Notes 2. generalized de Rham theorem

By | August 21, 2017

다음의 정리는 미적분학 시간에 배운 정리다.

Proposition. For a smooth vector field F:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{3}, the following hold:

  1. If \nabla\cdot F=0, there exists G:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{3} such that \nabla\times G=F.
  2. If \nabla\times F=0, then there exists a scalar field f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R} such that \nabla f=F.

위의 정리는 어떤 벡터장이 conservative field임을 알려주는 조건이 된다. 이와 관련된 기하학적인 방향으로의 일반화는 다음과 같은 정리가 있다.

Theorem(de Rham). For a smooth manifold M,

    \[ H_{\mathrm{dR}}^{k}\left(M\right)\approx H^{k}\left(M;\mathbb{R}\right). \]

de Rham theorem의 한 결과가 처음에 언급한 정리의 proposition이며, 이 proposition의 한 일반화가 cohomology의 언어로 기술된 de Rham theorem이다. 보통 위와 같은 내용은 미분기하 수업을 들었을 때 많이들 들었을 것이다.

이 절의 관심사는 첫 proposition의 다른 방향의 일반화다. 즉, 더 약한 조건 하에서 conservative vector field임을 판정할 수 있는지를 알아보고자 한다. 잠시 기호를 하나 도입하면, C_{0,\sigma}^{\infty}\left(\Omega\right)을 space of smooth divergence free test function on \Omega이라 하자. 즉,

    \[ C_{0,\sigma}^{\infty}\left(\Omega\right)=\left\{ u\in C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right)^{n}:\mathrm{div}u=0\text{ in }\Omega\right\} \]

이다.

만약에 \Omega\mathbb{R}^{3}의 한 simply connected domain이라 하고 uC^{1}-vector field이 \int_{\Omega}u\cdot wdx=0 for all w\in C_{0,\sigma}^{\infty}\left(\Omega\right)라 하면, u=\nabla p를 만족하는 p를 찾을 수 있다. 조건 \int_{\Omega}u\cdot wdx=0에 임의의 h\in C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right)에 대하여 w=\nabla\times h
하고

    \[ \nabla\cdot\left(v_{1}\times v_{2}\right)=v_{2}\cdot\nabla\times v_{1}-v_{1}\cdot\nabla\times v_{2} \]

임을 염두하면,

    \[ \int_{\Omega}\nabla\times u\cdot hdx=0\quad\text{for all }h\in C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right) \]

을 얻는다. 이로부터 \nabla\times u=0이다. 즉 위에서 언급된 conservative vector field의 조건이다. 이제 \Omega가 simply connected이므로 Stokes’ theorem에 의하여 u=\nabla p
얻는다.

그러나 위와 같은 조건은 Navier-Stokes equation의 수학적인 이론을 전개하기에는 기술적인 문제를 해결해주지는 못한다. 이 글에서는 보다 일반적인 경우에 대하여 de Rham theorem을 증명하도록 한다. 지금부터는 \Omega\subset\mathbb{R}^{n}을 bounded Lipschitz domain이라 하자. 다음과 같은 정리가 잘 알려져있다:

Theorem. Let \Omega be a bounded Lipschitz domain in \mathbb{R}^{n} and \zeta\in C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right) a fixed function with \int_{\Omega}\zeta dx=1. Then there exists a linear operator

    \[ \mathcal{B}_{\Omega}:C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right)\rightarrow C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right)^{n} \]

such that for each g\in C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right), the vector field u=\mathcal{B}_{\Omega}\left[g\right] satisfies

    \[ \mathrm{div}u=g-\left(\int_{\Omega}gdx\right)\zeta\quad\text{in }\Omega \]

and

    \[ \left\Vert u\right\Vert _{m+1,q;\Omega}\le C\left(m,q,n,\Omega\right)\left\Vert g\right\Vert _{m,q;\Omega} \]

for every m\in\mathbb{N}\cup\left\{ 0\right\} and 1<q<\infty. Moreover, by continuity, \mathcal{B}_{\Omega} can be extended uniquely to a bounded linear operator from W_{0}^{m,q}\left(\Omega\right) into W_{0}^{m+1,q}\left(\Omega\right)^{n}, called the Bogovskii operator and denoted again by \mathcal{B}_{\Omega}.

위 정리의 증명은 Notes 1 을 참고하기 바란다.

이 정리의 응용으로 다음과 같은 형태의 de Rham theorem을 증명하고자 한다. 우선 정리를 쓰기 전에 몇가지 기호를 도입한다. m\ge1이고 1<q<\infty일 때, W^{-m,q}\left(\Omega\right)W_{0}^{m,q^{\prime}}\left(\Omega\right)의 dual 공간이다. 여기서 q'=\frac{q}{q-1} 이다. 그리고 이 공간에 부여되는 norm은

    \[ \left\Vert f\right\Vert _{-m,q;\Omega}=\sup\left\{ \left\langle f,\phi\right\rangle :\phi\in W_{0}^{m,q'}\left(\Omega\right),\left\Vert \phi\right\Vert _{m,q';\Omega}\le1\right\} \]

이다.

이제 정리를 쓰면 다음과 같다.

Theorem. Let \Omega be a bounded Lipschitz domain in \mathbb{R}^{n} and let m\in\mathbb{Z} and 1<q<\infty. If f\in W^{m,q}\left(\Omega\right)^{n} satisfies

    \[ \left\langle f,\Phi\right\rangle =0\quad\text{for all }\Phi\in C_{0,\sigma}^{\infty}\left(\Omega\right), \]

then there exists \psi\in W^{m+1,q}\left(\Omega\right) such that

    \[ f=\nabla\psi\quad\text{in }\Omega \]

and

    \[ \left\Vert \psi\right\Vert _{m+1,q;\Omega}\le C\left\Vert f\right\Vert _{m,q;\Omega} \]

for some constants C=C\left(m,q,\Omega\right).

우선 m<-1이라 하자. 그러면 fW_{0}^{-m,q'}\left(\Omega\right)^{n}위에서의 한 bounded linear functional이다. 그런데 Bogovskii operator는 W_{0}^{-m-1,q'}\left(\Omega\right)^{n}에서 W_{0}^{-m,q'}\left(\Omega\right)^{n} 으로 보내주는 bounded linear operator이므로

    \begin{align*} \left\langle f,\mathcal{B}\left[g\right]\right\rangle & \le\left\Vert f\right\Vert _{m,q;\Omega}\left\Vert \mathcal{B}\left[g\right]\right\Vert _{-m,q';\Omega}\\ & \le C\left\Vert f\right\Vert _{m,q;\Omega}\left\Vert g\right\Vert _{-m-1,q';\Omega} \end{align*}

이 성립한다. 여기서 g\in W_{0}^{-m-1,q'}\left(\Omega\right)이다.

이제 \psi

    \[ \left\langle \psi,g\right\rangle =-\left\langle f,\mathcal{B}\left[g\right]\right\rangle \quad\text{for all }g\in W_{0}^{-m-1,q'}\left(\Omega\right) \]

가 되도록 정의하면, \psi는 bounded linear operator on W^{-m-1,q'}_0(\Omega)이므로(m=-1일 때는 L^{q'} (\Omega)위에서) m<-1일 때는 \psi\in W^{m+1,q}\left(\Omega\right)이 되며 \left\Vert \psi\right\Vert _{m+1,q;\Omega}\le C\left\Vert f\right\Vert _{m,q;\Omega}을 얻는다. m=-1일 경우에는 Riesz representation theorem에 의하여 \psi\in L^{q}\left(\Omega\right)를 얻으며 같은 estimate를 얻는다.

이제 \Phi\in C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right)^{n}이라 하고, g=\mathrm{div}\Phi라 하자. 그러면 divergence theorem에 의하여

    \[ \mathrm{div}\mathcal{B}\left[g\right]=\mathrm{div}\Phi-\left(\int_{\Omega}\mathrm{div}\Phi dx\right)\zeta=\mathrm{div}\Phi \]

를 얻고, linearlity에 의하여 \mathcal{B}\left[g\right]-\Phi\in C_{0,\sigma}^{\infty}\left(\Omega\right)를 얻는다. 따라서

    \[ -\left\langle \psi,\mathrm{div}\Phi\right\rangle =-\left\langle \psi,g\right\rangle =\left\langle f,\mathcal{B}\left[g\right]\right\rangle =\left\langle f,\Phi\right\rangle \]

을 얻는다. 이로부터 원하는 정리가 m\le-1일 때 증명된다. m\ge0일 경우에는 함수라서 횔더 부등식을 사용해서 앞에서 얻었던 유사한 부등식을 얻으면 된다. \Box

사실 \mathbb{R}^{n}은 sequence of bounded Lipschitz domain들의 union으로 표현할 수 있으므로, 위의 정리로부터 다음의 정리를 자명하게 얻는다:

Theorem. Let \Omega be an arbitrary domain in \mathbb{R}^{n} and let 1<q<\infty. If f\in L_{\mathrm{loc}}^{q}\left(\Omega\right) satisfies

    \[ \int_{\Omega}f\cdot\Phi dx=0\quad\text{for all }\Phi\in C_{0,\sigma}^{\infty}\left(\Omega\right), \]

then there exists \psi\in W_{\mathrm{loc}}^{1,q}\left(\Omega\right) such that

    \[ f=\nabla\psi\quad\text{in }\Omega. \]

이 정리는 다양한 곳에서 응용이 있다. 대표적인 응용으로는 벡터필드를 divergence free part와 curl free part로 쪼갤 수 있다는 Helmholtz-Weyl decomposition을 얻을 수 있으며, 이로부터 Stokes equation의 해의 유일성을 얻을 수 있다.

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