Category Archives: Elliptic and Parabolic PDE

PDE의 관점에서 2차원의 난점, 그리고 제한적인 극복

2차원은 여러모로 PDE의 관점에서 고통이 많은 공간이다. 그 예를 간단한 예를 들어보고자 한다. Cube 을 하나 고정하고 라 하면     이 성립한다. 여기서 이며 는 노름으로 에 폐포를 취한 것이다. 위 결과를 보일 때 필요한 추정은 임의의 에 대하여     이다. 우선 일 때 횔더부등식에 의하여     을 얻는다. 소볼레프 부등식에 의하여… Read More »

Detail calculation of An $L^{1}$ -type estimates for Riesz potentials

In this note, we fill all details of the paper “An -type estimates for Riesz potentials“, written by Armin Schikorra, Daniel Spector, and Jean Van Schaftingen. Introduction In general, the space  is hard to study in many sense. First, if we consider Hölder’s inequality, then the natural pair of is . In the case of… Read More »

Sobolev space and continuous representative

라 하고 는 unbounded인 경우도 고려한다. 에 대하여 Sobolev space 를 다음과 같이 정의한다.     이 공간에서의 norm은     라 정의한다. 이 글에서 증명하고자 하는 바는 다음과 같다. Theorem. 라 하고 라 하자. 여기서 는 bounded 또는 unbounded이다. 그러면     이고     인 가 존재한다. 본격적으로 증명하기 전에 이 결과를 조금… Read More »