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Some evaluation using Gamma Functions

이 글은 Stackexchange에서 본 것을 가져왔다. 이 글에서 계산하고자 하는 적분은 다음과 같다.

Problem. Evaluate

    \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log(\sin x) dx\]

사실 위 적분은 코시정리로도 증명할 수 있지만, 증명을 할 때 나타나는 기술적인 문제들이 좀 많다. 코시정리를 쓰는 것보다 특수함수를 이용해서 적분을 계산하는 것이 보다 쉽다. 위 링크에서 참고해볼만한 증명방법은 크게 두 가지다. 본질적으로 감마함수를 쓰기에 다를 것은 없지만, 해석확장을 쓰는 증명과 또 다른 특수함수를 도입해서 계산을 하는 증명이라 조금 차이가 있다. 첫 번째로 감마함수만 쓰는 증명을 보도록 하자.

Proof. 베타함수의 또 다른 정의를 떠올리면

    \begin{align*} B\left(x,y\right) & =2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin\theta\right)^{2x-1}\left(\cos\theta\right)^{2y-1}d\theta\\ & =\frac{\Gamma\left(x\right)\Gamma\left(y\right)}{\Gamma\left(x+y\right)}. \end{align*}

이다.

그러므로 정의에 의하여 자연수 n에 대하여

    \begin{align*} B\left(n+\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) & =2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}\theta d\theta=\frac{\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(n+1\right)}\\ & =\frac{\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)\sqrt{\pi}}{n!}\\ B\left(n+1,\frac{1}{2}\right) & =2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n+1}\theta d\theta=\frac{\Gamma\left(n+1\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(n+\frac{3}{2}\right)}\\ & =\frac{\sqrt{\pi}n!}{\Gamma\left(n+\frac{3}{2}\right)}. \end{align*}

를 얻는다.
I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta와 같이 정의하면,

    \begin{align*} \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} & =\frac{\left(2n\right)!}{4^{n}\left(n!\right)^{2}}\frac{\pi}{2} \end{align*}

이 모든 자연수 n에 대하여 성립함을 알 수 있다. 그러므로 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}\left(x\right)dx를 해석확장시키면,

    \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2z}\left(x\right)dx=\frac{\pi}{2}\frac{\Gamma\left(2z+1\right)}{4^{z}\Gamma\left(z+1\right)^{2}}. \]

임을 확인할 수 있다. 여기서 pole은 \Gamma(z+1)의 zero들이다. 이 것들은 우리 증명에 전혀 영향을 미치지 않는다.

이제 z에 대하여 양변을 미분하면

    \begin{align*} & 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2z}\left(x\right)\log\left(\sin\left(x\right)\right)dx\\ & =\frac{\pi}{2}\left\{ 2\Gamma^{\prime}\left(2z+1\right)4^{-z}\Gamma^{-2}\left(z+1\right)\right.\\ & +2\Gamma\left(2z+1\right)4^{-z}\Gamma^{-3}\left(z+1\right)\Gamma^{\prime}\left(z+1\right)\\ & \left.-\log\left(4\right)\Gamma\left(2z+1\right)4^{-z}\Gamma^{-2}\left(z+1\right)\right\} . \end{align*}

를 얻는다. 이제 z=0을 대입한다. \Gamma^{\prime}\left(1\right)=-\gamma이므로,

    \begin{align*} 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log\left(\sin\left(x\right)\right)dx & =\frac{\pi}{2}\left(-2\gamma+2\gamma-\log4\right)\\ & =-\pi\log\left(2\right). \end{align*}

를 얻는다. 따라서

    \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log\left(\sin x\right)dx=-\frac{\pi}{2}\log\left(2\right). \]

이다.


Another Proof. 이번에는 새로운 특수함수를 도입한다. Digamma function \psi는 다음과 같이 정의된다.

    \[ \psi (z) = \frac{\Gamma^\prime (z)}{\Gamma (z)} \]

베타함수와 digamma function은 다음과 같은 relationship이 성립한다.

    \[ \frac{\partial}{\partial x} B(x,y) = B(x,y)\left(\psi (x) -\psi (x+y)\right)\]

이를 바탕으로 증명을 시작하자.

\sin x=t로 치환하면, 다음과 같은 결과를 얻는다.

    \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log\sin xdx=\int_{0}^{1}\frac{\log t}{\sqrt{1-t^{2}}}dt. \]

이제

    \[ I\left(a\right)=\int_{0}^{1}\frac{t^{a}}{\left(1-t^{2}\right)^{1/2}}dt=B\left(\frac{a+1}{2},\frac{1}{2}\right). \]

라 정의하자. 위 식을 a에 대하여 미분을 하면

    \[ \frac{\partial}{\partial a}I\left(a\right)=\frac{1}{4}\left(\psi\left(\frac{a+1}{2}\right)-\psi\left(\frac{a+2}{2}\right)\right)B\left(\frac{a+1}{2},\frac{1}{2}\right). \]

를 얻는다. I(0)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log\sin xdx임에 유의하자. a=0를 대입하면,

    \[ I^{\prime}\left(0\right)=\frac{1}{4}\left(\psi\left(\frac{1}{2}\right)-\psi\left(1\right)\right)B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right). \]

이며, digamma function과 베타함수의 값 \psi\left(\frac{1}{2}\right)=-2\log2-\gamma, \psi\left(1\right)=-\gamma, B\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=\pi를 대입해서 계산하면 원하는 바를 얻는다.

    \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log\left(\sin x\right)dx=-\frac{\pi}{2}\log\left(2\right). \]

Generalization of Integral of Marcinkiewicz

어제 세미나에서 Integral of Marcinkiewicz를 다뤘다. 이 것의 일반화에 대해서 언급하고, 증명도 하고 싶었지만, 시간적인 문제 때문에 언급도 못했다. 실해석학에서 다룰법한 내용인데 Wheeden\&Zygmund책을 제외하고는 언급한 책이 없다. 세미나와는 조금 포커스가 다르기 때문에 앞으로도 그 세미나에서 언급될 일은 없을 것 같다. 그렇지만 블로그에 관련된 내용을 적고자 한다.

우선 Integral of Marcinkiewicz를 모르는 독자를 위해서 이에 대한 설명을 한다.

F\mathbb{R}^{d}의 닫힌 집합이라 하고, \delta\left(x\right)=\inf_{y\in F}\left|x-y\right|라 하자. 즉, x와 집합 F사이의 거리를 말한다. 그러면 쉽게 \delta\left(x\right)=0 if and only if x\in F이고 모든 x,y에 대해서 \left|\delta\left(x\right)-\delta\left(y\right)\right|\le\left|x-y\right|임을 쉽게 확인할 수 있다.

그러면 이제 다음과 같은 적분으로 정의된 형식적인 함수를 생각해보도록 하자.

    \[ I\left(x\right)=\int_{\left|y\right|\le1}\frac{\delta\left(x+y\right)}{\left|y\right|^{d+1}}dy=\int_{\left|x-y\right|\le1}\frac{\delta\left(x\right)}{\left|x-y\right|^{d+1}}dy. \]

그러면 x에 따라 I\left(x\right)가 어떤 성질을 가지고 있는 지 관심을 갖게 되는데, 이에 대해서 정리하면 다음과 같다.

Theorem. I\left(x\right)=\infty if x\in F^{c}. I\left(x\right)<\infty a.e. on F.

첫 번째 파트는 uniformly continuous 성질을 쓰던 기하학적인 성질을 쓰던 쉽게 증명할 수 있다. 두 번째를 보이기 위해서는 다음과 같은 기술적인 Lemma가 필요하다.

Lemma. Let F be a closed set with m\left(F^{c}\right)<\infty. Define

    \[ I_{*}\left(x\right)=\int_{\mathbb{R}^{d}}\frac{\delta\left(x+y\right)}{\left|y\right|^{d+1}}dy. \]

Then I_{*}\left(x\right)<\infty a.e. on F. More precisely,

    \[ \int_{F}I_{*}\left(x\right)dx\le cm\left(F^{c}\right) \]

where c is a positive constant.

Proof. 푸비니 정리랑 극좌표치환법을 이용하고자 한다. 푸비니 정리가 사용되는 건 다음과 같은 과정을 통해 확인할 수 있다.

    \begin{align*} \int_{F}I_{*}\left(x\right)dx & =\int_{F}\int_{\mathbb{R}^{d}}\frac{\delta\left(x+y\right)}{\left|y\right|^{d+1}}dydx\\ & =\int_{F}\int_{F^{c}}\frac{\delta\left(y\right)}{\left|x-y\right|^{d+1}}dydx\\ & =\int_{F^{c}}\delta\left(y\right)\left(\int_{F}\frac{1}{\left|x-y\right|^{d+1}}dx\right)dy. \end{align*}

만약 x\in F라면 임의의 y\in F^{c}에 대하여, \delta\left(y\right)\le\left|x-y\right|가 성립한다. 그러므로

    \[ \int_{F}\frac{1}{\left|x-y\right|^{d+1}}dx\le\int_{\left|x-y\right|\ge\delta\left(y\right)}\frac{1}{\left|x-y\right|^{d+1}}dx \]

이므로 극좌표 치환법에 의하여

    \[ \int_{\left|z\right|\ge\delta\left(y\right)}\frac{1}{\left|z\right|^{d+1}}dz=c_{d}\int_{\delta\left(y\right)}^{\infty}\frac{1}{r^{d+1}}r^{d-1}dr=\frac{c_{d}}{\delta\left(y\right)} \]

이 성립하므로

    \[ \int_{F}I_{*}\left(x\right)dx\le\int_{F^{c}}\delta\left(y\right)\frac{c_{d}}{\delta\left(y\right)}dy=c_{d}m\left(F^{c}\right)<\infty \]

이다.


Proof of Theorem. 이제 정리를 증명하도록 하자. B_{m}을 원점을 중심으로 갖고 반지름이 m인 open ball이라 하자. 그리고 F_{m}=F\cup B_{m}^{c}이라 정의하면 F_{m}^{c}=F^{c}\cap B_{m}은 finite measure를 가지고 있고, F_{m}은 closed set이므로 lemma를 쓸만한 건덕지가 보인다.

\delta_{m}\left(x\right)=\inf_{y\in F_{m}}\left|x-y\right|이라 정의하고 \delta를 앞서 정의한 것과 같은 함수라고 하자. 그러면 x\in F\cap B_{m-2}, \left|y\right|\le1인 점에 대해서 \delta_{m}\left(x+y\right)=\delta\left(x+y\right)가 성립한다.

F\subset F_{m}이므로 \delta_{m}\left(x+y\right)\le\delta\left(x+y\right)이다. 반대를 보이고자 하는데, x\in F이므로

    \[ \delta\left(x+y\right)\le\left|x+y-x\right|=\left|y\right|\le1 \]

이고 \left|x+y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|\le m-2+1=m-1이므로 정의에 의하여 \delta_{m}\left(x+y\right)\ge1이다. 따라서 \delta\left(x+y\right)\le\delta_{m}\left(x+y\right)이다.

이제 Lemma에 의하여 I\left(x\right)<\infty a.e. x\in F\cap B_{m-2}임을 확인할 수 있다. m\rightarrow\infty을 취하면 I\left(x\right)<\infty a.e. on F임을 확인할 수 있다.


이제 위와 같은 형태의 integration을 operator의 관점까지 넣어서 일반화해보도록 하자. \delta,F를 앞서 정의한 것과 똑같은 것이라 하자. \lambda>0이라 하고 f가 measurable function on \mathbb{R}^{d}라 하자.

    \[ J_{\lambda}\left(f\right)\left(x\right)=\int_{\mathbb{R}^{d}}\frac{\delta^{\lambda}\left(y\right)f\left(y\right)}{\left|x-y\right|^{d+\lambda}}dy\quad\left(x\in\mathbb{R}^{d}\right) \]

이라 정의하고

    \[ H_{\lambda}\left(f\right)\left(x\right)=\int_{\mathbb{R}^{d}}\frac{\delta^{\lambda}\left(y\right)f\left(y\right)}{\left|x-y\right|^{d+\lambda}+\delta^{d+\lambda}\left(x\right)}dy \]

라 정의하자. 그러면 x\in F인 경우에 대해서는 H_{\lambda}\left(f\right)\left(x\right)=J_{\lambda}\left(f\right)\left(x\right)임을 확인할 수 있다.

재밌는 것은 이 operator는 L^{p}-boundedness를 가지고 있다.

Theorem. If f\in L^{p}\left(\mathbb{R}^{d}\right), 1\le p<\infty, and \lambda>0, then H_{\lambda}\left(F\right)\in L^{p}\left(\mathbb{R}^{d}\right)
and

    \[ \left\Vert H_{\lambda}\left(f\right)\right\Vert _{p}\le c\left\Vert f\right\Vert _{p}, \]

where c is independent of f. In particular, \left\Vert J_{\lambda}\left(f\right)\right\Vert _{p,F}\le c\left\Vert f\right\Vert _{p}.

Proof. 다음과 같은 변형된 operator를 정의하자.

    \[ H_{\lambda}^{\prime}\left(f\right)\left(x\right)=\int_{\mathbb{R}^{d}}\frac{\delta^{\lambda}\left(y\right)f\left(y\right)}{\left|x-y\right|^{d+\lambda}+\delta^{d+\lambda}\left(y\right)}dy. \]

\left|\delta\left(x\right)-\delta\left(y\right)\right|\le\left|x-y\right| for all x,y\in\mathbb{R}^{d}이므로 \delta\left(y\right)\le\left|x-y\right|+\delta\left(x\right)이 성립하기 때문에 convex inequality에 의해서

    \[ \delta^{d+\lambda}\left(y\right)\le\left[\left|x-y\right|+\delta\left(x\right)\right]^{d+\lambda}\le2^{d+\lambda}\left(\left|x-y\right|^{d+\lambda}+\delta\left(x\right)^{d+\lambda}\right) \]

이 성립한다. 따라서

    \[ 2^{-d-\lambda-1}H_{\lambda}^{\prime}\left(f\right)\left(x\right)\le H_{\lambda}\left(f\right)\left(x\right)\le2^{d+\lambda+1}H_{\lambda}^{\prime}\left(f\right)\left(x\right) \]

를 얻는다. 그렇기 때문에 H_{\lambda}^{\prime}L^{p} 유계성만 보이면 된다.

1\le p<\infty를 하나 고정하고 qp의 conjugate exponent라 하자. g를 nonnegative measurable function with \left\Vert g\right\Vert _{q}\le1이라 하자. 그러면

    \[ \left|\int_{\mathbb{R}^{d}}H_{\lambda}^{\prime}\left(f\right)\left(x\right)g\left(x\right)dx\right|\le\left|\int_{\mathbb{R}^{d}}f\left(y\right)\delta^{\lambda}\left(y\right)\left[\int_{\mathbb{R}^{d}}\frac{g\left(x\right)}{\left|x-y\right|^{d+\lambda}+\delta^{d+\lambda}\left(y\right)}dx\right]dy\right| \]

를 얻고, \delta\left(y\right)=0 if y\in F이므로 의미있는 적분값은 y\in F^{c}에서나타난다. 이제 estimate를 하기 위해서 다음과 같은 결과가 꽤 유용하다. 증명은 하지 않는다.

Lemma. Let K\left(x\right) be nonnegative and integrable on \mathbb{R}^{d}, and suppose that K\left(x\right) depends only on \left|x\right| and decreases as \left|x\right| increases [that is, K\left(x\right)=\phi\left(\left|x\right|\right), where \phi\left(t\right), t>0, is monotone decreasing]. Then

    \[ \sup_{\varepsilon>0}\left|\left(f*K_{\varepsilon}\right)\left(x\right)\right|\le cf^{*}\left(x\right) \]

where

    \[ f^{*}\left(x\right)=\sup\frac{1}{m\left(Q\right)}\int_{Q}\left|f\left(y\right)\right|dy, \]

where the supremum is taken over all cubes Q with center x and edges parallel to the coordinate axes.

위 식으로부터

    \[ \sup_{\varepsilon>0}\left|\int_{\mathbb{R}^{d}}f\left(x-y\right)\frac{\varepsilon^{\lambda}}{\varepsilon^{d+\lambda}+\left|y\right|^{d+\lambda}}dy\right|\le cf^{*}\left(x\right) \]

를 얻는다.

이제 이를 이용해서 증명을 시작해보면

    \[ \left|\int_{\mathbb{R}^{d}}\frac{g\left(x\right)}{\left|x-y\right|^{d+\lambda}+\delta^{d+\lambda}\left(y\right)}dx\right|\le c\delta^{-\lambda}\left(y\right)g^{*}\left(y\right) \]

를 얻고, 이제 Holder inequality와 weak-type inequality에 의하여

    \begin{align*} \int_{\mathbb{R}^{d}}H_{\lambda}^{\prime}\left(f\right)\left(x\right)g\left(x\right)dx & \le c\int_{\mathbb{\mathbb{R}}^{d}}\left|f\left(y\right)\right|g^{*}\left(y\right)dy\\ & \le c\left\Vert f\right\Vert _{p}\left\Vert g^{*}\right\Vert _{q}\\ & \le c_{1}\left\Vert f\right\Vert _{p}\left\Vert g\right\Vert _{q}\\ & \le c_{1}\left\Vert f\right\Vert _{p} \end{align*}

를 얻는다. 이제 duality of L^{p}에 의하여

    \[ \left\Vert H_{\lambda}^{\prime}\left(f\right)\right\Vert _{p}\le c_{1}\left\Vert f\right\Vert _{p} \]

를 얻으므로 증명이 끝난다.