Category Archives: 2016 Math

PDE의 관점에서 2차원의 난점, 그리고 제한적인 극복

2차원은 여러모로 PDE의 관점에서 고통이 많은 공간이다. 그 예를 간단한 예를 들어보고자 한다. Cube 을 하나 고정하고 라 하면     이 성립한다. 여기서 이며 는 노름으로 에 폐포를 취한 것이다. 위 결과를 보일 때 필요한 추정은 임의의 에 대하여     이다. 우선 일 때 횔더부등식에 의하여     을 얻는다. 소볼레프 부등식에 의하여… Read More »

Detail calculation of An $L^{1}$ -type estimates for Riesz potentials

In this note, we fill all details of the paper “An -type estimates for Riesz potentials“, written by Armin Schikorra, Daniel Spector, and Jean Van Schaftingen. Introduction In general, the space  is hard to study in many sense. First, if we consider Hölder’s inequality, then the natural pair of is . In the case of… Read More »

Sobolev space and continuous representative

라 하고 는 unbounded인 경우도 고려한다. 에 대하여 Sobolev space 를 다음과 같이 정의한다.     이 공간에서의 norm은     라 정의한다. 이 글에서 증명하고자 하는 바는 다음과 같다. Theorem. 라 하고 라 하자. 여기서 는 bounded 또는 unbounded이다. 그러면     이고     인 가 존재한다. 본격적으로 증명하기 전에 이 결과를 조금… Read More »

1.4. Bounded Sets and Bornologic Spaces

이 부분은 Yosida 책을 읽을 때 두 번째로 겪었던 큰 난관이었다. 가장 첫 번째의 이유로는 이미 친숙한 개념이었던 bounded 개념을 보다 일반화 시키는 작업이 생각보다 어려웠던 것으로 꼽고, 두 번째로는 새롭게 정의하는 bornologic space가 무엇을 일반화시킨 것인지 파악하기가 어려웠기 때문이다. 필자가 두 번째로 Yosida 책을 읽다가 던져버렸던 부분이었다. 우선은 필자가 이해하는 선에서 최대한 이 절을… Read More »

1.1 Semi-norms and Locally Convex Linear Topological Spaces (Theory)

요시다 책이 어려운 이유가 처음부터 Locally convex linear topological space부터 정의하고 시작한다는 점이다. 추상적인 공간만 해도 어려운데, 바로 이것부터 하는 것은 책을 덮게 만드는 가장 큰 원인인 것 같다. 이 절의 목표는 사실상 topological vector space를 어떻게 정의하지에 대해서 소개하는 절이다. 필자는 이런 이유에서 이 절을 읽을 때 간단한 수준에서의 공간에 대한 기본적인 이해나, 유클리드… Read More »