\zeta\left\{ \varepsilon^{2}+\left(d-1\right)\left|x\right|^{-1}\varepsilon\tanh\left(\varepsilon\left|x\right|\right)-\lambda\right\}  \end{align*}

라 하면

    \[ \zeta\triangle v+2\zeta_{x^{j}}v_{x^{j}}+cv\ge0 \]

이다. 그런데 \tanh\left|x\right|\le\left|x\right|이므로 c<0이다. 이 계산은 x\neq0일 때 성립하는 계산이다. 그러나 v가 twice continuously differentiable function on \mathbb{R}^{d}이므로 \mathbb{R}^{d} 전역에서 c<0이다.

v의 정의에 의하여 v\left(x^{*}\right)>0이므로 v^{+}\left(x^{*}\right)>0이다. 그리고 \lim_{\left|x\right|\rightarrow\infty}v^{+}\left(x\right)=0이다. 왜냐하면 v^{+}이 bounded function이기 때문이다. 그러므로 v^{+}\mathbb{R}^{d}에서 global maximum이 존재한다. 이때 이 점을 x_{0}\in\mathbb{R}^{d}라 하자. 그러면 v^{+}\left(x_{0}\right)=v\left(x_{0}\right)\ge v\left(x\right) for all x\in\mathbb{R}^{d}이며 이로부터 \nabla v\left(x_{0}\right)=0이다.
그리고 \frac{\partial^{2}v}{\partial x_{j}^{2}}\left(x_{0}\right)\le0 for all 1\le j\le d이다. 그런데 이 결과는 x_{0}에서

    \[ \zeta\triangle v+2\zeta_{x^{j}}v_{x^{j}}+cv<0 \]

을 이끌기 때문에 모순이다.