Using the separating hyperplane theorem, we prove the dual norm of the dual norm is the original norm. 1. Extension Theorem Let be a norm on . The dual norm of a norm is defined by For any , we show By definition, we have So It… Read More »
다음의 정리는 미적분학 시간에 배운 정리다. Proposition. For a smooth vector field , the following hold: If , there exists such that . If , then there exists a scalar field such that . 위의 정리는 어떤 벡터장이 conservative field임을 알려주는 조건이 된다. 이와 관련된 기하학적인 방향으로의 일반화는 다음과 같은 정리가 있다. Theorem(de Rham). For… Read More »
In this note, we prove the Weierstrass approximation theorem. 1. Bernstein’s approximation Theorem. Let be continuous and let be given. Then there exists a polynomial such that . We can construct a polynomial explicitly. For each , we define We call this polynomial as Bernstein polynomials. The polynomial can be interpreted in terms of… Read More »
유체역학을 공부할 때 중요한 결과 중 하나는 Helmholtz-Weyl decomposition이다. 이 결과는 임의의 벡터필드를 divergence-free vector-field와 gradient의 합으로 표현할 수 있다는 결과다. 즉, 이다. 이 결과를 얻는 방법은 다양한 방법이 있으나, 근본적이고 더 넓은 범위까지 결과를 얻기 위해서 방정식을 이용하면 쉽다. ()을 bounded domain이라 하자. 이번 글은 다음과 같은 문제를 풀고자 한다. Problem. 주어진… Read More »
이 블로그에서는 한동안 주기적으로 나비에-스토크스 방정식의 고전적인 수학적 이론을 소개하고자 한다. 이 글에서 소개하는 것에는 새로운 것이 거의 없으며, 글쓴이는 공부단계에서 정리하는 차원에서 글을 쓰는 것일 뿐이다. 나비에-스토크스 방정식은 점성이 있는 유체의 흐름을 기술하는 방정식이다. 이 방정식은 공학적 응용도 뛰어나며, 산업적 응용도 많이 활용되고 있다. 예를 들어서 인공심장의 혈류의 흐름을 연구하거나, 해양과 기상학에 관련된 연구를… Read More »