Category Archives: Harmonic Analysis

Brief Introduction to Hardy space

이 글에서는 Hardy 공간과 그에 관련된 중요한 결과들을 소개하고자 한다. Hardy 공간의 필요성은 여러 이유에서 나타난다. 전혀 관계가 없어보이는 결과도 Hardy 공간을 도입할 경우, 보다 증명을 간편하게 할 수 있는 경우가 종종 발생한다. 쉽게 소개할 수 있는 이유로는 Hardy-Littlewood maximal function에서 나온다. 에서 정의된 measurable function 에 대하여 (uncentered) Hardy-Littlewood maximal function은     라… Read More »

Sobolev Embedding

Sobolev space 는 거칠게 말하면 에서 정의된 함수 가 함수이고 -times weak derivative 또한 인 함수들의 모임을 말한다. 기본적으로 Sobolev embedding은 다음과 같은 경우를 말한다. 이고 이고     를 만족하는 을 생각하자. 그러면     가 성립하며 이 embedding은 continuous이다. 특히 이고 일 때,     가 성립한다. 여기서 는 를 만족하는 수다. 이… Read More »

Rademacher function and Khinchin’s equality

Fair coin에 대하여 이 상황을 설명할 수 있는 또 다른 방법이 있는데, Rademacher function을 이용하는 방법이 있다. 함수는 다음과 같이 정의된다:     여기서 sample space는 이며 probability measure는 에서의 Lebesgue measure이다. 그러면 모든 에 대하여     를 얻는다. 여기서 이다. 이 사실은 가 independent random variable이라는 것을 보여준다. Lemma. 를 Rademacher sequence라 하자.… Read More »