Tychonoff theorem implies Axiom of choice

By | April 19, 2015

이번 글에서는 Tychonoff theorem이 Axiom of choice를 함의한다는 것을 보이고자 한다. Tychonoff theorem은 다음과 같다.

Theorem. If \{X_i\}_{i\in I} is a family of compact spaces, then its product space \prod_{i\in I} X_i is compact space. 

이 명제의 Proof은 Axiom of choice에 의존한다. 이 글에서는 Tychonoff theorem을 증명하는 것이 목표가 아니다. 이 정리를 증명하는 방법은 다양한 형태의 Axiom of choice를 사용해서 증명하는 것이 알려져있다. 이 명제를 증명하는 방법으로는 Alexander subbase theorem을 사용하는 것이 쉽다.

이 글에서 보이고자 하는 사실은 다음과 같다.

Proposition. Axiom of choice is equivalent to the Tychonoff theorem.

Axiom of choice도 여러가지 variation이 많다. 이 글에서 Axiom of choice는 다음과 같다.

Axiom of choice. If \{X_i\}_{i\in I} is a family of nonempty sets, then \prod_{i\in I} X_i is nonempty.

Axiom of choice의 동치조건에 대해서 궁굼한 사람은 계승혁 교수의 강의록을 참고하라. 이제 명제를 증명한다.

Proof. \{X_i\}_{i\in I}를 nonempty set들로 이루어진 모임이라고 하자. 주어진 집합들에는 없는 원소 \omega \in \bigcup_{i\in I} X_i를 하나 잡자.  이제 Y_i=X_i \cup \{\omega}, \mathcal{T}_i = \{\varnothing, \{\omega\},Y_i\}라 놓으면 (Y_i, \mathcal{T}_i)는 topological space이고 열린집합이 유한개밖에 없으므로 compact space다. 그러므로 Tychonoff theorem에 의하여 \prod_{i\in I} Y_i는 compact이다.

\{\omega\}는 open set이므로 \pi^{-1}_{i}\left(\{ \omega\}\right)^c\prod_{i\in I} Y_i에서 닫힌 집합이다. 그리고 \{\omega\}^c = X_i이다. A_i = \prod^{-1} (X_i)라 놓자. Compact set의 성질을 이용하기 위하여 \{A_i\}_{i\in I}가 F.I.P를 갖는다는 것을 보이고자 한다.

유한 부분집합 J\subset I을 하나 잡자. 그러면 J=\varnothing인 경우에는 \bigcap_{i\in J} A_i = \mathcal{U}이므로 \omega \in \bigcap_{i\in J} A_i이다. J\neq \varnothing일 때는 각각의 j\in J에 대하여 x_j \in X_j를 하나 잡자. 그리고 다음과 같이

    \[ b_i = \begin{cases} x_i & i\in J \\                                         \omega & i\neq J \end{cases} \]

라 정의하자. 그러면 (b_i)_{i\in I} \in \bigcap_{j\in J} \pi^{-1}_{j} (X_j) =\bigcap_{j\in J} A_j이다. 그러므로 어떤 finite subset J\subset I를 잡아도 \bigcap_{j\in J} A_j \neq \varnothing이다. 그러므로 \{A_i\}는 F.I.P를 갖는다.

그런데 \prod Y_i가 compact set이므로 \varnothig\neq \bigcap A_i =\bigcap \pi^{-1} (X_i) = \prod X_i이므로 증명이 끝난다. \Box

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