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Rademacher function and Khinchin’s equality

Fair coin에 대하여 이 상황을 설명할 수 있는 또 다른 방법이 있는데, Rademacher function을 이용하는 방법이 있다. 함수는 다음과 같이 정의된다:

    \[ r_{j}\left(t\right):=\sign\left(\sin\left(2\pi2^{j}t\right)\right),\quad0<t<1,\quad j=0,1,2,\dots. \]

여기서 sample space는 \left(0,1\right)이며 probability measure는 \left[0,1\right]에서의 Lebesgue measure이다. 그러면 모든 n\ge1에 대하여

    \[ m\left(\left\{ r_{j_{1}}=\varepsilon_{1},\dots,r_{j_{n}}=\varepsilon_{n}\right\} \right)=2^{-n} \]

를 얻는다. 여기서 \varepsilon_{j}\in\left\{ -1,1\right\}이다. 이 사실은 \left\{ r_{j}\right\}가 independent random variable이라는 것을 보여준다.

Lemma. r_{j}를 Rademacher sequence라 하자. 자연수 N에 대하여 \left\{ a_{j}\right\} _{j=1}^{\infty}\subset\mathbb{C}라 하자. 그러면

    \[ \prob\left(\left\{ \left|\sum_{j=1}^{N}r_{j}a_{j}\right|>\lambda\left(\sum_{j=1}^{N}\left|a_{j}\right|^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\right\} \right)\le4e^{-\frac{\lambda^{2}}{2}} \]

이다.

Proof. 우선 a_{i}\in\mathbb{R}이라 가정하자. Rademancher function의 정의는

    \[ r_{j}\left(t\right)=\mathrm{sign}\left(\sin\left(2\pi2^{j}t\right)\right)\quad0<t<1\quad j=0,1,\dots \]

이다. 그러므로 임의의 양수 \rho에 대하여 \left\{ r_{j}\right\}가 independent이므로

    \[ \Exp\left[e^{\rho S_{N}}\right]=\prod_{j=1}^{N}\Exp\left[e^{\rho r_{j}a_{j}}\right] \]

를 얻는다.

그리고 A_{j}=\left\{ 0<t<1:r_{j}\left(t\right)=1\right\}, B_{j}=\left\{ 0<t<1:r_{j}\left(t\right)=-1\right\}라 하면 m\left(A_{j}\right)=\frac{1}{2}, m\left(B_{j}\right)=\frac{1}{2}이므로 임의의 1\le j\le N에 대하여

    \begin{align*} \Exp\left[e^{\rho r_{j}a_{j}}\right] & =\int_{0}^{1}e^{\rho r_{j}\left(t\right)a_{j}}dt\\ & =\frac{1}{2}\left[e^{a_{j}\rho}+e^{-a_{j}\rho}\right]\\ & =\cosh\left(a_{j}\rho\right) \end{align*}

를 얻는다. 그리고 임의의 실수 x에 대하여 \cosh x\le e^{\frac{x^{2}}{2}}이다. 이는

    \[ e^{\frac{x^{2}}{2}}-\cosh x=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{n!2^{n}}-\frac{1}{\left(2n\right)!}\right)x^{2n} \]

이로부터 \left(2n\right)!\ge n!2^{n}이 음이 아닌 정수 n에 대하여 성립하기 때문에 부등식을 얻는다. 그러므로

    \begin{align*} \Exp\left[e^{\rho r_{j}a_{j}}\right] & \le\prod_{j=1}^{N}e^{\rho^{2}a_{j}^{2}/2}\\ & =\exp\left(\rho^{2}\sum_{j=1}^{N}\frac{1}{2}a_{j}^{2}\right) \end{align*}

이다. \sigma^{2}=\sum_{j=1}^{n}a_{j}^{2}이라 하자. 그러면 양수 \lambda>0에 대하여

    \begin{align*} &\relphantom{=} \prob\left(\left\{ S_{N}>\lambda\sigma\right\} \right)\\ & =\prob\left(\left\{ \rho S_{N}>\lambda\rho\sigma\right\} \right)\\ & =\prob\left(\left\{ e^{\rho S_{N}}>e^{\lambda\rho\sigma}\right\} \right)\\ & \le\frac{\Exp\left[e^{\rho S_{N}}\right]}{e^{\lambda\rho\sigma}}\le e^{\rho^{2}\sigma^{2}/2}e^{-\lambda\rho\sigma}\le e^{-\frac{\lambda^{2}}{2}} \end{align*}

를 얻는다. 여기서 마지막 부등식은 \rho에 대해서 극댓값을 얻어내는 결과다.

비슷한 방법으로

    \[ \prob\left(\left\{ S_{N}<-\lambda\sigma\right\} \right)\le e^{-\frac{\lambda^{2}}{2}} \]

를 얻어내므로

    \[ \prob\left(\left|S_{N}\right|>\lambda\sigma\right)\le2e^{-\frac{\lambda^{2}}{2}} \]

를 얻는다.

이제 a_{j}\in\mathbb{C}라 하면 실수부와 허수부로 나누어서 공략을 하면

    \[ \prob\left(\left|S_{N}\right|>\lambda\sigma\right)\le4e^{-\frac{\lambda^{2}}{2}} \]

를 얻는다.


Theorem (Khinchin’s equality). 1\leq p<\infty이라면 임의의 자연수 N\left\{ a_{j}\right\} _{j=1}^{N}\subset\mathbb{C}
대하여

    \[ \Exp\left[\left|\sum_{j=1}^{N}r_{j}a_{j}\right|^{p}\right]\approx_{p,d}\left(\sum_{j=1}^{N}\left|a_{j}\right|^{2}\right)^{\frac{p}{2}} \]

이다.

Proof. (i) p=2일 때는 직교성에 의해서 쉽게 보인다. 즉

    \begin{align*} \Exp\left[\left|\sum_{j=1}^{N}r_{j}a_{j}\right|^{2}\right] & =\sum_{i,j=1}^{n}\Exp\left[r_{j}\overline{r_{i}}a_{i}\overline{a_{j}}\right]\\ & =\sum_{i=1}^{n}\left|a_{i}\right|^{2}\Exp\left[\left|r_{i}\right|^{2}\right]\\ & =\sum_{i=1}^{N}\left|a_{i}\right|^{2} \end{align*}

를 얻는다.

(ii) 1<p<\infty일 때 upper bound를 구해보도록 하자. \sum_{j=1}^{N}\left|a_{j}\right|^{2}=1이라 하자. S_{N}을 이전과 같이 S_{N}=\sum_{j=1}^{N}a_{j}r_{j}이라 하자. 그러면 앞의 Lemma에 의하여

    \begin{align*} & \relphantom{=}\Exp\left[\left|S_{N}\right|^{p}\right]\\ & =\int_{0}^{\infty}\prob\left(\left\{ \left|S_{N}\right|>\lambda\right\} \right)p\lambda^{p-1}d\lambda\\ & \le\int_{0}^{\infty}4e^{-\frac{\lambda^{2}}{2}}p\lambda^{p-1}d\lambda=:C\left(p\right)<\infty \end{align*}

이다.

(iii) 1<p<\infty일 때 lower bound를 구해보도록 한다. 이는 (i)과 (ii), duality에 의해 얻는다. 그러면 (i)과 Hölder’s inequality에 의하여

    \begin{align*} \sum_{j=1}^{N}\left|a_{j}\right|^{2}= & \Exp\left[\left|\sum_{j=1}^{N}r_{j}a_{j}\right|^{2}\right]\\ & \le\Exp\left(\left|\sum_{j=1}^{N}a_{j}r_{j}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\Exp\left(\left|\sum_{j=1}^{N}a_{j}r_{j}\right|^{p^{\prime}}\right)^{\frac{1}{p^{\prime}}} \end{align*}

을 얻는다.

1<p^{\prime}<\infty이므로 (ii)에 의하여

    \[ \Exp\left(\left|\sum_{j=1}^{N}a_{j}r_{j}\right|^{p^{\prime}}\right)^{\frac{1}{p^{\prime}}}\lesssim_{p}\left(\sum_{j=1}^{N}\left|a_{j}\right|^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \]

를 얻는다. 그러므로

    \[ \left(\sum_{j=1}^{N}\left|a_{j}\right|^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\lesssim_{p}\Exp\left(\left|\sum_{j=1}^{N}a_{j}r_{j}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}} \]

를 얻는다.

(iv) p=1일 때 Hölder’s inequality에 의하여

    \begin{align*} & \relphantom{=}\Exp\left[\left|S_{N}\right|^{2}\right]\\ & =\Exp\left[\left|S_{N}\right|^{\frac{2}{3}}\left|S_{N}\right|^{\frac{4}{3}}\right]\\ & \le\Exp\left[\left|S_{N}\right|\right]^{\frac{2}{3}}\left(\Exp\left[S_{N}\right]^{4}\right)^{\frac{1}{3}} \end{align*}

를 얻으며 (ii)에 의하여 \left(\Exp\left[S_{N}\right]^{4}\right)^{\frac{1}{3}}\apprle_{p}\left(\sum_{j=1}^{N}\left|a_{j}\right|^{2}\right)^{2}를 얻는다. 그러므로

    \begin{align*} \Exp\left[\left|S_{N}\right|\right]^{\frac{2}{3}}\left(\Exp\left[S_{N}\right]^{4}\right)^{\frac{1}{3}} & \lesssim_{p}\left(\Exp\left|S_{N}\right|\right)^{\frac{2}{3}}\left(\sum_{j=1}^{N}\left|a_{j}\right|^{2}\right)^{\frac{2}{3}}\\ & \lesssim_{p}\left(\Exp\left|S_{N}\right|\right)^{\frac{2}{3}}\left(\Exp\left|S_{N}\right|^{2}\right)^{\frac{2}{3}} \end{align*}

를 얻는다. 따라서

    \[ \Exp\left[\left|S_{N}\right|^{2}\right]\lesssim_{p}\left(\Exp\left|S_{N}\right|\right)^{2} \]

를 얻어서 증명이 끝난다.


Arzela-Ascoli Theorem

1. Motivation of our main Theorem

In metric space, topological compactness and sequential compactness are equivalent. In {\mathbb{C}^{N}}, we have a Heine-Borel property. However, the following example gives that closedness and boundedness do not gurantee the compactness in general.

Example 1 This example is related to sequential compactness. Consider {\ell^{2}\left(\mathbb{N}\right)} and {\left\{ e_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}} where {e_{n}=\left(0,\dots,0,1,0,\dots\right)} has 1 at {n}th coordinates and others are 0. We call this set as `standard basis’ in {\ell^{2}\left(\mathbb{N}\right)}. Note that {\left\{ e_{n}\right\} _{=1}^{\infty}} is bounded sequence since {\left\Vert e_{n}\right\Vert _{2}=1} for all {n}. Also note that {\left\Vert e_{n}-e_{m}\right\Vert _{2}=\begin{cases} 0 & \text{if }n=m\\ \sqrt{2} & \text{if }n\neq m \end{cases}}. Then {\left\{ e_{n}\right\} } has no convergent subsequence since these are all isolated.

Also, if we have a bounded sequence, can we gurantee the existence of subsequence which has pointwise convergent? The following example gives the negative answer to the question.

Example 2 For each {n,} define {f_{n}\left(x\right)=\sin nx} where {x\in\left[0,2\pi\right]}. Does {\left\{ f_{n}\right\} } have pointwise convergent subsequence? Suppose {\left\{ f_{n}\right\} } has a convergent subsequence {\left\{ f_{n_{k}}\right\} } for every {x\in\left[0,2\pi\right]}. Then we have

\displaystyle \lim_{k\rightarrow\infty}\left(\sin n_{k}x-\sin n_{k+1}x\right)=0\quad\left(0\le x\le2\pi\right).

So

\displaystyle \lim_{k\rightarrow\infty}\left(\sin n_{k}x-\sin n_{k+1}x\right)^{2}=0\quad\left(0\le x\le2\pi\right).

So by bounded convergence theorem, we have

\displaystyle \lim_{k\rightarrow\infty}\int_{0}^{2\pi}\left(\sin n_{k}x-\sin n_{k+1}x\right)^{2}dx=0.

But the calculation shows

\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\left(\sin n_{k}x-\sin n_{k+1}x\right)^{2}dx=2\pi,

a contradiction.

2. Proof of Main Theorem

We want to find an equivalent statements of compactness of function spaces. To find the condition, the following terminologies are useful. Let {\mathscr{F}} be a collection of complex functions on a metric space {X} with metric {\rho}. We say that {\mathscr{F}} is equicontinuous if to every {\varepsilon>0}, corresponds a {\delta>0} such that {\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|<\varepsilon} for every {f\in\mathcal{F}} and for all paris of points {x,y} with {\rho\left(x,y\right)<\delta}.

We say that {\mathscr{F}} is pointwise bounded if to every {x\in X} corresponds an {M_{x}<\infty} such that {\left|f\left(x\right)\right|\le M_{x}} for every {f\in\mathscr{F}}. Arzela-Ascoli Theorem gives a behavior of sequences in a some condition. It is strongly related to the weak type convergence which will be explained after we prove the main theorem. There are many versions on this theorem. The following theorem is more general form which is given in Rudin’s Real and Complex Analysis.

Theorem 1 Suppose that {\mathscr{F}} is a pointwise bounded equicontinuous collection of complex functions on a separable metric space {X}. Then every sequence {\left\{ f_{n}\right\} } in {\mathscr{F}} has then a subsequence that converges uniformly on every compact subset of {X}.

Proof: We divide our proof into two steps. First, we will find a subsequence of {\left\{ f_{n}\right\} }. Since {X} is separable, there is a countable dense subset {A=\left\{ x_{1},x_{2},\dots\right\} } of {X}. Consider {\left\{ f_{n}\left(x_{1}\right)\right\} _{n\in\mathbb{N}}}. Note that it is bounded sequence in {\mathbb{C}} since {\mathscr{F}} is pointwise bounded. So there is {M_{1}} such that {\left|f_{n}\left(x_{1}\right)\right|\le M_{1}} for all {n}. So by Bolzano-Weierstrass property in {\mathbb{C}}, it has a convergent subsequence {\left\{ f_{1,n}\left(x_{1}\right)\right\} } . Since {\left\{ f_{1,n}\right\} } is a subsequence of {\left\{ f_{n}\right\} }, it is pointwise bounded. So if we consider {\left\{ f_{1,n}\left(x_{2}\right)\right\} _{n\in\mathbb{N}}}, then it has a convergent subsequence {\left\{ f_{2,n}\left(x_{2}\right)\right\} }. Continue this process. Then we summerize the main result of the above process:

  • {\left\{ f_{1,n}\right\} _{n=1}^{\infty}} is a subsequence of {\left\{ f_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}} at {x_{1}}.
  • {\left\{ f_{m,n}\right\} _{n=1}^{\infty}} is a subsequence of {\left\{ f_{m-1,n}\right\} _{n=1}^{\infty}} at {x_{1},\dots,x_{m}} for {m\ge2}.

If we define {g_{n}=f_{n,n}}, then recall that {\left\{ g_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}} is a subsequence of {\left\{ f_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}} . Take any {x_{k}\in A}, then {n\ge k}, {\left\{ f_{n,n}\right\} _{n\ge k}} is a subsequence of {\left\{ f_{n,k}\right\} _{n=1}^{\infty}} which converges at {x_{k}}. For each {n}, {\left\{ g_{n}\left(x_{i}\right)\right\} } converges for {1\le i\le n}. So {\lim_{n\rightarrow\infty}g_{n}\left(x\right)} exists for all {x\in A}. This ends the first part of proof.

Next, we prove that {\left\{ g_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}} converges uniformly on every compact subset of {X}. Let {K} be a compact subset of {X} and let {\varepsilon>0} be given. Then by equicontinuity, there is a {\delta>0} such that {\rho\left(x,y\right)<\delta} implies {\left|g_{n}\left(x\right)-g_{n}\left(y\right)\right|<\frac{\varepsilon}{3}} for all {n}. Cover {K} by {\left\{ B\left(x,\delta/2\right)\right\} _{x\in K}}. Then by compactness, there is a finite subcover, say {B_{1},\dots,B_{M}} which has radius {\delta/2}. Since {A} is dense in {X,} there are points {x_{i}\in B_{i}\cap A} for {1\le i\le M}. Since {x_{i}\in A}, {\lim_{n\rightarrow\infty}g_{n}\left(x_{i}\right)} exists. So for {i=1,\dots,M}, there is an integer {N_{i}} such that {n\ge N_{i}} implies {\left|g_{m}\left(x_{i}\right)-g_{n}\left(x_{i}\right)\right|<\frac{\varepsilon}{3}} if {m>N_{i}}, {n>N_{i}} . Choose {N=\max_{1\le i\le M}\left\{ N_{i}\right\} }.

Pick {x\in K}. Then {x\in B_{i}} for some {i}, and {\rho\left(x,x_{i}\right)<\delta}. So

    \begin{align*} \left|g_{m}\left(x\right)-g_{n}\left(x\right)\right| & \le\left|g_{m}\left(x\right)-g_{m}\left(x_{i}\right)\right|+\left|g_{m}\left(x_{i}\right)-g_{n}\left(x_{i}\right)\right|+\left|g_{n}\left(x_{i}\right)-g_{n}\left(x\right)\right|\\ &\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon  \end{align*}

if {m,n>N}. So {\left\{ g_{n}\right\} } converges uniformly on {K}. So we are done. \Box

Let {K} be a compact metric space. Then {\mathscr{F}\subset\mathscr{C}\left(K\right)} is compact if and only if {\mathscr{F}\subset\mathscr{C}\left(K\right)} is closed, pointwise bounded and equicontinuous on {K}. Proof: Assume {\mathscr{F}} is compact. Then it is closed and bounded. So it suffices to check that {\mathscr{F}} is equicontinuous on {K.} Let {\varepsilon>0} be given. Then by compactness of {\mathscr{F}}, there is {\left\{ f_{1},\dots,f_{N}\right\} } such that {\mathscr{F}\subset\bigcup_{i=1}^{N}B\left(f_{i},\varepsilon\right)}, where {B\left(f_{i},\varepsilon\right)=\left\{ f\in\mathscr{C}\left(K\right):\left\Vert f-f_{i}\right\Vert _{u}<\varepsilon\right\} }.

Since each {f_{i}} is continuous on the compact set {K}, so it is uniformly continuous on {K}. So there is {\delta_{i}>0} such that if {d\left(x,y\right)<\delta} in {K}, then {\left|f_{i}\left(x\right)-f_{i}\left(y\right)\right|<\varepsilon}. Set {\delta=\min_{1\le i\le N}\delta_{i}}. Then {d\left(x,y\right)<\delta} implies {\left|f_{i}\left(x\right)-f_{i}\left(y\right)\right|<\varepsilon} for all {1\le i\le N}.

To show the equicontinuity, let {f\in\mathscr{F}}. Then there is {1\le i\le N} such that {\left\Vert f_{i}-f\right\Vert _{u}<\varepsilon}. So {d\left(x,y\right)<\delta} implies {\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|\le\left|f\left(x\right)-f_{i}\left(x\right)\right|+\left|f_{i}\left(x\right)-f_{i}\left(y\right)\right|+\left|f_{i}\left(y\right)-f\left(y\right)\right|<3\varepsilon}.

Assume {\mathscr{F}\subset\mathscr{C}\left(K\right)} is closed, pointwise bounded and equicontinuous on {K}. Let {\left\{ f_{n}\right\} \subset\mathscr{F}} be any sequence and let {\varepsilon>0} be given. Then there is {\delta>0} such that {d\left(x,y\right)<\delta} implies {\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|<\varepsilon} for all {f\in\mathscr{F}.}

Note that there is a countable dense subset {E} of {K}. So by Arzela-Ascoli theorem, there is a subsequence {\left\{ f_{n_{k}}\right\} _{k=1}^{\infty}} of {\left\{ f_{n}\right\} } such that for each {x\in E}, {\left\{ f_{n_{k}}\left(x\right)\right\} _{k=1}^{\infty}} converges. We claim that {\left\{ f_{n_{k}}\right\} } converges uniformly in {K}. Since {K} is compact, there exists a finitely many {\left\{ x_{m}\right\} _{m=1}^{q}\in E} such that

\displaystyle K\subset B\left(x_{1},\delta\right)\cup\cdots\cup B\left(x_{q},\delta\right).

Note that for each {m=1,\dots,q}, {\left\{ f_{n_{k}}\left(x_{m}\right)\right\} _{k=1}^{\infty}} converges. Thus, there exists {N>0} such that {j,k\ge N} implies {\left|f_{n_{j}}\left(x_{m}\right)-f_{n_{k}}\left(x_{m}\right)\right|<\varepsilon} for all {m=1,\dots,q}. Let {x\in K}. Then there is {x_{m}} such that {x\in B\left(x_{m},\delta\right)}. So {\left|f_{n_{k}}\left(x\right)-f_{n_{k}}\left(x_{m}\right)\right|<\varepsilon} for all {k}. Thus,

\displaystyle \left|f_{n_{j}}\left(x\right)-f_{n_{k}}\left(x\right)\right|\le\left|f_{n_{j}}\left(x\right)-f_{n_{j}}\left(x_{m}\right)\right|+\left|f_{n_{j}}\left(x_{m}\right)-f_{n_{k}}\left(x_{m}\right)\right|+\left|f_{n_{k}}\left(x_{m}\right)-f_{n_{k}}\left(x\right)\right|<3\varepsilon.

This implies if {j,k\ge N}, then {\left\Vert f_{n_{j}}-f_{n_{k}}\right\Vert _{u}<3\varepsilon}. Thus, {\left\{ f_{n_{k}}\right\} } is uniformly Cauchy. So this converges uniformly to {f^{*}} and {f^{*}\in\mathscr{F}} because {\mathscr{F}} is closed. \Box

3. Weak Convergence

{T\in X^{*}} means {T:X\rightarrow\mathbb{C}} is continuous and linear. A sequence {\left\{ T_{n}\right\} } is norm bounded means there is {M>0} such that {\left|T_{n}\left(x\right)-T_{n}\left(y\right)\right|\le M\left|x-y\right|} for all {x,y\in X} and {n\in\mathbb{N}}. In other language, {\left\{ T_{n}\right\} } is pointwise bounded and equicontinuous.

Theorem 2 Let {X} be separable normed vector space. Then every norm bounded sequence {\left\{ T_{n}\right\} } in {X^{*}} has convergent subsequence {\left\{ T_{n_{k}}\right\} } such that {T_{n_{k}}\left(x\right)\rightarrow T\left(x\right)} for each {x\in X}.

Proof: Let {\left\{ T_{n}\right\} } be a norm bounded sequence in {X^{*}}. Since {X} is separable and {\left\{ T_{n}\right\} } is pointwise bounded and equicontinuous, by Arzelá-Ascoli theorem, {\left\{ T_{n}\right\} } has a convergent subsequence {\left\{ T_{n_{k}}\right\} } which converge uniformly on all compact subset of {X}. Thus, {\left\{ T_{n_{k}}\right\} } converges pointwise on {X}. \Box

We say a norm bounded sequence {\left\{ T_{n}\right\} } in {X^{*}} has a weak{*} convergent subsequence if there is a subsequence {\left\{ T_{n_{k}}\right\} } of {\left\{ T_{n}\right\} } such that {T_{n_{k}}\left(x\right)\rightarrow T\left(x\right)} for each {x\in X}. Now, we will connect these kind of concepts on {L^{p}}-spaces.

On {\left(E,\mathfrak{M},m\right)} and {1\le p<\infty} with conjugate exponent {q} with {\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}, if we define {\Phi:L^{p}\left(E\right)\rightarrow\mathbb{R}} by {\Phi\left(f\right)=\int_{E}fgdm} for some {g\in L^{q}\left(E\right)}. Then we get the following result:

Theorem 3 Let {1\le p<\infty} with conjugate exponent {q}. Define {\Phi:L^{p}\left(E\right)\rightarrow\mathbb{C}} by

\displaystyle \Phi\left(f\right)=\int_{E}fgdm

for some {g\in L^{q}\left(E\right)} . Then {\Phi} is a continuous linear functional on {L^{p}\left(E\right)} and moreover, {\left\Vert \Phi\right\Vert =\left\Vert g\right\Vert _{q}}.

Proof: (i) {1<p<\infty}. Then {\left|\Phi\left(f\right)\right|=\left|\int_{E}fg\right|\le\left\Vert f\right\Vert _{p}\left\Vert g\right\Vert _{q}}. Thus, {\left\Vert \Phi\right\Vert \le\left\Vert g\right\Vert _{q}}. To prove the reverse inequality, define {f=\left|g\right|^{\frac{q}{p}}\mathrm{sign} g}. Then {\left|f\right|^{p}=\left|g\right|^{q}=fg} since {fg=\left|g\right|^{\frac{q}{p}}\left|g\right|=\left|g\right|^{q}}. Hence,

    \begin{align*} \left|\Phi\left(f\right)\right| & =\left|\int fgdm\right|=\left|\int\left|g\right|^{q}dm\right|\\ & =\left\Vert g\right\Vert _{q}^{q}\\ & =\left\Vert g\right\Vert _{q}\left\Vert g\right\Vert _{q}^{q-1}.  \end{align*}

Note that

\displaystyle \left\Vert g\right\Vert _{q}^{q-1}=\left(\int_{E}\left|g\right|^{q}dm\right)^{\frac{q-1}{q}}=\left(\int_{E}\left|f\right|^{p}dm\right)^{\frac{q-1}{q}}=\left\Vert f\right\Vert _{p}.

Thus, {\left\Vert g\right\Vert _{q}\le\left\Vert \Phi\right\Vert } by the infimum definition of operator norm.Hence, {\left\Vert \Phi\right\Vert =\left\Vert g\right\Vert _{q}}.

(ii) {p=1}, then its conjugate exponent is {q=\infty}. Then

    \begin{align*} \left|\Phi\left(f\right)\right| & =\left|\int_{E}fgdm\right|\\  & \le\int_{E}\left|fg\right|dm \\ &  \le\left\Vert f\right\Vert _{1}\left\Vert g\right\Vert _{\infty}.\\ \end{align*}

So {\left\Vert \Phi\right\Vert \le\left\Vert g\right\Vert _{\infty}}.

Now we will show that for any {\varepsilon>0}, {\left\Vert \Phi\right\Vert \ge\left\Vert g\right\Vert _{\infty}-\varepsilon}. Let {A=\left\{ x\in E:\left|g\left(x\right)\right|>\left\Vert g\right\Vert _{\infty}-\varepsilon\right\} }. Then {m\left(A\right)>0}. We choose any subset {B} of {A} so that {0<m\left(B\right)<\infty}. Then put {f=\chi_{A}\mathrm{sgn}\left(g\right)}. Then {\left\Vert f\right\Vert _{1}=m\left(B\right)<\infty} so that {f\in L^{1}\left(E\right)}. Also,

\displaystyle \Phi\left(f\right)=\int_{B}\left|g\right|dm\ge\left(\left\Vert g\right\Vert _{\infty}-\varepsilon\right)m\left(B\right)=\left(\left\Vert g\right\Vert _{\infty}-\varepsilon\right)\left\Vert f\right\Vert _{1}.

Thus, {\left\Vert \Phi\right\Vert \ge\left\Vert g\right\Vert _{\infty}-\varepsilon}. \Box

Theorem 4 (Riesz Representation Theorem) Let {1\le p<\infty}. If {\Phi} is a continuous linear funcdtional on {L^{p}\left(E\right)}, then there is {g\in L^{q}\left(E\right)} such that {\Phi\left(f\right)=\int_{E}fgdm} and {\left\Vert \Phi\right\Vert =\left\Vert g\right\Vert _{q}}. Hence, {\left(L^{p}\left(E\right)\right)^{*}=L^{q}\left(E\right)} for {1\le p<\infty}. Then this fact holds for any measure for {1<p<\infty} and true for {1\le p<\infty} if the measure is {\sigma}-finite.

Thus, any {f\in L^{p}\left(E\right)} {1<p\le\infty} can be considered as a member of {\left(L^{q}\right)^{*}}. Hence, we can use Arzela-Ascoli theorem to get a new-type of convergence, weak{*}-convergence.

Abel’s limit theorem and Taubelian theorem

7월부터 시작한 조화해석학 세미나가 이제 정점을 향해 달려가고 있다. 이번 파트를 준비하는데 부주의하게 넘어간 부분들이 종종 있어서 채우다보니까 1학년, 2학년 때 증명 한번만 해보고 까먹었거나 그 때 당시 증명을 실패했던 것들이었다. 컨디션의 난조라 그런지 오늘도 증명을 하지 못해서 풀이나 참고문헌을 참조해서 풀이를 완성했다. 참으로 부끄럽다. 그러나 더 재밌는 건 이 결과를 쓸 필요가 없었다는 것이었다.

우선 오늘 글은 큰 줄기가 있는 글들이라 나중에 한번 보강할 기회가 있을 것이라 기대한다.

어떤 수열의 합을 구하는 것(표현이 엄밀치는 못하지만 지금은 그건 중요하지 않다.)은 수학에서는 여러가지 관점을 취할 때가 있다. 때에 따라서는 a_{1}+\cdots+a_{n}+\cdots로는 의미있는 결론을 얻지 못할 수 있다. 우선 첫 번째는 다음과 같은 결과가 있다.

Theorem 1. 만약 s_{n}\rightarrow s이면

(1)   \begin{equation*} \sigma_{n}=\frac{s_{0}+\cdots+s_{n}}{n+1}\rightarrow s \end{equation*}

as n\rightarrow\infty이다.

Proof. \varepsilon>0이 주어졌다고 하자. 그러면 n>N_{1} implies \left|s_{n}-s\right|<\frac{\varepsilon}{2}이 되게하는 N_{1}이 존재한다. 이를 바탕으로 잠시 관찰을 하면 n>N_{1}에 대하여

    \begin{align*} & \left|\sigma_{n}-s\right|\\ & =\left|\frac{s_{0}+\cdots+s_{n}}{n+1}-s\right|\\ & =\left|\frac{\left(s_{0}-s\right)+\cdots+\left(s_{n}-s\right)}{n+1}\right|\\ & \le\left|\frac{\left(s_{0}-s\right)+\cdots+\left(s_{N_{1}}-s\right)}{n+1}\right|+\left|\frac{\left(s_{N_{1}+1}-s\right)+\cdots+\left(s_{n}-s\right)}{n+1}\right| \end{align*}

를 얻는다. Archimedian property에 의하여 \frac{N_{1}\left(\left|M\right|+s\right)}{N_{2}+1}<\frac{\varepsilon}{2}이 되게하는 N_{2}\in\mathbb{N}가 존재한다. 이제 N=\max\left\{ N_{1},N_{2}\right\}라 하면 n>N에 대하여

    \begin{align*} \left|\sigma_{n}-s\right| & \le\left|\frac{\left(s_{0}-s\right)+\cdots+\left(s_{N_{1}}-s\right)}{n+1}\right|+\left|\frac{\left(s_{N_{1}+1}-s\right)+\cdots+\left(s_{n}-s\right)}{n+1}\right|\\ & \le\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\left(n-N_{1}\right)}{n+1}\frac{\varepsilon}{2}\le\varepsilon \end{align*}

를 얻는다.


여기서 s_{n}=\sum_{k=0}^{n}a_{k}라면 \sigma_{N}\left\{ a_{n}\right\}N번째 Cesàro mean이라 부른다.

또 다음과 같은 결과가 있다.

Theorem 2. \sum a_{n}이 수렴한다고 하자. -1<x<1에 대하여

    \[ f\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n} \]

이라 할 때,

(2)   \begin{equation*} \lim_{x\rightarrow1^{-}}f\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n} \end{equation*}

이다.

Proof. s_{n}=\sum_{m=0}^{n}a_{m}, s_{-1}=0이라 하고 \lim_{n\rightarrow\infty}s_{n}=s이라 하자. -1<x<1인 실수에 대하여 \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x}이 성립함을 기억하자.

    \begin{align*} \sum_{n=0}^{m}a_{n}x^{n} & =\sum_{n=0}^{m}\left(s_{n}-s_{n-1}\right)x^{n}=\sum_{n=0}^{m}s_{n}x^{n}-\sum_{n=0}^{m}s_{n-1}x^{n}\\ & =\left(1-x\right)\sum_{n=0}^{m-1}s_{n}x^{n}+s_{m}x^{m} \end{align*}

이므로 m\rightarrow\infty로 취하면 \lim_{m\rightarrow\infty}s_{m}x^{m}=s\cdot0=0이므로

    \[ f\left(x\right)=\left(1-x\right)\sum_{n=0}^{\infty}s_{n}x^{n} \]

을 얻는다. \varepsilon>0이 주어졌다고 하자. 그러면 n>N \Rightarrow \left|s_{n}-s\right|<\frac{\varepsilon}{2}이 되게 하는 N이 존재한다. 그러면

    \begin{align*} & \left|f\left(x\right)-s\right|\\ & =\left|\left(1-x\right)\sum_{n=0}^{\infty}s_{n}x^{n}-\left(1-x\right)\sum_{n=0}^{\infty}sx^{n}\right|\\ & \le\left(1-x\right)\sum_{n=0}^{N}\left|s_{n}-s\right|x^{n}+\left(1-x\right)\sum_{n=N+1}^{\infty}\left|s_{n}-s\right|x^{n}\\ & <\left(1-x\right)\sum_{n=0}^{N}\left|s_{n}-s\right|x^{n}+\left(1-x\right)\frac{\varepsilon}{2}\sum_{n=N+1}^{\infty}x^{n}\\ & <\left(1-x\right)\sum_{n=0}^{N}\left|s_{n}-s\right|x^{n}+\frac{\varepsilon}{2} \end{align*}

이다. 이제 x\rightarrow1^{-}이라 하면 \lim_{x\rightarrow1^{-}}\left|f\left(x\right)-s\right|=0이므로 증명이 끝난다.


위 정리가 시사하는 바는 \left\{ a_{n}\right\}의 합의 수렴성을 다른 관점에서도 접근할 수 있다는 것을 시사한다. 다시 말해 \lim_{x\rightarrow1^{-}}\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n}가 존재하는 것도 어떤 의미에서 `수열의 합’으로 볼 수 있다는 것을 알려준다. 즉 위에서 언급한 두 사실은 어떤 수열의 합이 `존재한다’라는 기존의 개념을 확장한 것이라고 볼 수 있겠다.

우선 비교적 앞의 두 결과는 쉽게 유도가 된 편인데, 만약에 수열 \left\{ a_{n}\right\}의 Cesàro mean의 극한이 존재한다면 \left\{ a_{n}\right\}을 Cesàro summable이라 부르고 (2) 조건을 만족하면 \left\{ a_{n}\right\}을 Abel summable이라 부른다. 이 개념은 각각 푸리에 급수의 수렴성에 관하여 좋은 결과를 이끌어주기 때문에 상당히 중요한 개념이다. 이 글은 그것에 대해서 설명하려는 것은 아니다.

그럼 이제 질문이 생기는게 Abel summable이 더 일반적일지, Cesàro summable이 더 일반적일지 궁금한데, Cesàro summable이면 Abel summable하다는 것을 Frobenius가 증명을 했다.

Theorem 3. 만약 \sigma_{n}\rightarrow\sigma이면 f\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}\left|x\right|<1에서 수렴하고 f\left(x\right)\rightarrow\sigma as x\rightarrow1^{-}이다.

Proof. 0<x<1에 대하여 다음과 같은 사실이 성립한다:

    \begin{align*} & \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}\\ & =a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n}\\ & =a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(s_{n}-s_{n-1}\right)x^{n}\\ & =s_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}s_{n}x^{n}-\sum_{n=1}^{\infty}s_{n-1}x^{n}\\ & =\sum_{n=0}^{\infty}s_{n}x^{n}-x\sum_{n=0}^{\infty}s_{n}x^{n}\\ & =\left(1-x\right)\sum_{n=0}^{\infty}s_{n}x^{n} \end{align*}

가 성립하고 여기에 덧붙어셔

    \begin{align*} & \sum_{n=0}^{\infty}s_{n}x^{n}\\ & =s_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}s_{n}x^{n}\\ & =\sum_{n=0}^{\infty}\left(s_{0}+\cdots+s_{n}\right)x^{n}-\sum_{n=1}^{\infty}\left(s_{0}+\cdots+s_{n-1}\right)x^{n}\\ & =\sum_{n=0}^{\infty}\left(s_{0}+\cdots+s_{n}\right)x^{n}-\sum_{n=0}^{\infty}\left(s_{0}+\cdots+s_{n}\right)x^{n+1}\\ & =\left(1-x\right)\sum_{n=0}^{\infty}\left(s_{0}+\cdots+s_{n}\right)x^{n}\\ & =\left(1-x\right)\sum_{n=0}^{\infty}\left(n+1\right)\sigma_{n}x^{n} \end{align*}

를 얻어낸다. 즉

    \[ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=\left(1-x\right)^{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(n+1\right)\sigma_{n}x^{n} \]

을 얻는다. -1<x<1에 대하여

    \[ \sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}=\frac{1}{\left(1-x\right)^{2}} \]

를 얻는다. 이제 이를 바탕으로 증명을 시작하도록 하자. \varepsilon>0이 주어졌다고 하자. 그러면 n\ge N \Rightarrow\left|\sigma_{n}-\sigma\right|<\frac{\varepsilon}{2}
자연수 N이 존재한다. 그러므로

    \begin{align*} \left|\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}-\sigma\right| & =\left|\left(1-x\right)^{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(n+1\right)\sigma_{n}x^{n}-\sigma\right|\\ & =\left(1-x\right)^{2}\left|\sum_{n=0}^{\infty}\left(n+1\right)\sigma_{n}x^{n}-\sigma\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}\right|\\ & =\left(1-x\right)^{2}\left|\sum_{n=0}^{\infty}\left(n+1\right)\sigma_{n}x^{n}-\sigma\sum_{n=0}^{\infty}\left(n+1\right)x^{n}\right|\\ & =\left(1-x\right)^{2}\left|\sum_{n=0}^{\infty}\left(n+1\right)\left(\sigma_{n}-\sigma\right)x^{n}\right| \end{align*}

이다. 그러면 0<x<1라는 사실로부터

    \begin{align*} \left|\sum_{n=0}^{\infty}\left(n+1\right)\left(\sigma_{n}-\sigma\right)x^{n}\right| & \le\sum_{n=0}^{N}\left(n+1\right)\left|\sigma_{n}-\sigma\right|+\sum_{n=N+1}^{\infty}\left(n+1\right)\left|\sigma_{n}-\sigma\right|x^{n}\\ & <\sum_{n=0}^{N}\left(n+1\right)\left|\sigma_{n}-\sigma\right|+\frac{\varepsilon}{2}\sum_{n=N+1}^{\infty}\left(n+1\right)x^{n}\\ & <\sum_{n=0}^{N}\left(n+1\right)\left|\sigma_{n}-\sigma\right|+\frac{\varepsilon}{2}\frac{1}{\left(1-x\right)^{2}} \end{align*}

를 얻는다. 따라서 1-\delta<x<1에서 \left(1-x\right)^{2}\sum_{n=0}^{N}\left(n+1\right)\left|\sigma_{n}-\sigma\right|<\frac{\varepsilon}{2}이 되도록 \delta>0을 잡으면

    \[ \left|\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}-\sigma\right|\le\left(1-x\right)^{2}\sum_{n=0}^{N}\left(n+1\right)\left|\sigma_{n}-\sigma\right|+\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon \]

를 얻게 된다. 그러므로 \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=\sigma
얻는다.


이제 그럼 역방향에 대해서 궁금해진다.

이제 반대방향의 질문을 던지기 위해 다음과 같은 관찰을 해보도록 하자. 보통 수열이 음이 아닌 실수 값을 갖는 경우에는
극한과 관련되어서는 비교적 긍정적인 경우가 많았다. 예를 들어 a_{n,m}\ge0인 경우

    \[ \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}a_{n,m}=\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}a_{n,m} \]

과 같은 사실이 성립했다.

일반적으로 다음과 같은 사실이 성립한다.

Theorem 4. a_{n,m}\ge0 for all n,m이라 하자. b_{k}=\liminf_{m\rightarrow\infty}a_{k,m}이라 정의를 하면,

    \[ \sum_{k=1}^{\infty}b_{k}=\sum_{k=1}^{\infty}\liminf_{m\rightarrow\infty}a_{k,m}\le\liminf_{m\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{\infty}a_{k,m} \]

이 성립한다.

Proof. \mu\ge n이라 하자. 그러면 모든 k\in\mathbb{N}에 대하여

    \[ \inf_{\nu\ge n}a_{k,\nu}\le a_{k,\mu} \]

가 성립한다. 이제 모든 k,m\in\mathbb{N}, \mu\ge n에 대하여

    \[ \sum_{k=1}^{m}\inf_{\nu\ge n}a_{k,\nu}\le\sum_{k=1}^{m}a_{k,\mu}\le\sum_{k=1}^{\infty}a_{k,\mu} \]

를 갖는다. 그러므로

    \begin{align*} \sum_{k=1}^{m}b_{k} & =\sum_{k=1}^{m}\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{k,\nu}\\ & \le\sum_{k=1}^{m}\inf_{\nu\ge n}a_{k,\nu}\\ & \le\sum_{k=1}^{\infty}a_{k,\mu} \end{align*}

를 갖는다. 그러므로

    \[ \sum_{k=1}^{\infty}b_{k}\le\sum_{k=1}^{\infty}a_{k,\mu} \]

를 갖는다. 위의 부등식은 모든 \mu\ge n에 대하여 성립하므로

    \[ \sum_{k=1}^{\infty}b_{k}=\sum_{k=1}^{m}\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{k,\nu}\le\liminf_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{\infty}a_{k,n} \]

를 얻는다.


이로부터 다음과 같은 사실을 쉽게 증명할 수 있다.

Theorem 5. a_{n,m}\ge0 for all n,m이라 하자. 고정된 m\in\mathbb{N}에 대하여 \left\{ a_{n,m}\right\} _{n=1}^{\infty}이 증가수열이라 가정하자. 그러면

    \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{m=1}^{\infty}a_{n,m}=\sum_{m=1}^{\infty}\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n,m} \]

이다.

Proof. 고정된 m에 대하여 a_{n,m}\le\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n,m}이 성립한다. 그러므로 \sum_{m=1}^{\infty}a_{n,m}\le\sum_{m=1}^{\infty}\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n,m}이다. 그러므로 \left\{ \sum_{m=1}^{\infty}a_{n,m}\right\} _{n=1}^{\infty}이 증가수열이므로

    \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{m=1}^{\infty}a_{n,m}\le\sum_{m=1}^{\infty}\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n,m} \]

이 성립한다.

반대는 Fatou’s type theorem에 의하여

    \[ \sum_{m=1}^{\infty}\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n,m}\le\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{m=1}^{\infty}a_{n,m} \]

을 얻는다. 그러므로

    \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{m=1}^{\infty}a_{n,m}=\sum_{m=1}^{\infty}\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n,m} \]

를 얻는다.


이제 위 사실을 바탕으로 1로 수렴하는 nonnegative increasing sequence \left\{ r_{k}\right\}이라면, a_{n}\ge0이라 하자. b_{n,k}=a_{n}r_{k}^{n}라 정의하면 고정된 n에 대하여 \left\{ b_{n,k}\right\}k에 따라 증가한다. 그러므로 위의 정리에 의하여

    \[ \lim_{k\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}r_{k}^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\lim_{k\rightarrow\infty}r_{k}^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} \]

을 얻는다.

그런데 위 결과는 a_{n}\ge0일 때만 성립하는 결과다.

nonnegative 조건을 없앨 경우 어떤 결과를 이끌 수 있을까? 이에 대한 답은 Tauber가 1897년에 제시했다.

Theorem 6. a_{n}=o\left(\frac{1}{n}\right)이라 하고

    \[ f\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n} \]

\left(-1,1\right)에서 수렴한다고 가정하자. 만약 f\left(x\right)\rightarrow A as x\rightarrow1^{-}이면, \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}=A이다.

Proof. s_{n}=\sum_{k=0}^{n}a_{k}라 하자. 보이고자 하는 것은 \lim_{n\rightarrow\infty}s_{n}=A이다. \varepsilon>0이 주어졌다고 하자. 그러면 a_{n}=o\left(\frac{1}{n}\right)라는 조건으로부터 n>N \Rightarrow \left|na_{n}\right|<\varepsilonN\in\mathbb{N}이 존재한다. 그러면 0<x<1에 대하여

    \begin{align*} & \left|s_{n}-\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k}\right|\\ & \le\left|s_{n}-\sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\right|+\sum_{k=n+1}^{\infty}\left|a_{k}\right|x^{k} \end{align*}

가 성립한다. 여기서 n>N이므로

    \begin{align*} & \sum_{k=n+1}^{\infty}\left|a_{k}\right|x^{k}\\ & \le\varepsilon\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{1}{k}x^{k}\\ & \le\frac{\varepsilon}{n}\frac{1}{1-x} \end{align*}

를 얻는다.

    \begin{align*} & \left|s_{n}-\sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\right|\\ & =\left|\sum_{k=0}^{n}a_{k}\left(1-x^{k}\right)\right|\\ & =\left|\sum_{k=0}^{n}a_{k}\left(1-x\right)\left(1+\cdots+x^{k-1}\right)\right|\\ & \le\left(1-x\right)\sum_{k=0}^{n}k\left|a_{k}\right| \end{align*}

를 얻는다. 이제 x_{n}=1-\frac{1}{n}이라 정의를 하자. 그러면

    \[ \left|s_{n}-f\left(x_{n}\right)\right|\le\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n}k\left|a_{k}\right|+\varepsilon \]

를 얻는다. 여기서 ka_{k}\rightarrow0이므로 \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}k\left|a_{k}\right|\rightarrow0이다. 따라서 s=A이다.


마찬가지로 Cesàro의 경우에도 위와 관련된 정리가 있다.

Theorem 7. a_{n}=o\left(\frac{1}{n}\right)이라 가정하자. \left\{ a_{n}\right\}이 Cesàro summable하면 \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}이 존재한다.

Proof. 모든 n에 대하여

    \[ s_{n}-\sigma_{n}=\frac{1}{n+1}\sum_{m=0}^{n}ma_{m} \]

이 성립한다. 이는 induction으로 쉽게 증명이 된다. \sigma_{n}\rightarrow\sigma이고 na_{n}\rightarrow0이라면 \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n+1}\sum_{m=0}^{n}ma_{m}=0을 얻으므로 \lim_{n\rightarrow\infty}s_{n}=\sigma를 얻는다.


Translation and L^p norm

Problem. Let 1\leq p<\infty. If f\in L^p (\mathbb{R}^d), then

    \[ \Vert \tau^h f + f_{L^p}\rightarrow 2^{\frac{1}{p}} \Vert f_{L^p}\quad\text{as } |h|\rightarrow \infty. \]

Proof. First, we consider the case f\in \mathcal{C}^{\infty}_0. Let \mathrm{supp} (f) =K. Then \mathrm{supp}{\tau^h {f}} =K-h. This leads

    \[ \int_{\mathbb{R}^d} |f(x)|^p dx = \int_{K} |f(x)|^p dx \]

and

    \[ \int_{\mathbb{R}^d} |\tau^h f(x)|^p dx =\int_{K-h} |\tau^h |f(x)|^p dx= \int_{K} |f(x)|^p dx.\]

If we choose h\in \mathbb{R}^d large (in a sense |h| is so large)  so that K\cap (K-h)=\varnothing, then we get

    \[ \int_{\mathbb{R}^d} |\tau^h f(x)+ f(x)|^p dx=\int_{K-h} |\tau^h |f(x)|^p dx + \int_{K} |f(x)|^p dx= 2\int_{\mathbb{R}^d} |f(x)|^p dx.\]

So

    \[ \Vert \tau^h f + f\Vert_{L^p} \rightarrow 2^{\frac{1}{p}} \Vert f\Vert_{L^p} \quad\text{as } |h|\rightarrow \infty\]

is true when f\in \mathcal{C}^{\infty}_0.

For general f\in L^p, let \varepsilon>0 be given. Then there is g\in \mathcal{C}^{\infty}_0 such that \Vert f-g \Vert<\varepsilon. Then we know that |\Vert f \Vert_{L^p}  - \Vert g \Vert_{L^p} |<\varepsilon. So this leads to \left|\Vert \tau^{h}f+f} \Vert_{L^p} -\Vert \tau^{h}g+g \Vert_{L^p}\right|<2\varepsilon