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특이적분연산자와 그 응용 (Singular integral operator and its applications)

1. 서론

\mathbb{R}^{3}상의 벡터 \mathbf{v}는 표준기저에 의하여 \mathbf{v}=v_{1}\mathbf{e}_{1}+v_{2}\mathbf{e}_{2}+v_{3}\mathbf{e}_{3}로 바라볼 수 있으며, \mathbf{v}라는 점은 v_{1},v_{2},v_{3}라는 정보를 통해 알아낼 수 있다. 앞서 관찰한 것을 내적의 언어로 해석을 하면

    \[ \mathbf{v}=\left\langle \mathbf{v},\mathbf{e}_{1}\right\rangle \mathbf{e}_{1}+\left\langle \mathbf{v},\mathbf{e}_{2}\right\rangle \mathbf{e}_{2}+\left\langle \mathbf{v},\mathbf{e}_{3}\right\rangle \mathbf{e}_{3} \]

와 같이 표현을 할 수 있다. 이와 같은 아이디어를 이용해서 푸리에는 “임의의 주기함수는 \sin\cos의 선형결합으로 표현할 수 있다.”라고 주장을 했다. 이 주장이 조금 신빙성을 가지려면 함수공간에 내적구조를 주고, 직교기저로 쓸만한 것을 찾아야 한다.

    \[ L_{p}^{2}\left(\left[-\pi,\pi\right]\right)=\left\{ f:\left[-\pi,\pi\right]\rightarrow\mathbb{C}:\int_{-\pi}^{\pi}\left|f\left(x\right)\right|^{2}dx<\infty,f\left(-\pi\right)=f\left(\pi\right)\right\}  \]

라 정의하고 이 집합에 표준적인 덧셈과 스칼라곱을 정의한다면 이는 \mathbb{C}위에서의 벡터공간임을 알 수 있다. 그리고 \left\langle f,g\right\rangle =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)\overline{g\left(x\right)}dx라 정의하면 이는 L_{p}^{2}\left(\left[-\pi,\pi\right]\right)의 내적이 된다. 그리고 e_{k}\left(x\right)=e^{ikx}라 정의를 하면

    \[ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{imx}e^{-inx}dx=\begin{cases} 0 & \text{if }n\neq m,\\ 1 & \text{if }n=m \end{cases} \]

또한 알 수 있다. 즉 직교정규기저(orthonormal basis) 비슷한 걸 갖는다. 이제 이를 바탕으로 앞에서 했던 것처럼 f\in L_{p}^{2}\left(\left[-\pi,\pi\right]\right)를 하나 잡고

    \[ \hat{f}\left(n\right)=\frac{1}{2\pi}\left\langle f,e_{n}\right\rangle =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)e^{-inx}dx \]

라 하자. 여기서 \hat{f}\left(n\right)fn번째 푸리에 계수(Fourier coefficient)라 한다. 위의 관찰을 바탕으로 푸리에가 주장하고자 했던 바를 쓰면 다음과 같다

Question. 적당한 조건을 가진 2\pi-주기함수 F에 대하여

    \[ F\left(x\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}a_{m}e^{imx} \]

가 성립하는가?

위 식의 우변에 정의된 식을 F의 푸리에 급수(Fourier series)라 부른다. 푸리에는 이 개념을 바탕으로 열방정식의 해를 구하는 방법을 제시했다. 위 등식이 성립하는 문제에 대해서는 수학적으로도 많은 관심을 가지고 있던 문제였기 때문에 수학 그 자체로도 꽤나 흥미로운 문제다.

지금까지 이야기 했던 함수는 주기함수에 한정해서 다뤘는데, 위 개념을 일반적인 함수에 대해서 확장한 개념이 바로 푸리에 변환(Fourier transform)이다. x\in\mathbb{R}에서 \mathbb{R}에서 정의된 함수
f의 푸리에 변환은 다음과 같이 정의하는 것이 합리적이다:

    \[ \hat{f}\left(\xi\right)=\int_{\mathbb{R}}f\left(x\right)e^{-2\pi ix\cdot\xi}dx. \]

여기서 x\xi사이에 있는 \cdot\mathbb{R}에서의 내적을 말하며, 당연하게도 이를 \mathbb{R}^{d}에서 정의된 함수에 대해서도 정의를 할 수 있다:

    \[ \hat{f}\left(\xi\right)=\int_{\mathbb{R}^{d}}f\left(x\right)e^{-2\pi ix\cdot\xi}dx. \]

앞서 던전 질문과 비슷한 것으로 \hat{f}\left(\xi\right)들로 원래 함수를 표현할 수 있는가? 라는 질문 또한 여기서도 자연스럽게 나온다. 즉 어떤 조건에서

(1)   \begin{equation*} f\left(x\right)=\int_{\mathbb{R}^{d}}\hat{f}\left(\xi\right)e^{2\pi ix\cdot\xi}d\xi \end{equation*}

가 성립하는지에 대해서 관심을 갖게 된다. 위 질문들은 적당히 좋은 함수 클래스에서나 성립하는 경우가 대다수이고, 상당히 어려운 문제들이다. 첫 번째 문제같은 경우는 연속함수라 할 지라도 성립하지 않는 경우가 있다는 것을 콜모고로프가 보였다. 후에 만약 원함수가 르벡 적분가능하다면 등식이 almost everywhere 센스로 성립한다는 것을 칼레슨이 1950년에 와서야 증명했다.

푸리에 변환은 편미분방정식의 해를 얻는데 큰 도움을 준다. 예를 들어 다음과 같은 경계치 문제를 생각해보도록 하자:

    \begin{align*} \triangle u & =0\quad\text{in }\mathbb{R}_{+}^{d+1}\\ u\left(x,0\right) & =f\left(x\right) \end{align*}

여기서 \mathbb{R}_{+}^{d+1}=\left\{ \left(x,y\right):x\in\mathbb{R}^{d},y>0\right\}를 말하고

    \[ \triangle u=\frac{\partial^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}+\cdots+\frac{\partial^{2}u}{\partial x_{d}^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} \]

를 말한다. f는 이 문제를 푸는데 정의되는 적당한 함수라 하고 \lim_{y\rightarrow\infty}u\left(x,y\right)=0라v가정하자.

푸리에 변환은 미분과 관련되서 좋은 성질을 가지고 있다. 예를 들어, 적당히 좋은 함수 f,g에 대하여 \left(\frac{\partial f}{\partial x_{j}}\right)^{\wedge}\left(\xi\right)=\left(2\pi i\xi_{j}\right)\hat{f}\left(\xi\right)를 만족하고,

    \[ \left(f*g\right)\left(x\right)=\int_{\mathbb{R}^{d}}f\left(x-y\right)g\left(y\right)dy \]

라 하면

    \[ \widehat{\left(f*g\right)}\left(\xi\right)=\hat{f}\left(\xi\right)\hat{g}\left(\xi\right) \]

를 만족한다. 이 성질을 바탕으로 위의 편미분방정식을 만족하는 해의 푸리에 변환값을 다음과 같이 구할 수 있다. y를 고정하고 \triangle u=0에 푸리에변환을 적용하면 \hat{u}\left(\xi,0\right)=\hat{f}\left(\xi\right)이고

    \[ -4\pi^{2}\left|\xi\right|^{2}\hat{u}\left(\xi,y\right)+\frac{\partial^{2}\hat{u}}{\partial y^{2}}\left(\xi,y\right)=0 \]

를 만족하는 \xi에 대한 상미분방정식이 된다. 그러므로

    \[ \hat{u}\left(\xi,y\right)=\hat{f}\left(\xi\right)e^{-2\pi\left|\xi\right|y} \]

를 얻는다. (1)에 의하여

    \begin{align*} u\left(x,y\right) & =\int_{\mathbb{R}^{d}}\hat{f}\left(\xi\right)e^{-2\pi\left|\xi\right|y}e^{2\pi ix\cdot\xi}d\xi\\  & =\left(f*\mathcal{P}_{y}\right)\left(x\right) \end{align*}

와 같이 표현할 수 있다. 여기서 \hat{\mathcal{P}_{y}}\left(\xi\right)=e^{-2\pi\left|\xi\right|y}다. 이 예를 통해 푸리에 해석이론은 편미분방정식의 해를 구하거나 특성을 구하고자 할 때 꽤나 큰 도움을 준다는 것을 예상할 수 있다. 위와 같은 문제는 해를 표현하는 데 함수 f\hat{f}에 적분가능성만 잘 설정한다면 큰 문제가 없이 설명할 수 있다. 여기에서 주목할 것은 이 편미분방정식의 해는 경계치 조건에서 주어진 함수 f\mathcal{P}_{y}와 컨볼루션으로 표현이 된다는 점이다. \mathcal{P}_{y}와 같은 경우는 적분쪽에 관련되서 문제가 발생하지 않는 좋은 함수다. 그러나 대부분의 편미분방정식의 해는 몇몇 점에서 적분이 잘 정의되지 않는 것으로 표현이 될 때가 많다.

대표적인 예로 적당한 함수 f에 대하여 다음과 같은 편미분방정식

    \[ \triangle u=f \]

의 해(fundamental solution)는(여기서 \triangle u=\sum_{j=1}^{d}\frac{\partial^{2}u}{\partial x_{j}^{2}})

(2)   \begin{equation*} u\left(x\right)=\Gamma*f\left(x\right)=\int_{\mathbb{R}^{d}}\Gamma\left(x-y\right)f\left(y\right)dy \end{equation*}

와 같이 표현되며 여기서 \Gamma

    \[ \Gamma\left(x\right)=\begin{cases} \frac{1}{2\pi}\log\left|x\right| & \text{if }d=2\\ \frac{1}{d\left(d-2\right)\omega_{d}}\left|x\right|^{2-d} & \text{if }d\ge3 \end{cases} \]

이다. 즉 이 함수는 x=0에서 정의가 되지 않는 함수다. 그렇기 때문에 u라는 표현이 잘 정의된 식인지에 대한 의문이 생기게 된다. 그렇기 때문에 (2)와 같이 한 점이나 유한개의
점에서 문제가 발생하는 적분에 대한 연구가 반드시 필요하다. 이런 형태의 적분을 특이적분(singular integral)이라 한다.

특이적분은 편미분방정식이론과 작용소이론, 다변수복소함수론에도 강력한 응용성을 가지고 있다. 이 글에서는 실변수방법론을 이용하여 특이적분을 다루는 방법에 대해서 언급하고, 특이적분이론을 이용하여 편미분방정식 이론의 간단한 응용을 다루고자 한다.

Preliminary and Background

용어의 문제를 해결하기 위하여 잠시 용어를 정의하고자 한다. 이 글에서는 르베그 적분가능한 함수들에 대해서 다룬다. 그렇지만 이 글에서는 르베그 측도나 적분을 모를 경우, `집합의 크기를 잰다’, `리만적분’이라고 생각해도 철학적으로 큰 문제는 없다.

Definition. 양의 실수 p에 대하여 함수 f:\mathbb{R}^{d}\rightarrow\mathbb{C}에 대하여 \int_{\mathbb{R}^{d}}\left|f\left(x\right)\right|^{p}dx<\infty이면
f\in L^{p}\left(\mathbb{R}^{d}\right)라 한다.

    \[ \norm fp=\left(\int_{\mathbb{R}^{d}}\left|f\left(x\right)\right|^{p}dx\right)^{\frac{1}{p}} \]

라 정의한다. 만약 \left|f\left(x\right)\right|\le B a.e. on \mathbb{R}^{d}B가 존재한다면, f\in L^{\infty}\left(\mathbb{R}^{d}\right)라 하며

    \[ \norm f{\infty}=\inf\left\{ B:\left|f\left(x\right)\right|\le B\text{ a.e on }\mathbb{R}^{d}\right\}  \]

라 정의하자.

여기서 L^{p}\left(\mathbb{R}^{d}\right)는 일반적인 함수의 덧셈과 상수배를 생각하면 벡터공간이 된다.

이 글에서는 p\ge1이라 가정하도록 하자. 그러면 \norm{\cdot}p\norm{\cdot}{\infty}는 각각 L^{p}\left(\mathbb{R}^{d}\right), L^{\infty}\left(\mathbb{R}^{d}\right)에서의
노름(norm)이 된다.

T:L^{p}\left(\mathbb{R}^{d}\right)\rightarrow L^{p}\left(\mathbb{R}^{d}\right)가 유계선형연산자(bounded linear operator)라는 것은 TL^{p}\left(\mathbb{R}^{d}\right)에서 선형변환이고 임의의 f\in L^{p}\left(\mathbb{R}^{d}\right)에 대하여 \norm{Tf}_p\le A\norm{f}_p인 상수 A>0가 존재할 때를 말한다. 여기서 Af에 의존하지 않는다.

다음과 같은 사실은 실해석학의 기본적인 명제다.

Proposition. TL^{p}\left(\mathbb{R}^{d}\right)에서 유계선형연산자라는 것과 T0에서 연속인 것과 동치다.

이제 이 글의 주 관심사인 특이적분연산자를 정의한다.

Definition. K:\mathbb{R}^{d}\setminus\left\{ 0\right\} \rightarrow\mathbb{R}에 대하여 \left|K\left(x\right)\right|\le\frac{B}{\left|x\right|^{d}} 를 만족하는 상수 B가 존재한다고 가정하자. T:L^{p}\left(\mathbb{R}^{d}\right)\rightarrow L^{p}\left(\mathbb{R}^{d}\right)에 대하여

    \[ T\left(f\right)\left(x\right)=\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_{\left|y\right|\ge\varepsilon}K\left(y\right)f\left(x-y\right)dy \]

라 정의하자. 이런 형태의 연산자 T특이적분연산자(Singular integral operator)라 한다.

Example. K\left(x\right)=\frac{1}{\pi x}라 하고 T\left(f\right)=\left(K*f\right)라 하면 T는 특이적분연산자다. 여기서 원점밖에서 \left|K\left(x\right)\right|=\frac{1}{\pi\left|x\right|}
만족하며 \int_{\left|x\right|\ge2\left|y\right|}\left|K\left(x-y\right)-K\left(x\right)\right|dx\le B, \left|y\right|>0를 만족하며 임의의 0<R_{1}<R_{2}<\infty에 대하여 \int_{R_{1}<\left|x\right|<R_{2}}K\left(x\right)dx=0를 만족한다.

이제 다음과 같은 질문을 던지게 된다.

Question. 특이적분연산자 TL^{p}\left(\mathbb{R}^{d}\right)에서 유계연산자이기 위한 조건은 무엇인가? 즉, K가 어떤 조건을 만족하면 유계가 되는가?

Smoothness criterion on function: $L^2$-Bernstein inequality

Lemma. Suppose that \mu\in M\left(\mathbb{R}^{d}\right) and \mathrm{\mathrm{supp\,}\mu} is compact. Then \hat{\mu} is in C^{\infty} and

    \[ D^{\alpha}\hat{\mu}=\left(\left(-2\pi ix\right)^{\alpha}\mu\right)^{\wedge}. \]

Furthermore, if \mathrm{supp}\mu\subset D\left(0,R\right), then

    \[ \norm{D^{\alpha}\hat{\mu}}{\infty}\le\left(2\pi R\right)^{\left|\alpha\right|}\norm{\mu}{}. \]

Theorem. Assume f\in L^{2} and \hat{f} is supported on D\left(0,R\right). Then f is indefinitely differentiable and \left\Vert D^{\alpha}f\right\Vert _{2}\le\left(2\pi R\right)^{\left|\alpha\right|}\left\Vert f\right\Vert _{2}.

Proof. 우선 Hausdorff-Young의 부등식에 의하여

    \[ \norm{\hat{f}}2\le\norm f2 \]

가 성립한다. 그러므로 \hat{f}\in L^{2}이고 D\left(0,R\right)가 finite measure를 가지므로 \hat{f}\in L^{1}\cap L^{2}다. 그러므로 Fourier inversion formula에 의하여

    \[ f\left(x\right)=\int_{\mathbb{R}^{d}}\hat{f}\left(\xi\right)e^{2\pi ix\cdot\xi}dx \]

가 성립한다.

L^{1}\left(\mathbb{R}^{d}\right)\hookrightarrow M\left(\mathbb{R}^{d}\right)이므로 \hat{f}\left(x\right)dx는 finite Borel measure on \mathbb{R}^{d}이고
이는 supported on D\left(0,R\right)이므로 Lemma에 의하여 fC^{\infty}이다. 그리고

    \[ \norm{D^{\alpha}f}2=\norm{\widehat{D^{\alpha}f}}2=\norm{\left(2\pi i\xi\right)^{\alpha}\hat{f}}2\le\left(2\pi R\right)^{\left|\alpha\right|}\norm{\hat{f}}2=\left(2\pi R\right)^{\left|\alpha\right|}\norm f2 \]

를 얻는다.