Notes 1. On the equation div u =f

By | June 25, 2017

유체역학을 공부할 때 중요한 결과 중 하나는 Helmholtz-Weyl decomposition이다. 이 결과는 임의의 벡터필드를 divergence-free vector-field와 gradient의 합으로 표현할 수 있다는 결과다. 즉,

    \[  u = v + \nabla w \]

이다. 이 결과를 얻는 방법은 다양한 방법이 있으나, 근본적이고 더 넓은 범위까지 결과를 얻기 위해서 \Div{u} =f 방정식을 이용하면 쉽다.

\Omega\subset\mathbb{R}^{n}(n\ge2)을 bounded domain이라 하자. 이번 글은 다음과 같은 문제를 풀고자 한다.

Problem. 주어진 f\in\Leb{q}\left(\Omega\right)에 대하여

    \[ \Div\boldsymbol{u}=f \]

를 만족하는 \boldsymbol{u}:\Omega\rightarrow\mathbb{R}^{n}이 어떤 의미로 존재하는가?

만약 f\in C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right)일때 어떤지 관찰해보도록 하자. \Gamma를 Laplacian의 fundamental solution이라 하자. 즉

    \[ \Gamma\left(x\right)=\begin{cases} \frac{1}{n\left(2-n\right)\omega_{n}}\frac{1}{\left|x\right|^{n-2}} & n\ge3\\ \frac{1}{2\pi}\log\left|x\right| & n=2 \end{cases} \]

여기서 \omega_{n}\mathbb{R}^{n}에서의 unit ball의 부피

    \[ \omega_{n}=\frac{2\pi^{\frac{n}{2}}}{n\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \]

이다. 이제

    \[ F\left(x\right)=\int_{\Omega}\Gamma\left(x-y\right)f\left(y\right)dy\quad\left(x\in\mathbb{R}^{n}\right) \]

이라 정의하자.

그러면 \Gamma\in\Leb{1}_{\mathrm{loc}}\left(\mathbb{R}^{n}\right)이고 f\in C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right)이므로 F\in C^{\infty}\left(\mathbb{R}^{n}\right)이고 \triangle F=f in \Omega을 만족한다.

여기에 Calderón–Zygmund theorem에 의하여

    \[ \norm{\nabla^{m+2}F}{q;\mathbb{R}^{n}}\le C\left(m,q,n\right)\norm{\nabla^{m}f}{q;\Omega} \]

를 얻는다. 여기서 m\in\mathbb{N}\cup\left\{ 0\right\}이고 1<q<\infty이며

    \[ \norm{\nabla^{m}F}{q;\Omega}^{q}=\sum_{\left|\alpha\right|=m}\norm{D^{\alpha}f}{\Leb{q}\left(\Omega\right)}^{q} \]

이다.

이제

    \[ \boldsymbol{u}\left(x\right)=\int_{\Omega}\nabla\Gamma\left(x-y\right)f\left(y\right)dy \]

라 하면 \boldsymbol{u}\in C^{\infty}\left(\mathbb{R}^{n}\right)^{n}이고

    \[ \Div\boldsymbol{u}=\triangle F=f\quad\text{in }\Omega \]

이고 모든 m\in\mathbb{N}\cup\left\{ 0\right\}이고 1<q<\infty에 대하여

    \[ \norm{\nabla^{m+1}\boldsymbol{u}}{q;\mathbb{R}^{n}}\le C\left(m,q,n\right)\norm{\nabla^{m}f}{q;\Omega} \]

을 얻는다.

u\in\Leb{q}\left(\Omega\right)\alpha-th weak derivative를 가진다는 것은 임의의 v\in C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right)에 대하여

    \[ \int_{\Omega}uD^{\alpha}vdx=\left(-1\right)^{\left|\alpha\right|}\int_{\Omega}u_{\alpha}vdx \]

를 만족하는 u_{\alpha}\in\Leb{q}\left(\Omega\right)가 존재할 때를 말한다. \Sob{k}{q}\left(\Omega\right)u\in\Leb{q}\left(\Omega\right)중에서 \left|\alpha\right|\le k\alphath weak derivative를 모두 갖는 공간이라고 정의하자.

여기서 이 공간의 노름은

    \[ \norm u{k,q;\Omega}=\sum_{\left|\alpha\right|\le k}\norm{D^{\alpha}u}{q;\Omega} \]

이다. \Sob{k}{q}_{0}\left(\Omega\right)C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right)\norm{\cdot}{k,q;\Omega}노름으로 closure를 취한 공간이다.

그러므로 density argument에 의하여 임의의 f\in\Sob{m}{q}_{0}\left(\Omega\right)에 대하여 적어도

    \[ \Div\boldsymbol{u}=f\quad\text{in }\Omega \]

and

    \[ \norm{\nabla\boldsymbol{u}}{m,q;\Omega}\le C\left(m,q,n\right)\norm f{m,q;\Omega} \]

을 만족하는 \boldsymbol{u}\in\Sob{m+1}{q}\left(\Omega\right)^{n}이 존재한다.

위 결과는 \Omega가 unbounded여도 성립한다. 그런데 이 결과는 다소 만족스럽지 못한 점이 있는데, 대다수 편미분방정식의 해는 \Omega의 경계에서 해의 조건이라던가 여러가지 문제가 발생한다. 위 결과는 \Omega의 경계에서 해의 존재성을 말하는데 다소 위험한 면이 있다.

\Omega의 경계에 관련된 문제를 피하기 위하여 \boldsymbol{u}\Sob{m+1}{q}\left(\Omega\right)^{n}뿐만 아니라 \boldsymbol{u}\in\Sob{m+1}{q}_{0}\left(\Omega\right)^{n}을 만족해야 한다.

이를 극복하기 위하여 많은 수학자들이 노력을 해왔다. 이 글에서는 \Omega가 bounded Lipschitz domain일 때 어떻게 이 문제를 해결할 수 있는지에 대해 설명하고자 한다.

\Omega\subset\mathbb{R}^{n}이 bounded Lipschitz라는 것은 \mathbb{R}^{n}의 bounded이고 open이고 connected set을 말하며 여기에 임의의 x_{0}\in\partial\Omega에 대하여

    \[ \Omega\cap B_{r}\left(x_{0}\right)=\left\{ x\in B_{r}\left(x_{0}\right):x_{n}<\phi\left(x_{1},\dots,x_{n-1}\right)\right\} \]

and

    \[ \partial\Omega\cap B_{r}\left(x_{0}\right)=\left\{ x\in B_{r}\left(x_{0}\right):x_{n}=\phi\left(x_{1},\dots,x_{n-1}\right)\right\} \]

을 만족하는 r>0와 Lipschitz continuous function\phi:\mathbb{R}^{n-1}\rightarrow\mathbb{R}이 존재할 때를 말한다.

다음의 결과는 Bogovskii가 1979년에 증명한 것이다.

Theorem. Let \Omega be a bounded Lipschitz domain in \mathbb{R}^{n} and \zeta\in C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right) a fixed function with \int_{\Omega}\zeta dx=1. Then there exists a linear operator

    \[ \mathcal{B}_{\Omega}:C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right)\rightarrow C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right)^{n} \]

such that for each f\in C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right), the vector field \boldsymbol{u}=\mathcal{B}_{\Omega}\left[f\right] satisfies

    \[ \Div\boldsymbol{u}=f-\left(\int_{\Omega}fdx\right)\zeta\quad\text{in }\Omega \]

and

    \[ \norm{\boldsymbol{u}}{m+1,q;\Omega}\le C\left(m,q,n,\Omega\right)\norm f{m,q;\Omega} \]

for every m\in\mathbb{N}\cup\left\{ 0\right\} and 1<q<\infty. Moreover, by continuity, \mathcal{B}_{\Omega} can be extended uniquely to a bounded linear operator from \Sob{m}{q}_{0}\left(\Omega\right) into \Sob{m+1}{q}_{0}\left(\Omega\right)^{n}, called the Bogovskii and denoted again by \mathcal{B}_{\Omega}.

따라서 위의 정리로부터 f\in\Leb{q}_{\#}\left(\Omega\right), 즉 f\in\Leb{q}\left(\Omega\right)이면서 \int_{\Omega}fdx=0인 경우에 \Div\boldsymbol{u}=f, \norm{\boldsymbol{u}}{1,q;\Omega}\le C\left(n,q,\Omega\right)\norm f{q;\Omega}을 만족하는 \boldsymbol{u}\in\Sob{1}{q}_{0}\left(\Omega\right)^{n}가 존재한다는 것을 보이게 된다.

여기서 \int_{\Omega}fdx=0이란 조건은 상당히 자연스러운 조건이다. 만약 \Div\boldsymbol{u}=f in \Omega을 만족하는 \boldsymbol{u}\in\Sob{1}{q}_{0}\left(\Omega\right)^{n}이 존재한다면,

    \[ \int_{\Omega}fdx=\lim_{k\rightarrow\infty}\int_{\Omega}\Div\boldsymbol{u}_{k}dx=\lim_{k\rightarrow\infty}\int_{\partial\Omega}\boldsymbol{u}_{k}\cdot\nu d\sigma=0 \]

을 얻기 때문이다. 여기서 \left\{ \boldsymbol{u}_{k}\right\}\boldsymbol{u}_{k}\rightarrow\boldsymbol{u} in \Sob {1}{q}\left(\Omega\right)^{n}C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right)^{n} 함수들이다.

\eta\in C_{0}^{\infty}\left(B_{1}\left(0\right);\left[0,1\right]\right) with \int_{B_{1}\left(0\right)}\eta dx=1을 하나 잡고 \eta_{R}\left(x\right)=R^{-n}\eta\left(\frac{x}{R}\right)이라 하자. 그러면 \eta_{R}\in C_{0}^{\infty}\left(B_{R}\left(0\right)\right)이고 \int_{B_{R}\left(0\right)}\eta_{R}dx=1이다.

Bogovskii은 위 결과를 증명하기 위하여 star-shaped domain에서 다음과 같은 결과를 보였다. \Omega가 star-shaped with respect to a ball B\subset\Omega라는 것은 임의의 x_{0}\in Bx\in\Omega, \lambda\in\left[0,1\right]에 대하여 \lambda x_{0}+\left(1-\lambda\right)x\in\Omega일 때를 말한다.

Lemma. Let \Omega be a bounded domain in \mathbb{R}^{n} that is star-shaped with respect to an open ball B=B_{R}\left(0\right) with \overline{B}\subset\Omega. For each f\in C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right), we define

    \begin{align*} \boldsymbol{u}\left(x\right) & =\mathcal{B}_{\Omega}\left[f\right]\left(x\right)\\ & =\int_{\Omega}f\left(y\right)\left[\frac{\left(x-y\right)}{\left|x-y\right|^{n}}\int_{\left|x-y\right|}^{\infty}\eta_{R}\left(y+r\frac{x-y}{\left|x-y\right|}\right)r^{n-1}dr\right]dy \end{align*}

for all x\in\Omega. Then

    \[ \boldsymbol{u}\in C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right)^{n},\quad\Div\boldsymbol{u}=f-\left(\int_{\Omega}fdx\right)\eta_{R}\quad\text{in }\Omega \]

and

    \[ \norm{\nabla\boldsymbol{u}}{m,q;\Omega}\le C\left(m,q,n,\delta\left(\Omega\right)/R\right)\norm f{m,q;\Omega} \]

for every m\in\mathbb{N}\cup\left\{ 0\right\} and 1<q<\infty, where \delta\left(\Omega\right) is the diameter of \Omega.

증명은 지면의 문제로 개요만 소개한다. 위와 같이 정의한 \boldsymbol{u}가 잘 정의된다는 것을 보이고 부분적분을 통해

    \begin{align*} D_{j}u^{i}\left(x\right) & =\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_{\partial B_{\varepsilon}\left(0\right)}f\left(x-z\right)\left[z_{i}\int_{0}^{\infty}\eta_{R}\left(x+rz\right)\left(r+1\right)^{n-1}dr\right]\frac{z_{j}}{\left|z\right|}d\sigma\left(z\right)\\ & \relphantom{=}+\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_{B_{\varepsilon}\left(0\right)^{c}}g\left(x-z\right)\bigg[\delta_{ij}\int_{0}^{\infty}\eta_{R}\left(x+rz\right)\left(r+1\right)^{n-1}dr\\ & \relphantom{=}+z_{i}\int_{0}^{\infty}D_{j}\eta_{R}\left(x+rz\right)\left(r+1\right)^{n}dr\biggr]\\ & =I_{1}^{ij}\left(x\right)+I_{2}^{ij}\left(x\right) \end{align*}

을 확인할 수 있으며 계산을 통해

    \[ \left|I_{1}^{ij}\left(x\right)\right|\le\left|f\left(x\right)\right| \]

을 확인할 수 있으며

    \begin{align*} \sum_{i=1}^{n}I_{1}^{ii}\left(x\right) & =f\left(x\right),\\ \sum_{i=1}^{n}I_{2}^{ii}\left(x\right) & =-\left(\int_{\Omega}fdx\right)\eta_{R}\left(x\right) \end{align*}

임을 확인할 수 있다.

I_{1}^{ij}\left(x\right)인 경우에는 pointwise estimate가 있었지만, I_{2}^{ij}\left(x\right)인 경우에는

    \[ \norm{I_{2}^{ij}}{q;\Omega}\le C\left(n,q,\frac{\delta\left(\Omega\right)}{R}\right)\norm f{q;\Omega} \]

을 보일 수 있는데, 여기서 Calderón–Zygmund singular integral theory를 사용한다. 이로서 Lemma의 증명이 끝나게 된다.

위의 Lemma은 star-shaped domain일 때 성립하는 결과다. Bounded Lipschitz domain을 다뤄본 경험이 있으면 증명은 비교적 표준적이다. 이 증명은 Galdi의 책을 참고하길 바란다.

이 증명에서 한 가지 꺼림찍한 면이라면, non-convolution type의 Calderon-Zygmund theory를 쓰고 있다는 것이다. 이 방법 이외에 다른 증명이 2가지가 더 알려져있는데, 하나는 함수해석을 강하게 쓰는 증명이고, 하나는 편미분방정식 이론에서 표준적으로 사용하는 flatterning techinque을 이용하는 것이다. 즉, 전체공간에서 풀고, 그 다음에 반공간 위에서 푼 다음에, partition of unity를 이용해서 bounded Lipschitz domain으로 바꾸는 작업이다. 그러나 이 증명에서는 반 공간에서 편미분방정식을 풀 때, Sobolev trace theory라던가, Sobolev embedding의 미묘한 파트, 차원의 특성과 관련된 문제 등등이 있어서 계산이 간단하다고 말할 수 없다.

어찌했던 이 결과를 얻기 위해서는 쉬운 길은 없고, 많은 노력이 필요하다.

 

앞의 정리의 한 응용을 제시하고자 한다. m\ge1일 때 1<q<\infty일 때, \Sob{-m}{q}\left(\Omega\right)\Sob{m}{q^{\prime}}_{0}\left(\Omega\right)의 dual space라 정의한다. 여기의 norm을 \norm{\cdot}{-m,q;\Omega}라 쓰고

    \[ \norm f{-m,q;\Omega}=\sup\left\{ \left\langle f,\phi\right\rangle :\phi\in\Sob{m}{q^{\prime}}_{0}\left(\Omega\right),\norm{\phi}{m,q^{\prime};\Omega}\le1\right\} \]

라 정의한다. 그리고 C_{0,\sigma}^{\infty}\left(\Omega\right)=\left\{ \boldsymbol{u}\in C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right)^{n}:\Div\boldsymbol{u}=0\text{ in }\Omega\right\}라 쓰자. 그러면 다음과 같은 결과가 성립한다.

Theorem. Let \Omega be a bounded Lipschitz domain in \mathbb{R}^{n}, and let m\in\mathbb{Z} and 1<q<\infty. If \boldsymbol{f}\in\Sob{m}{q}\left(\Omega\right)^{n} satisfies

    \[ \left\langle \boldsymbol{f},\boldsymbol{\Phi}\right\rangle =0\quad\text{for all }\boldsymbol{\Phi}\in C_{0,\sigma}^{\infty}\left(\Omega\right), \]

then there exists \psi\in\Sob{m+1}{q}\left(\Omega\right) such that

    \[ \boldsymbol{f}=\nabla\psi\quad\text{in }\Omega \]

and

    \[ \norm{\psi}{m+1,q;\Omega}\le C\norm{\boldsymbol{f}}{m,q;\Omega} \]

for some constant C=C\left(m,q,\Omega\right).

Proof. 우선 m\le-1일 경우, \textbf{\boldsymbol{f}}는 \Sob{-m}{q^{\prime}}_{0}\left(\Omega\right)^{n}
한 bounded linear functional이다. 그런데 \mathcal{B}=\mathcal{B}_{\Omega}\Sob{-m-1}{q^{\prime}}_{0}\left(\Omega\right)\Sob{-m}{q^{\prime}}_{0}\left(\Omega\right)^{n}으로 가는 bounded linear operator이므로

    \begin{align*} \left\langle \boldsymbol{f},\mathcal{B}\left[g\right]\right\rangle & \le\norm{\boldsymbol{f}}{m,q;\Omega}\norm{\mathcal{B}\left[g\right]}{-m,q^{\prime};\Omega}\\ & \le C\norm{\boldsymbol{f}}{m,q;\Omega}\norm g{-m-1,q^{\prime};\Omega} \end{align*}

for all g\in\Sob{-m-1}{q^{\prime}}_{0}\left(\Omega\right)이 성립한다. \psi

    \[ \left\langle \psi,g\right\rangle =-\left\langle f,\mathcal{B}\left[g\right]\right\rangle \quad\text{for all }g\in\Sob{-m-1}{q^{\prime}}_{0}\left(\Omega\right) \]

라 정의하면 duality에 의하여 \psi\in\Sob{m+1}q\left(\Omega\right)이고 \norm{\psi}{m+1,q;\Omega}\le c\norm{\boldsymbol{f}}{m,q;\Omega}가 성립한다.

만약 m=-1일 경우 Riesz representation theorem에 의하여 \psi\in\Leb{q}\left(\Omega\right)이다.

이제 \Phi\in C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right)^{n}이 주어졌다고 하자. 이제 g=\Div\boldsymbol{\Phi}라 하면

    \[ \Div\mathcal{B}\left[g\right]=\Div\boldsymbol{\Phi}-\left(\int_{\Omega}\Div\boldsymbol{\Phi}dx\right)\zeta=\Div\boldsymbol{\Phi} \]

를 얻고 \mathcal{B}\left[g\right]-\boldsymbol{\Phi}\in C_{0,\sigma}^{\infty}\left(\Omega\right)을 얻는다. 따라서

    \[ -\left\langle \psi,\Div\boldsymbol{\Phi}\right\rangle =-\left\langle \psi,g\right\rangle =\left\langle f,\mathcal{B}\left[g\right]\right\rangle =\left\langle f,\boldsymbol{\Phi}\right\rangle \]

을 얻는다. 이로서 m\le-1일 때 증명이 끝난다. m=0일 경우, 즉 \boldsymbol{f}\in\Sob{-1}{q}\left(\Omega\right)^{n}일때는 \boldsymbol{f}=\nabla\psi가 존재하는 \psi\in\Leb{q}\left(\Omega\right)가 존재한다. 비슷한 방법으로 m\ge0일 경우 \boldsymbol{f}=\nabla\psi가 되게 하는 \psi\in\Sob{m+1}{q}\left(\Omega\right)가 존재한다는 것을 어렵지 않게 보일 수 있다.

이로부터 Poincaré’s inequality을 얻을 수 있다.

Corollary. Let \Omega be a bounded Lipschitz domain in \mathbb{R}^{n} and let m\in\mathbb{Z} and 1<q<\infty. If \psi is a distribution on \Omega such that \nabla\psi\in\Sob{m}{q}\left(\Omega\right)^{n}, then \psi\in\Sob{m+1}{q}\left(\Omega\right). Moreover, if m=-1,
then

    \[ \norm{\psi-\frac{1}{\left|\Omega\right|}\int_{\Omega}\psi dx}{q;\Omega}\le C\left(n,q,\Omega\right)\norm{\nabla\psi}{-1,q;\Omega}. \]

\mathbb{R}^{n}=\bigcup_{k}B_{k}\left(0\right)임을 염두하면 다음과 같은 결론을 얻는다.

Theorem. Let 1<q<\infty. If \boldsymbol{f}\in\Leb {q}_{\mathrm{loc}}\left(\mathbb{R}^{n}\right)^{n} satisfies

    \[ \int_{\mathbb{R}^{n}}\boldsymbol{f}\cdot\boldsymbol{\Phi}dx=0\quad\text{for all }\boldsymbol{\Phi}\in C_{0,\sigma}^{\infty}\left(\mathbb{R}^{n}\right), \]

then there exists \psi\in\Sob{1}{q}_{\mathrm{loc}}\left(\mathbb{R}^{n}\right) such that

    \[ \boldsymbol{f}=\nabla\psi\quad\text{in }\Omega. \]

사실은 임의의 domain \Omega은 bounded Lipschitz domain들의 증가수열의 union으로 표현할 수 있기 때문에 전체공간이 아닌 임의의 domain에서 성립하는 결과다.

마지막으로 최신 연구결과를 소개하고 이 글을 마치고자 한다. 앞서 우리가 보인건 \Omega가 bounded Lipschitz domain, 1<q<\infty, f\in\Leb{q}\left(\Omega\right), \int_{\Omega}fdx=0일 때 \Div\boldsymbol{u}=f을 만족하는 \boldsymbol{u}\in\Sob {1}{q}_{0}\left(\Omega\right)가 존재한다는 것을 보였다.

이제 관심있는 경우가 q=1,q=\infty다. f\in\Leb{1}\left(\Omega\right)일 때 \triangle u=f를 만족하는 u\in\Sob {2}{1}\left(\Omega\right)이 존재하지 않는다는 것은 잘 알려진 결과다. 마찬가지로 f\in\Leb{\infty}\left(\Omega\right)일 때도 \triangle u=f를 만족하는 u\in\Sob{2}{\infty}\left(\Omega\right)도 존재하지 않는다는 것도 잘 알려져있다.

그러나 \Div\boldsymbol{u}=f일 경우는 구조가 달라 어떻게 될지 기대하게 되는데, 둘다 \boldsymbol{u}\in\Sob{1}{1}, \boldsymbol{u}\in\Sob{1}{\infty} 해가 없다는 것을 보일 수 있다.

우선 q=1일 때 증명을 해보도록 하자. 해당하는 명제는 2004년에 Bourgain과 Brezis가 보였다. 귀류법으로 보이고자 한다. 주어진 f\in\Leb{1}\left(\Omega\right) with \int_{\Omega}fdx=0에 대하여

    \[ \Div\boldsymbol{v}=f,\quad\norm{\boldsymbol{v}}{1,1;\Omega}\le c\norm f{1;\Omega} \]

를 만족하는 \boldsymbol{v}\in\Sob{1}{1}_{0}\left(\Omega\right)가 존재한다고 가정하자.
g\in\Leb{1}\left(\Omega\right)이라 하고 f=g-g_{\Omega}라 두자. 여기서 g_{\Omega}=\frac{1}{\left|\Omega\right|}\int_{\Omega}gdx이다. 그러면 임의의 u\in C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right)에 대하여

    \[ \left\langle \nabla u,\boldsymbol{v}\right\rangle =-\left\langle u,\Div\boldsymbol{v}\right\rangle =-\left\langle u,g-g_{\Omega}\right\rangle \]

를 얻고 Hölder’s inequality와 Poincaré’s inequality, Sobolev embedding theorem에 의하여

    \[ \left|\left\langle u-u_{\Omega},g\right\rangle \right|\le c\norm{\nabla u}{n;\Omega}\norm{\boldsymbol{v}}{\frac{n}{n-1};\Omega}\le c\norm{\nabla u}{n;\Omega}\norm{\boldsymbol{v}}{1,1;\Omega} \]

를 얻는다. 따라서

    \[ \left|\left\langle u-u_{\Omega},g\right\rangle \right|\le c\norm{\nabla u}{n;\Omega}\norm g{1;\Omega} \]

을 얻으며 duality에 의하여

    \[ \norm{u-u_{\Omega}}{\infty;\Omega}=\sup_{\norm g{1;\Omega}=1}\left|\left\langle u-u_{\Omega},g\right\rangle \right|\le c\norm{\nabla u}{n;\Omega} \]

를 얻는다. 따라서 임의의 u\in C_{0}^{\infty}\left(\Omega\right)에 대하여

    \[ \norm u{\infty;\Omega}\le c\norm{\nabla u}{n;\Omega} \]

를 얻는데, \Sob{1}{n}\Leb{\infty}에 embedding이 되지 않으므로 모순이다. 그러므로 q=1일 때는 \Div\boldsymbol{u}=f\Sob{1}{1}_{0}\left(\Omega\right) 해가 존재하지 않을 수 있다.

q=\infty일 때는 이전에 많은 사람들이 증명했다. 증명은 T. McMullen, Lipschitz maps and nets in Euclidean space, Geom. Funct. Anal. 8 (1998), 304–314를 참고하라.

Bourgain-Brezis는 2004년에 다음과 같은 비자명한 결론을 하나 얻었다.

Theorem. Let \Omega be a bounded and locally Lipschitz domain in \mathbb{R}^{n},
n\ge2. For every f\in\Leb{n}\left(\Omega\right) satisfying \int_{\Omega}fdx=0, there exists a solution \boldsymbol{v}\in\Sob{1}{n}\left(\Omega\right)\cap\Leb{\infty}\left(\Omega\right) such that \Div\boldsymbol{v}=f in \Omega. Furthermore, \boldsymbol{v}\in C\left(\overline{\Omega}\right) and obeys the following estimate

    \[ \norm{\boldsymbol{v}}{\infty;\Omega}\le c\norm f{n;\Omega}. \]

증명은 필자의 수준을 넘어가서 생략한다. 기회가 있으면 추후 쓰고자 한다.

다음 글은 이 결과를 바탕으로 Helmholtz-Weyl decomposition을 얻을 것이다.

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