Mistakes on Exam: Countable compactness

By | April 20, 2015

오늘 위상수학 시험에서 엄청난 실수를 저질렀다. 다음엔 이런 실수 범하지 않기를 바라는 차원에서 일종의 오답노트를 적어본다.

우선 정의다.

Definition 1. A topological space X is countably compact if every countable open cover \mathcal{O} has a finite subcover.

Theorem 1. If \left(X,d\right) is countably compact, then \left(X,d\right) is compact.

Proof. 대우를 이용하자. convergent subsequence를 갖지 않는 수열 \left\{ x_{n}\right\}이 존재한다고 가정하자.

    \[ B=\left\{ x_{n}:n\in\mathbb{N}\right\} \]

이라 하면, B는 closed set이다. 왜냐하면 B^{\prime}=\varnothing이기 때문이다.
그러면 각 n\in\mathbb{N}에 대하여

    \[ B\left(x_{n},r_{n}\right)\setminus\left\{ x_{n}\right\} \cap B=\varnothing \]

r_{n}>0이 존재한다. 즉, 모든 n에 대하여 B\left(x_{n},r_{n}\right)\cap B=\left\{ x_{n}\right\}이다.
이제

    \[ \left\{ B\left(x_{n},r_{n}\right)\right\} _{n\in\mathbb{N}}\cup\left(X\setminus B\right)=X \]

이다. 이는 countable subcover를 갖지만 finite subcover는 가질 수 없다. 그러므로 대우에 의하여 \left(X,d\right)는 compact다.  \qedbox

따라오는 정리는 metric space에서 성립한 것에서 거리 개념을 없애버렸을 때 나타나는 상황이다. Extension에 전혀 무리가 없다.

Theorem 2. If X is countably compact, then every sequence \left\{ x_{n}\right\} has a limit point in X.

Proof.  대우를 이용하자. 즉 limit point를 갖지 않는 수열 \left\{ x_{n}\right\} _{n\in\mathbb{N}}이 있다고 하자. 보이고자 하는 것은 X가 countably compact가 아님을 보이는 것이다. 그러면 B=\left\{ x_{n}:n\in\mathbb{N}\right\}은 closed set이다. 왜냐하면 limit point를 갖지 않기 때문이다. 그러므로 X\setminus B는 open set이다. 또, \left\{ x_{n}\right\} 이 limit point를 가지지 않기 때문에 모든 n에 대하여 x_{n}을 포함하고

    \[ U_{n}\setminus\left\{ x_{n}\right\} \cap B=\varnothing \]

를 만족하는 open set U_{n}이 존재한다. 그러면

    \[ \left\{ U_{n}\right\} _{n=1}^{\infty}\cup\left(X\setminus B\right)=X \]

인데, \left\{ U_{n}\right\} _{n\in\mathbb{N}}\cup\left(X\setminus B\right)는 X의 countable cover이지만, finite subcover를 가질 수 없다. 왜냐하면 U_{n}\cap B=\left\{ x_{n}\right\} for all n이기 때문이다. 그러므로 X는 countably compact가 아니다. \qedbox

왜 내가 시험현장에서 실수했는지 생각을 해보니, ‘보이고자 하는 것이 무엇이었는지’ 햇갈렸던 것이었고, 그것 때문에 잘못된 행동을 했다. 다음부터는 이러지 말아야겠다고 또 다짐한다. 시험 때 한번이라도 망해보지 않은 과목이 없는 것 같다.

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