# Monthly Archives: April 2015

## Hyperplane has Lebesgue measure zero

Theorem. Let be a hyperplane of . Then has Lebesgue measure zero.

Proof. To show it, we first show

has measure zero.

Let be given. Then set

By archimedian property, we get .
Note that

So

This implies .

So we prove the our theorem. Since is a hyperplane of , there is and such that

Define

Note that by translation invariant of Lebesgue measure, we have

Set and extend to the orthonormal basis for . From this, there is a orthogonal transform such that . So

## Mistakes on Exam: Countable compactness

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오늘 위상수학 시험에서 엄청난 실수를 저질렀다. 다음엔 이런 실수 범하지 않기를 바라는 차원에서 일종의 오답노트를 적어본다.

우선 정의다.

Definition 1. A topological space is countably compact if every countable open cover has a finite subcover.

Theorem 1. If is countably compact, then is compact.

Proof. 대우를 이용하자. convergent subsequence를 갖지 않는 수열 이 존재한다고 가정하자.

이라 하면, 는 closed set이다. 왜냐하면 이기 때문이다.
그러면 각 에 대하여

이 존재한다. 즉, 모든 에 대하여 이다.
이제

이다. 이는 countable subcover를 갖지만 finite subcover는 가질 수 없다. 그러므로 대우에 의하여 는 compact다.

따라오는 정리는 metric space에서 성립한 것에서 거리 개념을 없애버렸을 때 나타나는 상황이다. Extension에 전혀 무리가 없다.

Theorem 2. If is countably compact, then every sequence  has a limit point in .

Proof.  대우를 이용하자. 즉 limit point를 갖지 않는 수열 이 있다고 하자. 보이고자 하는 것은 가 countably compact가 아님을 보이는 것이다. 그러면 은 closed set이다. 왜냐하면 limit point를 갖지 않기 때문이다. 그러므로 는 open set이다. 또, 이 limit point를 가지지 않기 때문에 모든 에 대하여 을 포함하고

를 만족하는 open set 이 존재한다. 그러면

인데, 는 의 countable cover이지만, finite subcover를 가질 수 없다. 왜냐하면  for all 이기 때문이다. 그러므로 는 countably compact가 아니다.

왜 내가 시험현장에서 실수했는지 생각을 해보니, ‘보이고자 하는 것이 무엇이었는지’ 햇갈렸던 것이었고, 그것 때문에 잘못된 행동을 했다. 다음부터는 이러지 말아야겠다고 또 다짐한다. 시험 때 한번이라도 망해보지 않은 과목이 없는 것 같다.

## Tychonoff theorem implies Axiom of choice

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이번 글에서는 Tychonoff theorem이 Axiom of choice를 함의한다는 것을 보이고자 한다. Tychonoff theorem은 다음과 같다.

Theorem. If is a family of compact spaces, then its product space is compact space.

이 명제의 Proof은 Axiom of choice에 의존한다. 이 글에서는 Tychonoff theorem을 증명하는 것이 목표가 아니다. 이 정리를 증명하는 방법은 다양한 형태의 Axiom of choice를 사용해서 증명하는 것이 알려져있다. 이 명제를 증명하는 방법으로는 Alexander subbase theorem을 사용하는 것이 쉽다.

이 글에서 보이고자 하는 사실은 다음과 같다.

Proposition. Axiom of choice is equivalent to the Tychonoff theorem.

Axiom of choice도 여러가지 variation이 많다. 이 글에서 Axiom of choice는 다음과 같다.

Axiom of choice. If is a family of nonempty sets, then is nonempty.

Axiom of choice의 동치조건에 대해서 궁굼한 사람은 계승혁 교수의 강의록을 참고하라. 이제 명제를 증명한다.

Proof. 를 nonempty set들로 이루어진 모임이라고 하자. 주어진 집합들에는 없는 원소 를 하나 잡자.  이제 , 라 놓으면 는 topological space이고 열린집합이 유한개밖에 없으므로 compact space다. 그러므로 Tychonoff theorem에 의하여 는 compact이다.

는 open set이므로 에서 닫힌 집합이다. 그리고 이다. 라 놓자. Compact set의 성질을 이용하기 위하여 가 F.I.P를 갖는다는 것을 보이고자 한다.

유한 부분집합 을 하나 잡자. 그러면 인 경우에는 이므로 이다. 일 때는 각각의 에 대하여 를 하나 잡자. 그리고 다음과 같이

라 정의하자. 그러면 이다. 그러므로 어떤 finite subset 를 잡아도 이다. 그러므로 는 F.I.P를 갖는다.

그런데 가 compact set이므로 이므로 증명이 끝난다.

## Bernoulli number and Zeta function

이 글에서는 Bernoulli number와 zeta function과의 관계를 드러내는 식을 증명한다.

Definition 1 Define the Bernoulli numbers by the formula

이 Bernoulli number는 계수 비교를 이용해서 , , , , , 이 성립한다.

Bernoulli number를 generating function을 이용해서 정의를 했는데, Bernoulli number간의 점화식은 다음과 같다.

Proposition 2 For , we have

Proof: 계산의 편의를 위해 양변에 를 곱하면

를 얻는다. 여기서 Cauchy product formula에 의하여

를 얻으며,

를 얻는다. 이 식에서 일 경우에 대해서는

가 성립함을 보인다. 따라서

를 얻는다.

Proposition 3 if is odd and . Also,

Proof: 다음과 같이

이라 쓰고,

이라 하자. 그러면

을 얻는다.

이므로 이는 우함수다. 따라서

이므로

이다. 따라서 이 1보다 큰 홀수일 경우, 임을 얻는다.

이제 를 넣으면 를 얻는다. 그러므로

를 얻는다.

Proposition 4 We have

이를 보이기 위해서는 다음과 같은 사실이 하나 필요하다.

Lemma Let be a complex number not equal to an integer. Then

For all ,

Proof: 증명 보충예정

Proof: 에 대하여 앞에 lemma에 의하여

이 성립한다. 해석확장에 의하여

이다.

이제 우리가 증명하고자 하는 정리의 증명이 거의 다 끝나간다.

Theorem 5 For any , we have

Proof: (1)와 (2)에 의하여

를 얻으므로 따라서

이다.

## Catalan number and its closed formula

이 글에서는 카탈란 수의 closed formula를 증명한다. 우선 이 글에서 카탈란 수의 정의는 다음과 같다.

Definition 1 The Catalan numbers are a sequence defined by the following recurrence relation:

카탈란 수를 정의했으니, 다음 질문은 이 카탈란 수를 표현할 수 있는 일반식이 무엇인지다.

일반항을 구하는 방법은 여러가지가 있지만, Generating function을 이용해서 찾고자 한다. 잠시 Cauchy product 공식을 기억하도록 하자. 이는 Generating function theory에서 꽤 유용하게 쓰인다.

Theorem 2 (Cauchy Product Formula) Suppose that where converges to respectively. Then .

Proof: Summation by part를 사용해보도록 하자. 잠시 이 converge absolutely라 하고 , 라 하자. 그러면

를 얻는다. 이제 수렴하는 작업을 시작해보도록 하자. 가 모두 수렴하므로 모든 에 대하여 , 가 존재한다.

이 주어졌다고 하자. 이므로 이 존재한다. 또, 에 대하여

인 충분히 큰 을 잡을 수 있다. 그러므로 충분히 큰 에 대하여

이므로 이 한없이 커질 때,

임을 얻는다.

이제 Abel’s theorem을 이용해서 정리를 증명한다. 에서 , 이라 하고 이라 하자. , , 이라 정의하면, 에서 converges absolutely이므로

를 얻는다. 이제 Abel’s theorem을 적용하면

이다.

이제 이를 바탕으로 보이고자 하는 정리를 증명하자.

Theorem 3 If , then the closed formula for is

Proof: 의 생성함수를 라 하자. 즉

그러면 로부터

를 얻고 로부터

를 얻는다. Cauchy product formula에 의하여

이다. 그러므로 근의 공식에 의하여

를 얻는다.

이고,

이 결과로부터 부호를 로 하는 것이 원래 의 정의에 합당하다.

멱급수의 계수를 비교하고 계산을 통해

를 얻는다.

이 카탈란 수는 여러가지 조합론 적 모델이 있다. 자세한 내용은 Stanley의 Enumerative Combinatorics의 2권에 잘 설명되어 있다.

References

1. R. P. Stanley, Enumerative combinatorics, Vol. 2, volume 62 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 1999.
2. The Catalan Numbers from Their Generating Function, https://mikespivey.wordpress.com/2013/03/19/the-catalan-numbers-from-their-generating-function/.
3. Wikipedia, Catalan numberhttp://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number.