Monthly Archives: December 2015

1.4. Bounded Sets and Bornologic Spaces

이 부분은 Yosida 책을 읽을 때 두 번째로 겪었던 큰 난관이었다. 가장 첫 번째의 이유로는 이미 친숙한 개념이었던 bounded 개념을 보다 일반화 시키는 작업이 생각보다 어려웠던 것으로 꼽고, 두 번째로는 새롭게 정의하는 bornologic space가 무엇을 일반화시킨 것인지 파악하기가 어려웠기 때문이다. 필자가 두 번째로 Yosida 책을 읽다가 던져버렸던
부분이었다.

우선은 필자가 이해하는 선에서 최대한 이 절을 해설해보고자 한다. 우선 거리 $d$ 가 있는 공간 $X$ 에서 $E$ 가 bounded라는 것은 $E\subset B_{r}\left(x\right)$ 가 되도록 하는 $r>0$ 이 존재한다는
것을 의미한다.

그러나 일반적인 위상공간에서는 거리개념조차 문제가 되기 때문에 이를 보완하기 위해서는 다른 작업들이 필요하다.

아이디어는 $B_{r}\left(x\right)$ 의 특성이다. $B_{r}\left(x\right)$ 는 여러가지 성질이 있지만, 그 중에서 주목하고자 하는 것은 absorbing set이었다. 어떤 집합이 bounded라는 개념을 만들기 위해서는 그 집합을 포함하는 큰 집합을 생각했다. 이런 개념을 잘 수용할 수 있는 것이 absorbing이다. 일반적으로
topological vector space에서는 $0$ 을 포함하는 open set을 생각했으므로 이를 바탕으로 absorbing 성질을 이용해서 다음과 같이 정의하는 것이 합리적이다.

Definition 1. $X$ 가 topological vector space라 하자. $B\subset X$ 가 bounded라는 것은 임의의 $0$ 의 neighborhood $U$ 에 대하여 $\alpha^{-1}B\subset U$ 가 되게하는 양수 $\alpha>0$ 가 존재할 때를 말한다.

normed vector space에서의 operator $T$ 에 대하여 $T$ 가 continuous linear operator라는 것과 bounded operator라는 것이 동치였다. 그러나 일반적인 공간에서는 다르다.

Proposition 2. $X,Y$ 가 topological vector space라 하고 $T:X\rightarrow Y$ 가 continuous linear operator라 하자. 그러면 $T$ 는 $X$ 의 bounded set을 $Y$ 의 bounded set으로 보낸다.

Proof. $V$ 를 $Y$ 의 $0$ 을 포함하는 neighborhood라 하고 $B$ 는 $X$ 의 bounded set이라 하자. $T$ 가 continuous이므로 $0$ 을 포함하는 neighborhood $U$ 가 $X$ 에 존재해서 $T\left(U\right)\subset V$ 가 성립한다.

그런데 $B$ 가 bounded in $X$ 이므로 $\alpha^{-1}B\subset U$ 가 되게하는 양의 상수 $\alpha>0$ 가 존재한다. 즉, $B\subset\alpha U$ 이다. 그러므로

$T\left(B\right)\subset T\left(\alpha U\right)\subset\alpha T\left(U\right)\subset\alpha V$

가 성립한다. 즉, $\alpha^{-1}T\left(B\right)\subset V$ 이다. 그러므로 bounded set의 정의에 의하여 $T\left(B\right)$ 는 bounded set이다.

이제 조금 개념이 어려운 공간을 이야기하고자 한다. 역시나 좀 추상적이고 뭔 느낌인지 모르겠으면, Bourbaki가 한 짓이라고 생각이 저절로 들기 마련인데, 역시나 하는 것은 역시다 (….)

Definition 3. Locally convex space $X$ 가 다음 성질을 가지고 있다면 bornological이라 부른다:

Balanced convex set $M$ 이 $X$ 의 bounded set을 absorb한다면, $M$ 은 $0$ 을 포함하는 neighborhood가 된다.

이 공간을 도입한 본래의 목적은 집합과 함수들의 boundedness가 가질 최소한의 조건을 만들 수 있는 공간때문이라고 한다. 따라나오는 정리들이나 결과들이 이 이유를 설명해준다. 개념 자체는 그렇게 와닿지는 않는다.

Theorem 4. Locally convex space $X$ 가 bornologic라는 것과 $X$ 의 semi-norm 중 bounded set에서 bounded인 것이 continuous라는 것과 동치다. (A locally convex space $X$ is bornologic if and only if every semi-norm on $X$ , which is bounded
on every bounded set, is continuous)

Proof. $\left(\Rightarrow\right)$ : $X$ 위에서의 semi-norm $p$ 가 임의의 bounded set위에서 bounded라 가정하자. 그러면 집합 $M=\left\{ x\in X:p\left(x\right)\le1\right\}$ 는 이전에 살펴본 것과 같이 convex, balanced set이다. $B$ 가 bounded set이라고 하면 $\sup_{b\in B}p\left(b\right)=\alpha<\infty$ 이다.
그러므로 $B\subset\alpha M$ 이다. 그런데 $X$ 가 bornological space이므로 $M$ 는 $0$ 의 neighoborhood다. 그러므로 $p$ 는 $x=0$ 에서 연속이다.

$\left(\Leftarrow\right)$ : $M$ 이 convex, balanced set이라 하고 $X$ 의 모든 bounded set을 absorb한다고 하자. $p$ 를 $M$ 의 Minkowski functional이라 하자.
$B$ 를 $X$ 의 bounded set이라 하자. $M$ 이 $B$ 를 absorb하므로 $\alpha^{-1}B\subset M$ 이 되게하는 양수 $\alpha$ 가 존재한다. 그러므로 $x\in B$ 에 대하여 $p\left(x\right)\le\alpha$ 가 성립한다. 따라서 $p$ 는 bounded set이다. 그러므로 가정에 의하여 $p$ 는 $x=0$ 에서 연속이다. 그러므로
$M_{1}=\left\{ x\in X:p\left(x\right)<\frac{1}{2}\right\}$ 은 bounded set이면서 $0$ 을 포함하는 open set이며, 이는 $M$ 의 부분집합이다. 그러므로 $M$ 은 $0$ 을 포함하는 neighborhood이므로 증명이 끝난다.

Normed vector space가 대표적인 bornologic space다. 이를 확인하기 위해 $X$ 를 normed vector space라 하자. $S=\left\{ x\in X:\norm x{}\le1\right\}$ 은 $X$ 의 bounded set임은 자명하다. $X$ 위에서의 semi-norm $p$ 가 $S$ 위에서 bounded라고 가정하자.
$\alpha=\sup_{x\in S}p\left(x\right)$ 라 하자. 그러면 $y\neq0$ 에 대하여

$p\left(y\right)=p\left(\norm y{}\cdot\frac{y}{\norm y{}}\right)=\norm y{}p\left(\frac{y}{\norm y{}}\right)\le\alpha\norm y{}$

가 성립한다. 그러므로 $p$ 는 $y=0$ 에서 연속이다. 그러므로 $X$ 에서 연속이므로 앞의 Theorem에 의하여 증명이 끝나게 된다.

Quasi-normed vector space는 bornologic space가 반드시 되지는 않는다. locally convex space가 아니기 때문이다. 그러나 다음과 같은 결과는 있다.

Theorem 5. $X,Y$ 가 quasi-linear space라 하고 $T:X\rightarrow Y$ 를 linear operator라 하자. 그러면 $T$ 가 continuous라는 것과 $T$ 가 bounded set에서 bounded set으로 보낸다는 것과 동치다.

Proof. $\left(\Rightarrow\right)$ : $X,Y$ 가 topological vector space이므로 당연히
성립한다.

$\left(\Leftarrow\right)$ : $T$ 가 bounded set에서 bounded set으로 보내주는 linear operator라 가정하고 $s-\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=0$ 이라 가정하자. 그러면 $X$ 가 Quasi-normed vector space에므로 $\norm{x_{n}}{}\rightarrow0$ as $n\rightarrow\infty$ 이다. 그러면 다음과 같이 부분수열 $\left\{ n_{k}\right\}$ 를 고르도록 하자:

$n_{k}=\begin{cases} \text{largest integer}\le\norm{x_{k}}{}^{-\frac{1}{2}} & \text{if }x_{k}\neq0,\\ k & \text{if }x_{k}=0. \end{cases}$

그러면 $\lim_{k\rightarrow\infty}n_{k}=\infty$ 이고 $\lim_{k\rightarrow\infty}n_{k}\norm{x_{k}}{}=0$ 이다. 이제

$\norm{n_{k}x_{k}}{}\le n_{k}\norm{x_{k}}{}$

로부터 $\lim_{k\rightarrow\infty}\norm{n_{k}x_{k}}{}=0$ 을 얻는다. 여기에 덧붙여서 quasi-normed space에서는 $\left\{ n_{k}x_{k}\right\}$ 가 bounded이 된다. 따라서

$s-\lim_{k\rightarrow\infty}Tx_{k}=s-\lim_{k\rightarrow\infty}n_{k}^{-1}\left(T\left(n_{k}x_{k}\right)\right)=0$

을 얻는다. 따라서 $T$ 는 $x=0$ 에서 연속이고 이는 $X$ 전체에서 연속이다.

Theorem 6. $X$ 가 Bornologic, $Y$ 는 locally convex linear topological space라 하자. 만약 linear operator $T:X\rightarrow Y$ 가 모든 bounded set을 bounded set으로 보낸다면, $T$ 는 연속이다.

Proof. $V$ 가 $0$ 을 포함하는 convex balanced neighborhood라고 하고 $p$ 를 $V$ 의 Minkowski functional이라 하자. $q\left(x\right)=p\left(Tx\right)$ 라 정의하자. 그러면 $q$ 는 $X$ 의 semi-norm이 된다. 그리고 이 semi-norm $q$ 는 모든 bounded set in $X$ 에서 bounded이다. 왜냐하면 $T$ 가 bounded set을 bounded set으로 보내고, $V$ 가 bounded set을 absorbing하기 때문이다. 따라서 $X$ 가 Bornologic이므로, $q$ 는 continuous다. 그러므로

$\left\{ x\in X:Tx\in\overline{V}\right\} =\left\{ x\in X:q\left(x\right)\le1\right\}$

가 $0$ 의 neighborhood이므로 $T$ 가 continuous임을 보이게 된다.

Density extension

Proposition. Let $p,q\in[1,\infty)$ and let $T:L^{p}\left(X\right)\rightarrow L^{q}\left(Y\right)$ be a linear (respectively, nonnegative sublinear) operator defined
on a dense linear subspace $D$ of $L^{p}\left(X\right)$ and taking values in $L^{q}\left(Y\right)$ . If

$\left\Vert Tf\right\Vert _{q}\le M\left\Vert f\right\Vert _{p}$

for all $f\in D$ , then $T$ has a unique extension to a linear operator from $L^{p}\left(X\right)$ to $L^{q}\left(Y\right)$ for which the inequality holds for all $f\in L^{p}\left(X\right)$ .

Proof. First, we assume that $T$ is linear. Fix $f\in L^{p}\left(X\right)$ . Since $D$ is dense in $L^{p}\left(X\right)$ , there is a sequence $\left\{ f_{n}\right\}$ in $D$ such that $\left\Vert f_{n}-f\right\Vert _{p}\rightarrow 0$ as $n\rightarrow\infty$ . Then note that by linearlity,

$\left|Tf_{n}-Tf_{m}\right|=\left|T\left(f_{n}-f_{m}\right)\right|$

holds. So

$\left\Vert Tf_{n}-Tf_{m}\right\Vert _{q}\le M\left\Vert f_{n}-f_{m}\right\Vert _{p}$

holds for any $n,m$ by assumption. Since $\left\{ f_{n}\right\}$ is a Cauchy sequence in $L^{p}$ , $\left\{ Tf_{n}\right\}$ is a Cauchy sequence in $L^{q}$ . So by completeness of $L^{q}$ , $\left\{ Tf_{n}\right\}$ converges in $L^{q}$ , say $Tf=\lim_{n\rightarrow\infty}Tf_{n}$ .

Next, the limit is independent of the approximating sequence. Let $\left\{ g_{n}\right\}$ be another sequence in $D$ that converges to $f$ in $L^{p}$ . Then

$\left\Vert T\left(f_{n}\right)-T\left(g_{n}\right)\right\Vert _{q}\le M\left\Vert f_{n}-g_{n}\right\Vert _{p}$

and since $\left\Vert f_{n}-g_{n}\right\Vert _{p}\leq\left\Vert f_{n}-f\right\Vert _{p}+\left\Vert g_{n}-f\right\Vert _{p}$ , we conclude that $\left\{ T\left(g_{n}\right)\right\}$ converges to a limit in $L^{q}$ that equals to the limit of $\left\{ T\left(f_{n}\right)\right\}$ .

Finally, if $f_{n}\rightarrow f$ and $T\left(f_{n}\right)\rightarrow T\left(f\right)$ in $L^{p},L^{q}$ , respectively, then $\left\Vert f_{n}\right\Vert _{p}\rightarrow\left\Vert f\right\Vert _{p}$ and $\left\Vert Tf_{n}\right\Vert _{q}\rightarrow\left\Vert Tf\right\Vert _{q}$ .
So

$\left\Vert Tf\right\Vert _{q}\le M\left\Vert f\right\Vert _{p}$

holds for all $f\in L^{p}$ .

Next, assume $T$ is nonnegative sublinear operator. Note that

$\left|Tf-Tg\right|\le\left|T\left(f-g\right)\right|.$

Indeed, $T\left(f\right)=T\left(f-g+g\right)\le T\left(f-g\right)+Tg$ shows

$Tf-Tg\le T\left(f-g\right).$

Similarly, $Tg-Tf\le T\left(g-f\right)$ . Hence

$\left|Tf-Tg\right|\le\left|T\left(f-g\right)\right|=T\left(f-g\right).$

The rest part are similar.

1.1 Semi-norms and Locally Convex Linear Topological Spaces (Theory)

요시다 책이 어려운 이유가 처음부터 Locally convex linear topological space부터 정의하고 시작한다는 점이다. 추상적인 $L^{p}$ 공간만 해도 어려운데, 바로 이것부터 하는 것은 책을 덮게 만드는 가장 큰 원인인 것 같다. 이 절의 목표는 사실상 topological vector space를 어떻게 정의하지에 대해서 소개하는 절이다.

필자는 이런 이유에서 이 절을 읽을 때 간단한 수준에서의 $L^{p}$ 공간에 대한 기본적인 이해나, 유클리드 공간과 같이 비교적 친숙한 공간에서 가지고 있던 컨셉을 가져와서 읽고자 노력했다.

바로 이 책은 norm부터 정의하기 보다는 semi-norm부터 시작한다. 이 벡터의 크기를 보다 더 일반화한 개념이다. 원래 거리에서는 원점에서의 거리가 0이면 그 자신과 같다는 것이 있지만, 여기에는 없다.

Definition 1. $X$ 가 vector space라 하자. real-valued function $p\left(x\right)$ 가 다음 조건을 만족한다면, 이를 semi-norm on $X$ 라 부른다.

$p\left(x+y\right)\le p\left(x\right)+p\left(y\right)$

$p\left(\alpha x\right)=\left|\alpha\right|p\left(x\right)$

Semi-norm은 기본적인 두 성질들이 있다. 첫 번째로 $p\left(0\right)=0$ 이라는 사실과 모든 $x_{1},x_{2}\in X$ 에 대하여 $p\left(x_{1}-x_{2}\right)\ge\left|p\left(x_{1}\right)-p\left(x_{2}\right)\right|$ 가 성립한다. 이 들은 쉽게 증명할 수 있다.

그리고 이 책은 Minkowski functional을 정의하기 위하여 몇 가지 관찰을 잠시 거친다.

Proposition 2. $p$ 를 $X$ 에서의 semi-norm이라 하고 $c>0$ 이라 하자. $M=\left\{ x\in X:p\left(x\right)\le c\right\}$ 는 다음과 같은 성질을 가지고 있다.

$0\in M$ .

$x,y\in M$ 이고 $0<\alpha<1$ 이면 $\alpha x+\left(1-\alpha\right)y\in M$ 이다.

$x\in M$ 이고 $\left|\alpha\right|\le1$ 이면 $\alpha x\in M$ 이다. (이러한 성질을 가지고 있으면 $M$ 을 balanced set이라 한다.)

임의의 $x\in X$ 에 대하여 $\alpha^{-1}x\in M$ 이게 하는 $\alpha>0$ 가 존재한다. (이러한 성질을 가지고 있으면 $M$ 을 absorbing set이라 부른다.)

$p\left(x\right)=\inf_{\alpha>0,\alpha^{-1}x\in M}\alpha c$ .

Proof. 마지막 것만 자명치 않다. 이는

$\left[\alpha^{-1}x\in M\right]\iff\left[p\left(\alpha^{-1}x\right)\le c\right]\iff\left[p\left(x\right)\le\alpha c\right]$

로부터 유도된다.

Definition 3. $M$ 을 convex, balanced, absorbed set in $X$ 라 하자. $X$ 위에서 정의된 functional

$p_{M}\left(x\right)=\inf_{\alpha>0,\alpha^{-1}x\in M}\alpha$

를 Minkowski functional of $M$ on $X$ 라 부른다.

사실 이렇게 정의해놓고 무엇을 일반화한 것인지 바로 와닿지는 않았다. 이를 이해하기 위해서는 $X=\mathbb{R}^{n}$ , $M=B_{1}\left(0\right)$ 라 하자.

$\begin{align*} p_{M}\left(x\right) & =\inf\left\{ \alpha>0:x\in\alpha B_{1}\left(0\right)\right\} \\ & =\inf\left\{ \alpha>0:x\in B_{\alpha}\left(0\right)\right\} \end{align*}$

이다. 그림을 그려서 관찰해보면, 원점을 기점으로 원을 그렸을 때, $x$ 에 도달하는 거리의 최소원을 직관적으로 의미한다.

그러므로 Minkowski functional은 convex, balanced, absorbed set $M$ 의 거리를 일반화하는 개념이라고 볼 수 있겠다. 앞에서 정의한 Minkowski functional의 역할이 다음의 proposition에 의하여 분명해진다.

Proposition 4. $M$ 이 convex, balanced and absorbing set이라 하자. Minkowski functional $p_{M}$ 은 $X$ 에서의 semi-norm이 된다.

Proof. 임의의 $\varepsilon>0$ 에 대하여 $M$ 의 convexity에 의하여 $\frac{x}{p_{M}\left(x\right)+\varepsilon}\in M$ , $\frac{y}{p_{M}\left(y\right)+\varepsilon}\in M$ 이라 가정하면

$\frac{p_{M}\left(x\right)+\varepsilon}{p_{M}\left(x\right)+p_{M}\left(y\right)+2\varepsilon}\cdot\frac{x}{p_{M}\left(x\right)+\varepsilon}+\frac{p_{M}\left(y\right)+\varepsilon}{p_{M}\left(x\right)+p_{M}\left(y\right)+2\varepsilon}\cdot\frac{y}{p_{M}\left(y\right)+\varepsilon}\in M$

를 얻는다. 이 말은

$\frac{x+y}{p_{M}\left(x\right)+p_{M}\left(y\right)+2\varepsilon}\in M$

이다. $p_{M}\left(x\right)+p_{M}\left(y\right)+2\varepsilon>0$ 이므로 Minkowski functional의 정의에 의하여

$p_{M}\left(x+y\right)\le p_{M}\left(x\right)+p_{M}\left(y\right)+2\varepsilon$

를 얻으므로 subadditivity를 얻는다.

$\alpha\neq0$ , $x\in X$ with $x\neq0$ 이라 하자. 임의의 $\varepsilon>0$ 에 대하여 $\beta^{-1}\left(\alpha x\right)\in M$ 을 만족하는

$\beta\le p_{M}\left(\alpha x\right)+\varepsilon$

인 $\beta>0$ 가 존재한다.

$\frac{\left|\alpha\right|}{\alpha}$ 의 크기는 1이고 $M$ 이 balanced set이므로 $\frac{\left|\alpha\right|}{\alpha}\beta^{-1}\left(\alpha x\right)=\beta^{-1}\left|\alpha\right|x\in M$ 이다. 여기서 $\frac{\beta}{\left|\alpha\right|}>0$ 이므로 Minkowski functional의 정의에 의하여 $p_{M}\left(x\right)\le\frac{\beta}{\left|\alpha\right|}$ 를 얻고, 즉 $\left|\alpha\right|p_{M}\left(x\right)\le\beta$ 를 얻는다. 따라서

$\left|\alpha\right|p_{M}\left(x\right)\le p_{M}\left(\alpha x\right)+\varepsilon$

을 얻으므로 한 쪽 방향이 증명된다.

반대로 임의의 $\varepsilon>0$ 에 대하여 $\gamma^{-1}x\in M$ 이면서

$\gamma\le p_{M}\left(x\right)+\varepsilon$

인 $\gamma>0$ 가 존재한다. 양변에 $\left|\alpha\right|$ 를 곱하면

$\left|\alpha\right|\gamma\le\left|\alpha\right|p_{M}\left(x\right)+\left|\alpha\right|\varepsilon$

이고 $\frac{\alpha}{\left|\alpha\right|}$ 의 크기는 1이고 $M$ 은 absorbing set이므로 $\frac{\alpha}{\left|\alpha\right|}\gamma^{-1}x\in M$ 이다. 즉, $\frac{1}{\left|\alpha\right|\gamma}\alpha x\in M$ 이다. 여기서 $\frac{\left|\alpha\right|}{\gamma}>0$ 이므로 Minkowski functional의 정의에 의하여 $p_{M}\left(\alpha x\right)\le\left|\alpha\right|\gamma$ 다. 따라서

$p_{M}\left(\alpha x\right)\le\left|\alpha\right|p_{M}\left(x\right)+\left|\alpha\right|\varepsilon$

로 부터 $p_{M}$ 이 semi-norm이라는 것을 얻는다.

Normed vector space에서는 norm이 주어지면 topology를 줄 수 있었다. semi-norm이 주어진 공간도 적당한 조건이 있으면 topology를 줄 수 있다.

Yosida를 처음에 읽으면 바로 던져버리기 쉬운 정리가 바로 다음의 정리다. 왜냐하면 필자가 처음에 던져버렸던 이유가 이 정리였기 때문이다.

Theorem 5. $\left\{ p_{\gamma}:\gamma\in\Gamma\right\}$ 를 $X$ 에서의 semi-norm의 family라 하자. 그리고 이 family는 axiom of separation이 성립한다고 하자. 즉, 임의의 $x_{0}\neq0$ 에 대하여 $p_{\gamma_{0}}\left(x_{0}\right)\neq0$ 이 되게하는 $p_{\gamma_{0}}$ 가 존재한다.

그 family에서 유한 개만 골라오자, 편의상 $p_{1},\dots,p_{n}$ 이라 하자. 양수 $\varepsilon_{1},\dots,\varepsilon_{n}$ 에 대하여 다음과 같은 집합

$U=\left\{ x\in X:p_{i}\left(x\right)<\varepsilon_{i}\quad\text{for }1\le i\le n\right\}$

을 생각하자. 그러면 $U$ 는 convex, balanced, and absorbing set이다.

위에서 만든 집합과 같은 것을 $0$ 에서의 neighborhood라 하자. 임의의 $x_{0}\in X$ 에서의 neighborhood를 다음과 같은 집합이라 정의하자.

$x_{0}+U=\left\{ y\in X:y=x_{0}+u,u\in U\right\} .$

$X$ 의 부분집합 $G$ 가 다음과 같은 성질을 만족한다고 하자: $G$ 의 임의의 점은 각각의 점에서의 neighborhood를 가지며 이 neighborhood는 $G$ 에 포함된다.

그러면 위의 $G$ 와 같은 집합을 모은 collection $\left\{ G\right\}$ 는 $X$ 위에서의 topology를 이룬다.

Remark. Yosida 책은 특별한 말이 없는 한, topological space은 적어도 Hausdorff 조건을 만족해야 한다. 즉, 서로 다른 두 점 $x_{1},x_{2}$ 에 대하여 분리시킬 수 있는 서로 disjoint하는 open set들이 존재하는 공간이다.

Proof. $U$ 가 convex, balanced, absorbing set이라는 것은 앞에서 이미 보인거나 다름없다. $\left\{ G\right\}$ 모임이 topology를 이루는 걸 보이는 건 어렵지 않다.

우선 $G_{0}=\left\{ x\in X:p_{\gamma}\left(x\right)<c\right\}$ 가 정리에서 정의한 open이라는 걸 보여야 한다. 즉 $x_{0}\in G_{0}$ 라 하고 $p_{\gamma}\left(x_{0}\right)=\beta<c$ 라 하자. $U=\left\{ x\in X:p_{\gamma}\left(x\right)\le\frac{c-\beta}{2}\right\}$ 라 정의하자. 그러면 $x_{0}+U\subset G_{0}$ 가 됨을 보이고자 한다. 이는 간단하다. 왜냐하면 $u\in U$ 라 하면 $p_{\gamma}\left(x_{0}+u\right)\le p_{\gamma}\left(x_{0}\right)+p_{\gamma}\left(u\right)<\beta+\left(c-\beta\right)=c$ 가 된다. 그러므로 임의의 $x_{0}\in X$ 에 대하여 $x_{0}$ 를 포함하는 open set $x_{0}+G_{0}$ 가 존재한다.

이제 남은 것은 Hausdorff 조건만 보이면 된다. translation을 고려하면 $x_{1}=0$ , $x_{2}\neq0$ 인 경우에 성립한다는 것을 보이면 된다.

axiom of separation에 의하여 $p_{\gamma}\left(x_{2}\right)=\alpha>0$ 이 되게하는 semi-norm $p_{\gamma}$ 을 잡을 수 있다. 그러면 앞에서 보인 논리에 의하여 $G_{1}=\left\{ x\in X:p_{\gamma}\left(x\right)<\frac{\alpha}{2}\right\}$ 는 open이다. $0\in G_{1}$ 이다. 그러므로 보이고자 하는 것은

$G_{1}\cap\left(x_{2}+G_{1}\right)=\varnothing$

이다.

그렇지 않다고 하자. 즉 $y\in G_{1}\cap G_{2}\neq\varnothing$ 이라 하자. 그러면 $y=x_{2}+g=x_{2}-\left(-g\right)$ for some $g\in G_{1}$ 이고 그러므로 semi-norm의 성질에 의하여

$p_{\gamma}\left(y\right)\ge p_{\gamma}\left(x_{2}\right)-p_{\gamma}\left(-g\right)\ge\alpha-\frac{\alpha}{2}=\frac{\alpha}{2}$

를 얻는다. 그러나 이는 $y\in G_{1}$ 에 있다는 사실과 모순이다. 왜냐하면 $\frac{\alpha}{2}<\frac{\alpha}{2}$ 이기 때문이다. 그러므로 $\left\{ G\right\}$ 은 axiom of separation도 만족하므로 증명이 끝난다.

Definition 6. Separation 성질을 가지고 있는 Semi-norm family가 주어진 vector space에 대하여 앞처럼 open set을 정의하면 이를 topological vector space라 부른다.

사실 지금까지 뭘 하긴 했는데 이게 무슨 의미인지 와닿지는 않다. 이로부터 다음과 같은 성질을 증명할 수 있으며, 보통 책에서 topological vector space의 정의로 채택한다.

Proposition 7. $X$ 를 topological vector space라 하자. 그러면 연산

$+:X\times X\rightarrow X$ $\left(x,y\right)\mapsto x+y$

$\cdot:K\times X\rightarrow X$ $\left(\alpha,x\right)\mapsto\alpha x$

은 continuous이며 $X$ 와 함께 정의된 semi-norm $p_{\gamma}$ 는 $X$ 위에서 연속함수다.

Proof. $0$ 의 근방 $U$ 를 잡자. 즉

$U=\left\{ x\in X:p_{\gamma}\left(x\right)\le\varepsilon\right\}$

이다.

$V+V=\left\{ w\in X:w=v_{1}+v_{2}\text{ where }v_{1},v_{2}\in V\right\} \subset U$

가 되는 $0$ 의 열린 근방 $V\subset U$ 가 존재한다. 왜냐하면 $v_{1},v_{2}\in V$ 에 대하여 $p_{\gamma}\left(v_{1}\right)\le\frac{\varepsilon}{2}$ , $p_{\gamma}\left(v_{2}\right)\le\frac{\varepsilon}{2}$ 라 하면

$p_{\gamma}\left(w\right)=p_{\gamma}\left(v_{1}+v_{2}\right)\le p_{\gamma}\left(v_{1}\right)+p_{\gamma}\left(v_{2}\right)\le\varepsilon$

이기 때문이다.

그러므로 위의 사실에 의하여

$\left(x+y\right)-\left(x_{0}+y_{0}\right)=\left(x-x_{0}\right)+\left(y-y_{0}\right)$

라 적으면 $\left(x,y\right)\mapsto x+y$ 는 $x=x_{0}$ , $y=y_{0}$ 에서 연속이다.

$0$ 의 임의의 근방 $U$ 와 $\alpha\neq0$ 에 대하여

$\alpha U=\left\{ x\in X:x=\alpha u,u\in U\right\}$

는 $0$ 의 근방이 된다. 그러므로

$\alpha x-\alpha_{0}x_{0}=\alpha\left(x-x_{0}\right)+\left(\alpha-\alpha_{0}\right)x_{0}$

라 쓰면 $\left(\alpha,x\right)\mapsto\alpha x$ 는 $\alpha=\alpha_{0}$ , $x=x_{0}$ 에서 연속이다.

그리고 $\left|p_{\gamma}\left(x\right)-p_{\gamma}\left(x_{0}\right)\right|<p_{\gamma}\left(x-x_{0}\right)$ 로부터 $x=x_{0}$ 에서의 semi-norm $p_{\gamma}$ 의 연속성이 증명된다.

Definition 8. Topological vector space $X$ 의 $0$ 을 포함하는 모든 open set이 convex, balanced, and absorbing open set을 포함하는 경우를 locally convex topological vector space라 부른다.

이제 앞에서 얻은 모든 결론을 종합하고자 한다. Locally convex topological space를 Minkowski functional을 이용해서도 기술할 수 있다.

Theorem 1.9. A vector space $X$ , topologized by a family of semi-norms $p_{\gamma}\left(x\right)$ satisfying the axiom of separation, is a locally convex space in which each semi-norm $p_{\gamma}\left(x\right)$ is continuous. Conversely, any locally convex space is nothing but the topological vector space, topologized as above through the family of semi-norms obtained as the Minkowski functionals of convex balanced and absorbing open sets of $X$ .

다음 글에서는 Locally convex topological vector space의 예시들을 살펴본다. 주로 함수공간을 다룰 것이다. 왜냐고? 함수해석학이니까…

Egorov’s Theorem

Theorem (Egorov). $\mu\left(X\right)<\infty$ 이라 하고 $f_{n}:X\rightarrow\mathbb{R}$ 를 sequence of measurable function이라 하고 $f_{n}\rightarrow f$ a.e.라 하자. 그리고 $f$ 가 finite a.e.라 하자. 임의의 $\varepsilon>0$ 에 대하여 $\mu\left(X\setminus E\right)<\varepsilon$ 이고 $f_{n}\rightarrow f$ uniformly하게 하는 measurable set $E\subset X$ 이 존재한다.

Remark. 책에 따라 가정이 다르며, 설명이 조금 불충분한 편이다. 일반적으로 complete하지 않은 measure space는 sequence of measurable function이 almost everywhere convergence가 있다
할지라도 targetting function이 measurable하다는 보장을 할 수 없다. 그러나 이 정리는 local한 결과이기 때문에 $X$ 전체에서 $f$ 가 measurable일 필요가 없다.

Proof. measure zero set을 제외하고 증명을 해도 무방하다. 정리의 결과가 local하기 때문이다. 그러므로 $f_{n}$ 이 $f$ 로 $X$ 위에 있는 모든 점에서 converge한다고 가정하고 $f$ 가 $X$ 위의 모든 점에서 finite하다고
가정하자. 그러면 $f$ 는 measurable이다. $\varepsilon>0$ 이 주어졌다고 하자.

$E_{n}=\bigcap_{k=n+1}^{\infty}\left\{ x\in X:\left|f\left(x\right)-f_{k}\left(x\right)\right|<\varepsilon\right\}$

이라 정의하면 $\left\{ x\in X:\left|f\left(x\right)-f_{k}\left(x\right)\right|<\varepsilon\right\}$ 는 모든 $k$ 에 대하여 measurable이므로 $E_{n}$ 은 measurable이다. 또, intersection의 정의에 의하여 $E_{n}\subset E_{n+1}$ for all $n$ 임을 확인할 수 있다. 또 $\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)=f\left(x\right)$ for all $x\in X$ ,에 의하여 $X=\bigcup_{n=1}^{\infty}E_{n}$ 이다. 그러므로 continuity from below에 의하여

$\mu\left(X\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\mu\left(E_{n}\right)$

이다. $\mu\left(X\right)<\infty$ 이고 $E_{n}$ 이 measurable이므로

$\lim_{n\rightarrow\infty}\mu\left(X\setminus E_{n}\right)=0$

이다. 임의의 $\eta>0$ 에 대하여

$\mu\left(X\setminus E_{N}\right)<\eta$

이게 하는 자연수 $N$ 이 존재한다. 이로부터 각각의 $k\in\mathbb{N}$ 에 대하여 $C_{k}\subset X$ , $\mu\left(C_{k}\right)\le\frac{\varepsilon}{2^{k}}$ 이고

$\left|f\left(x\right)-f_{n}\left(x\right)\right|<\frac{1}{2^{k}}\quad\text{for }n>N_{k},x\in X\setminus C_{k}$

이게 하는 $N_{k}\in\mathbb{N}$ 가 존재한다.

$E=X\setminus\bigcup_{k=1}^{\infty}C_{k}$ 라 하면

$\mu\left(X\setminus E\right)\le\sum_{k=1}^{\infty}\mu\left(C_{k}\right)\le\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\varepsilon}{2^{k}}=\varepsilon$

이다.

이제 $f_{n}\rightarrow f$ 이 $E$ 위에서 uniformly converge한다는 것만 보이면 된다.

$\eta>0$ 이 주어졌다고 하자. 그러면 $\frac{1}{2^{k}}<\eta$ 이 되게하는 $k$ 가 존재하며 이는

$\left|f\left(x\right)-f_{n}\left(x\right)\right|<\frac{1}{2^{k}}<\eta\quad\text{for }n>n_{k},\,x\in E$

가 성립한다. 따라서 $f_{n}\rightarrow f$ converges uniformly on $E$ 다.

Lebesgue Outer measure and Continuity from below

Lebesgue outer measure인 경우에는 continuity from below가 measurability에 상관없이 항상 성립한다.

Problem. If $E_{1}\subset E_{2}\subset E_{3}\subset\cdots$ , then

$m^{*}\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}E_{k}\right)=\lim_{k\rightarrow\infty}m^{*}\left(E_{k}\right).$

Proof. If $m^{*}\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}E_{k}\right)=\infty$ , then $\sup_{k}\left\{ m^{*}\left(E_{k}\right)\right\} =\infty$ . So we may assume that $m^{*}\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}E_{k}\right)<\infty$ . Let $A_{k}$ be a measurable hull of $E_{k}$ and define $B_{k}=\bigcap_{j=k}^{\infty}A_{j}$ .
Then note that $B_{k}$ is also a measurable hull of $E_{k}$ since $E_{k}\subset E_{l}\subset A_{l}$ for any $l\ge k$ . So $E_{k}\subset\bigcap_{j=k}^{\infty}A_{j}$ .
Also,