Definition of Locally Convex Topological Spaces

By | June 12, 2017

Locally convex topological space의 정의는 크게 두 가지가 있다.

하나는

Definition A. A linear topological space X is called a locally convex linear topological space if any of its open sets containing 0 contains a convex, balanced and absorbing open set.

이고 또 다른 하나는

Definition B. A linear topological space X is called a locally convex linear topological space if there is a local base \mathcal{B} whose members are convex.

이다.

첫 번째 정의는 Yosida의 정의고, absorbing이라는 조건을 제외하면 위키와 Conway에서 사용하는 정의다. 두 번째 정의는 Rudin과 Lax에서 택하는 정의다.

수업시간에 나는 전자로 정의를 알고 있었는데, 후자의 정의가 모자른 정의라고 생각했다. 잘못하면 scalar product을 제어하지 못하는 정의라고 생각했기 때문이다.

그러나 Rudin 책을 잘 보니, Definition B로부터 Definition A를 증명할 수 있다고 한다. 이 글은 그것을 정리해놓은 글이다.

Theorem 1.14. In a topological vector space X, every convex neighborhood of 0 contains a balanced convex neighborhood of 0.

Proof. UX에서의 0의 neighborhood라 하자. Scalar multiplication이 continuous이므로 모든 |\alpha|<\delta에 대하여

    \[ \alpha V\subset U \]

가 되도록 하는 0<\delta<1과 open neighborhood V of 0가 존재한다. 이제 W\alpha V 집합들의 union이라 두면 W0의 neighborhood이고 W는 balanced이다.

이제 U를 convex neighborhood라 하고 A=\bigcap_{|\alpha|=1} \alpha U라 하자. W를 앞서 잡은 것과 같이 두면, W는 balanced이므로 \alpha^{-1} W=W이다. 여기서 |\alpha|=1이다. 따라서 W\subset \alpha U이다. 그러므로 W\subset A이다. 이는 A^{\circ}0에서의 neighborhood가 됨을 보인다. A의 정의로부터 A^\circ \subset U임이 보여진다. Convex set의 intersection은 convex이므로 A 또한 convex이다. 그러므로 A^\circ도 또한 convex이다. 이제 A^\circ가 balanced set만 보이면 된다. 0\leq r\leq 1, |\beta|=1이 되도록 숫자들을 잡으면

    \[ r\beta A =\bigcap_{|\alpha|=1} r\beta \alpha U =\bigcap_{|\alpha|=1} r\alpha U \]

가 된다.

여기서 \alpha U0을 포함하는 한 convex set이므로 r\alpha U \subset \alpha U이다. 따라서 r\beta A\subset A이므로 원하는 바를 얻는다.

이로부터

Corollary. Every locally convex space has a balanced convex local base.

이제 absorbing 쪽을 처리하기 위해서 다음의 정리를 증명한다.

Theorem 1.15. Suppose V is a nbd of 0 in a topological vector space X.

  1. If 0<r_1<r_2<\cdots and r_n\rightarrow \infty as n\rightarrow\infty, then

        \[ X = \bigcup_{n=1}^\infty r_n V.\]

  2. Every compact subset K of X is bounded.
  3. If \delta_1>\delta_2>\cdots and \delta_n\rightarrow 0 as n\rightarrow\infty and if V is bounded, then the collection

        \[ \{\delta_n V: n=1,2,3,\dots \} \]

    is a local base for X.

Proof. (i) x\in X를 고정하자. \alpha \mapsto \alpha x이 역시나 연속함수이므로 \{ \alpha : \alpha x\in V\}이 열린집합이고 0을 포함하며, 따라서 적당히 큰 n에 대하여 \frac{1}{r_n}을 갖는다. 그러므로 적당히 큰 n에 대하여 (1/r_n) x\in V이므로 x\in r_n V이다. 따라서 원하는 바를 얻는다.

(ii) WV의 부분집합중에서 0의 한 balanced neighborhood라 하자. (i)로부터

    \[ K \subset \bigcup_{n=1}^\infty nW \]

을 얻는다. 여기서 K는 compact이므로

    \[ K\subset n W$\]

를 만족하는 정수 n이 존재한다. W가 balanced이므로 저러한 자연수 n이 존재한다. 이제 t>n이라 하면 K\subset tW\subset tV이다. 그러므로 compact set은 bounded이다.

(iii) U0의 한 원점에서의 neighborhood라 하자. 만약 V가 bounded이면 V\subset tU for all t>ss가 존재한다. \delta_n s <1보다 작게 만드는 자연수 n을 하나 잡는다면 V\subset (1/\delta_n) U를 얻으며 U는 유한개를 제외하고 \delta_n V 꼴의 집합들을 포함한다.

위의 정리로부터 topological vector space에서의 모든 원점에서의 neighborhood는 반드시 absorbing이라는 것이 증명된다.

따라서 Definition B로부터 Definition A가 함의된다.

Yosida가 이걸 몰랐을리는 없고, Minkowski functional같은 것을 유한값으로 바로 잡기 위해서 그렇게 가정한 것으로 추측된다. 그리고 이러한 construction보다 더 중요한 것은 가지고 있어야 할 성질들을 바탕으로 노는 것이 중요해서 그렇게 정의한것이 아닐까 싶다.

Minkowski functional(글 http://willkwon.dothome.co.kr/index.php/archives/446 참조)로부터 semi-norm으로 정의한 topological vector space와 Definition A, B로 정의된 topological vector space가 동치임을 보일 수 있다.

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