Notes 0. Introduction

By | June 20, 2017

이 블로그에서는 한동안 주기적으로 나비에-스토크스 방정식의 고전적인 수학적 이론을 소개하고자 한다. 이 글에서 소개하는 것에는 새로운 것이 거의 없으며, 글쓴이는 공부단계에서 정리하는 차원에서 글을 쓰는 것일 뿐이다.

나비에-스토크스 방정식은 점성이 있는 유체의 흐름을 기술하는 방정식이다. 이 방정식은 공학적 응용도 뛰어나며, 산업적 응용도 많이 활용되고 있다. 예를 들어서 인공심장의 혈류의 흐름을 연구하거나, 해양과 기상학에 관련된 연구를 하거나, 자동차 또는 비행기의 공기저항을 연구할 때, 이 방정식을 빼고서는 연구가 불가능할 정도로 많은 유용성이 입증이 된 방정식이다.
유체가 비압축성일 때 뉴턴유체의 나비에-스토크스 방정식은 다음과 같다.

    \[ (NS) \qquad \left\{ \begin{array}{rl} u_t + (u \cdot \nabla ) u - \Delta u + \nabla p = f \quad\mbox{in}\,\, (0,T) \times\Omega \,\,\,\,\,\,\, \,\\ {\rm div}\, u =0 \quad\mbox{in}\,\, (0,T) \times\Omega\, \,\,\, \,\,\,\,\\ u =0 \quad \mbox{on}\,\, (0,T) \times \partial\Omega \,\,\, \\ u=u_0 \quad \mbox{on}\,\, \{t=0\} \times\Omega , \end{array}\right. \]

여기서 \Omega\mathbb{R}^3의 한 정역이다. 이론을 어떻게 전개하느냐에 따라 다르지만, 이 연재글에서 다룰 수학적인 이론에서는 점성상수를 1로 보편적으로 둔다.

나비에-스토크스 방정식은 수학적인 이론의 측면에서 많은 부분이 많이 알려지지 않았다. 가장 유명한 문제는 강해의 존재성이다. 시간효과를 무시할 수 있는 경우 또는 비선형항 u\cdot \nabla u이 없는 경우에는, 초기치가 매우 부드러울 경우, 강해의 존재성이 증명되었으나, 일반적인 나비에-스토크스 방정식의 경우 강해의 존재성이 아직까지 알려져 있지 않다.

1934년에 장 르레가 나비에-스토크스 방정식의 약해의 존재성을 보인 이후, 많은 사람들이 강해의 존재성을 증명하려고 시도를 했으나 부분적인 결과 외에 완전한 해를 얻지 못했다. 그로인해 2000년에 클레이-수학 난제센터에서 밀레니엄 난제 중 하나로 선정했으며, 아직까지도 미해결 상태로 남아있다. 2014년에 테렌스 타오는 평균화된 나비에-스토크스 방정식의 경우, 유한시간 안에 폭발하는 해(finite time blowup)가 존재함을 보였다. 전문가들 사이에서도 강해가 존재하는지, 유한시간 안에 폭발하는 해가 존재하는지 의견이 분분한 상태다.

또다른 측면에서 다양한 도메인 조건 하에서 해의 존재성이 있는지 아직까지는 연구가 많이 필요한 방정식이다. 예를 들어서 댐에서 물을 빼낼 때, 갇혀있는 물의 흐름이 빠져나오는 경우 어떠한 해가 있는지에 대해서도 아직 연구가 미진한 상태이다. 정역이 회전할 경우, 수학적인 해의 존재성이 있는지도 완전한 연구가 된 상태가 아니다. 이러한 부분에 대한 연구는 시간을 무시할 수 있는 (정상) 나비에-스토크스 방정식의 경우에는 이탈리아, 한국과 일본의 수학자들에 의해 어느정도 해결된 것으로 알고 있으나, 완전한 해답은 아직 안 나온 것으로 알고 있다. 정역들에 부여된 다양한 조건들은 여러가지 물리적인 상황에서도 나오기 때문에, 현학적인 조건이 아니다.

이 연재 시리즈에서는 나비에-스토크스 방정식의 수학적인 이론을 건설하는 것을 목표로 하며, 다음과 같은 구성으로 연재하려고 한다. 이 연재글에서는 \Omega를 유계인 경우만 다루고자 한다.

Chapter 1. Preliminaries
Chapter 2. Physical derivation of Navier-Stokes equation
Chapter 3. Existence and regularity theory of Stokes equation
Chapter 4. Existence and regularity theory of Stationary Navier-Stokes equation
Chapter 5. Existence theory of nonstationary Navier-Stokes equation
Chapter 6. Partial result on regularity theory of nonstationary Navier-Stokes equation

Chapter 1에서는 헬름홀츠 분해를 증명하는 것을 목표로 한다. 다양한 접근방법이 있지만, 매우 약한 조건하에서 헬름홀츠 분해의 존재성을 보이는 가장 쉬운 방법은 방정식

    \[ \mathrm{div } u =f \]

을 이해하는 것이다. 이 방정식 자체도 최근에도 결과가 나올 정도로 완전한 이해가 된 방정식은 아니다. 이 글에서는 이 방정식을 특이적분이론을 사용하지 않고, 비교적 초등적인 방법으로 공부하는 것을 목표로 한다.

Chapter 2에서는 나비에-스토크스 방정식을 물리적인 방법을 이용해서 유도하는 것을 목표로 한다. 수학적인 이론을 이해하는데에는 물리적 유도가 그렇게 중요하지는 않지만, 이 방정식은 모델링으로 나온 방정식이 아닌 물리적인 가정으로부터 유도되는 방정식이다. 그렇기 때문에 글쓴이는 이 방정식을 물리적으로 유도하는 것을 이해하는 것 또한 중요하다고 생각한다. 이 부분은 주로 란다우-렙시쯔의 설명방법을 따라가며, 다른 책들의 설명도 참고해서 기술할 것이다.

Chapter 3부터 Chapter 5까지는 고전적인 나비에-스토크스 방정식 이론에 관한 내용이며, 나비에-스토크스 방정식의 해의 존재성을 주로 다룰 것이다. 해의 존재성을 보일 때 다양한 이론들을 사용할 것인데, 필요한 이론의 경우에는 기술할 것이며, 증명은 적절한 수준에서 제공할 것이다.

Chapter 6는 현재의 나비에-스토크스 방정식의 해의 정칙성이론이 어디까지 진행되었는지를 간략하게 살펴보는 것으로 마무리하고자 한다.

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