이 부분은 Yosida 책을 읽을 때 두 번째로 겪었던 큰 난관이었다. 가장 첫 번째의 이유로는 이미 친숙한 개념이었던 bounded 개념을 보다 일반화 시키는 작업이 생각보다 어려웠던 것으로 꼽고, 두 번째로는 새롭게 정의하는 bornologic space가 무엇을 일반화시킨 것인지 파악하기가 어려웠기 때문이다. 필자가 두 번째로 Yosida 책을 읽다가 던져버렸던
부분이었다.
우선은 필자가 이해하는 선에서 최대한 이 절을 해설해보고자 한다. 우선 거리 가 있는 공간
에서
가 bounded라는 것은
가 되도록 하는
이 존재한다는
것을 의미한다.
그러나 일반적인 위상공간에서는 거리개념조차 문제가 되기 때문에 이를 보완하기 위해서는 다른 작업들이 필요하다.
아이디어는 의 특성이다.
는 여러가지 성질이 있지만, 그 중에서 주목하고자 하는 것은 absorbing set이었다. 어떤 집합이 bounded라는 개념을 만들기 위해서는 그 집합을 포함하는 큰 집합을 생각했다. 이런 개념을 잘 수용할 수 있는 것이 absorbing이다. 일반적으로
topological vector space에서는 을 포함하는 open set을 생각했으므로 이를 바탕으로 absorbing 성질을 이용해서 다음과 같이 정의하는 것이 합리적이다.
Definition 1.
가 topological vector space라 하자.
가 bounded라는 것은 임의의
의 neighborhood
에 대하여
가 되게하는 양수
가 존재할 때를 말한다.
normed vector space에서의 operator 에 대하여
가 continuous linear operator라는 것과 bounded operator라는 것이 동치였다. 그러나 일반적인 공간에서는 다르다.
Proposition 2.
가 topological vector space라 하고
가 continuous linear operator라 하자. 그러면
는
의 bounded set을
의 bounded set으로 보낸다.
Proof. 를
의
을 포함하는 neighborhood라 하고
는
의 bounded set이라 하자.
가 continuous이므로
을 포함하는 neighborhood
가
에 존재해서
가 성립한다.
그런데 가 bounded in
이므로
가 되게하는 양의 상수
가 존재한다. 즉,
이다. 그러므로
가 성립한다. 즉, 이다. 그러므로 bounded set의 정의에 의하여
는 bounded set이다.
이제 조금 개념이 어려운 공간을 이야기하고자 한다. 역시나 좀 추상적이고 뭔 느낌인지 모르겠으면, Bourbaki가 한 짓이라고 생각이 저절로 들기 마련인데, 역시나 하는 것은 역시다 (….)
Definition 3. Locally convex space
가 다음 성질을 가지고 있다면 bornological이라 부른다:
Balanced convex set
이
의 bounded set을 absorb한다면,
은
을 포함하는 neighborhood가 된다.
이 공간을 도입한 본래의 목적은 집합과 함수들의 boundedness가 가질 최소한의 조건을 만들 수 있는 공간때문이라고 한다. 따라나오는 정리들이나 결과들이 이 이유를 설명해준다. 개념 자체는 그렇게 와닿지는 않는다.
Theorem 4. Locally convex space
가 bornologic라는 것과
의 semi-norm 중 bounded set에서 bounded인 것이 continuous라는 것과 동치다. (A locally convex space
is bornologic if and only if every semi-norm on
, which is bounded
on every bounded set, is continuous)
Proof. :
위에서의 semi-norm
가 임의의 bounded set위에서 bounded라 가정하자. 그러면 집합
는 이전에 살펴본 것과 같이 convex, balanced set이다.
가 bounded set이라고 하면
이다.
그러므로 이다. 그런데
가 bornological space이므로
는
의 neighoborhood다. 그러므로
는
에서 연속이다.
:
이 convex, balanced set이라 하고
의 모든 bounded set을 absorb한다고 하자.
를
의 Minkowski functional이라 하자.
를
의 bounded set이라 하자.
이
를 absorb하므로
이 되게하는 양수
가 존재한다. 그러므로
에 대하여
가 성립한다. 따라서
는 bounded set이다. 그러므로 가정에 의하여
는
에서 연속이다. 그러므로
은 bounded set이면서
을 포함하는 open set이며, 이는
의 부분집합이다. 그러므로
은
을 포함하는 neighborhood이므로 증명이 끝난다.
Normed vector space가 대표적인 bornologic space다. 이를 확인하기 위해 를 normed vector space라 하자.
은
의 bounded set임은 자명하다.
위에서의 semi-norm
가
위에서 bounded라고 가정하자.
라 하자. 그러면
에 대하여
가 성립한다. 그러므로 는
에서 연속이다. 그러므로
에서 연속이므로 앞의 Theorem에 의하여 증명이 끝나게 된다.
Quasi-normed vector space는 bornologic space가 반드시 되지는 않는다. locally convex space가 아니기 때문이다. 그러나 다음과 같은 결과는 있다.
Theorem 5.
가 quasi-linear space라 하고
를 linear operator라 하자. 그러면
가 continuous라는 것과
가 bounded set에서 bounded set으로 보낸다는 것과 동치다.
Proof. :
가 topological vector space이므로 당연히
성립한다.
:
가 bounded set에서 bounded set으로 보내주는 linear operator라 가정하고
이라 가정하자. 그러면
가 Quasi-normed vector space에므로
as
이다. 그러면 다음과 같이 부분수열
를 고르도록 하자:
그러면 이고
이다. 이제
로부터 을 얻는다. 여기에 덧붙여서 quasi-normed space에서는
가 bounded이 된다. 따라서
을 얻는다. 따라서 는
에서 연속이고 이는
전체에서 연속이다.
Theorem 6.
가 Bornologic,
는 locally convex linear topological space라 하자. 만약 linear operator
가 모든 bounded set을 bounded set으로 보낸다면,
는 연속이다.
Proof. 가
을 포함하는 convex balanced neighborhood라고 하고
를
의 Minkowski functional이라 하자.
라 정의하자. 그러면
는
의 semi-norm이 된다. 그리고 이 semi-norm
는 모든 bounded set in
에서 bounded이다. 왜냐하면
가 bounded set을 bounded set으로 보내고,
가 bounded set을 absorbing하기 때문이다. 따라서
가 Bornologic이므로,
는 continuous다. 그러므로
가 의 neighborhood이므로
가 continuous임을 보이게 된다.