Category Archives: Probability Theory

Marcinkiewicz-Zygmund’s SLLN

First, we present well-known Khintchine-Kolmogorov Theorem. Theorem (Khintchine-Kolmogorov). Let be independent random variables with finite expectation. If , then converges a.e. Now we present the Marcinkiewicz-Zygmund theorem which is our object of this article. Theorem (Marcinkiewicz-Zygmund Theorem). Suppose that are i.i.d with for some . Then     where     Proof. Set    … Read More »

Continuous Random variable which does not have pdf

수업의 특성상 어쩔 수 없는거 같긴 한데, 정의가 엄밀하지 못해서 개인적으로는 답답한 상태로 듣고 있다. 확률공간 에 대하여 확률변수 을 생각한다. 의 누적분포함수(culmulative distribution function)을 라 쓰고 이를 다음과 같이 정의한다:     이 때 확률변수 가 continuous라는 것은 가 continuous일 때라고 정의한다. 는 monotone increasing function이므로 almost everywhere에서 미분가능하다는 것이 르베그 미분정리다. 그런데 보통… Read More »

Rademacher function and Khinchin’s equality

Fair coin에 대하여 이 상황을 설명할 수 있는 또 다른 방법이 있는데, Rademacher function을 이용하는 방법이 있다. 함수는 다음과 같이 정의된다:     여기서 sample space는 이며 probability measure는 에서의 Lebesgue measure이다. 그러면 모든 에 대하여     를 얻는다. 여기서 이다. 이 사실은 가 independent random variable이라는 것을 보여준다. Lemma. 를 Rademacher sequence라 하자.… Read More »