PDE의 관점에서 2차원의 난점, 그리고 제한적인 극복

By | October 11, 2016

2차원은 여러모로 PDE의 관점에서 고통이 많은 공간이다. 그 예를 간단한 예를 들어보고자 한다.

Cube Q\subset\mathbb{R}^{n}을 하나 고정하고 b\in L^{n}\left(Q\right)라 하면

    \[ \Norm b_{D^{-1,2}\left(Q\right)}\le C\left|Q\right|^{\frac{1}{2}} \]

이 성립한다. 여기서 D^{-1,2}\left(Q\right)=\left(D^{1,2}\left(Q\right)\right)^{*}이며 D^{1,2}\left(Q\right)\Norm u_{D^{1,2}}=\Norm{\nabla u}_{L^{2}}노름으로 C_{0}^{\infty}에 폐포를 취한 것이다.

위 결과를 보일 때 필요한 추정은 임의의 u\in C_{0}^{\infty}\left(Q\right)에 대하여

    \[ \int_{Q}budx\le C\left|Q\right|^{\frac{1}{2}}\Norm{\nabla u}_{\Leb 2} \]

이다.

우선 n\ge3일 때 횔더부등식에 의하여

    \[ \int_{Q}budx\le\Norm b_{\Leb n\left(Q\right)}\Norm u_{L^{\frac{2n}{n-2}}\left(Q\right)}\Norm 1_{L^{2}\left(Q\right)} \]

을 얻는다. 소볼레프 부등식에 의하여 W^{1,2}\left(Q\right)\hookrightarrow L^{\frac{2n}{n-2}}\left(Q\right)이므로

    \[ \int_{Q}budx\le C\Norm b_{\Leb n\left(Q\right)}\Norm{\nabla u}_{\Leb 2\left(Q\right)}\left|Q\right|^{\frac{1}{2}} \]

를 얻는다. 이제 duality에 의하여 원하는 바를 얻는다.

그런데 이 증명에서 n=2일 때는 위와 같은 증명을 할 수 없다. 직접적인 이유는 1\cdot2=2가 되어서 소볼레프 부등식을 사용할 수 없는 경계 케이스가 되기 때문이다.

이를 극복하기 위해서는 Trudinger inequality과 같은 것을 사용해야 한다. Trudinger inequality는 상수 C>0, 적당히 작은 \beta>0가 존재해서 \Norm{\nabla v}_{\Leb 2\left(Q\right)}=1에 대하여

    \[ \int_{Q}e^{\beta\left|v\right|^{2}dx}dx\le C\left|Q\right| \]

가 되도록 성립하는 부등식이다.

이를 이용해서 증명을 한다. 위의 결과들을 종합하면

    \begin{align*} \left|\int_{Q}budx\right| & \le\int_{Q}\left|bu\right|dx\\ & \le\Norm b_{L^{2}\left(Q\right)}\Norm u_{L^{2}\left(Q\right)}\\ & \le\Norm b_{L^{2}\left(Q\right)}\left(\beta^{-1}\int_{Q}e^{\beta\left|u\right|^{2}dx}dx\right)^{\frac{1}{2}}\\ & \le C\Norm b_{\Leb 2\left(Q\right)}\left|Q\right|^{\frac{1}{2}} \end{align*}

를 얻는다. 여기서 Cu에 의존하지 않는 상수다. Scaling을 한 후 duality에 의하여 원하는 것을 얻는다.

Remark. Trudinger inequality는 다음과 같다: 임의의 \psi\in W^{1,2}_0\left(\Omega\right)에 대하여 다음을 만족하는

    \[ \int_{Q}\exp\left(\frac{\left|\psi\left(x\right)\right|^{2}}{a_{1}^{2}\Norm{\psi}_{W^{1,2}\left(\Omega\right)}^{2}}\right)\le a_{2}\left|\Omega \right| \]

상수 a_{1},a_{2}가 존재한다.

Sharp result는 Moser(1970)가 증명했다:

    \[ \sup_{\Norm{\nabla u}_{L^{2}\left(\Omega\right)}\le1}\int_{\Omega}e^{\alpha\left|u\right|^{2}}dx\begin{cases} \le c\left|\Omega\right| & \text{if }\alpha\le4\pi\\ =\infty & \text{if }\alpha>4\pi \end{cases} \]

그러므로 우리의 증명에는 문제가 없다.

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