Determinant

By | March 30, 2016

이 글에서는 행렬식(determinant)을 정의하고 여러가지 성질들에 대해서 논하고 증명하도록 한다.

보통 선형대수학 책에서는 adjoint expansion을 이용해서 귀납적으로 정의를 한다. 이렇게 정의하면 ‘계산’을 하는데 장점을 가지게 된다. 그렇지만 어떤 성질을 유도하기에는 그렇게 적합한 형태는 아니다.  이 글에서는 행렬식을 형식적으로 정의를 하고자 한다. 이렇게 정의했을 때는 계산의 장점을 잃어버리지만, 여러가지 성질들을 유도할 때 유용한 면이 있다.

Definition 1. 실수성분을 갖는 n\times n 행렬들의 몽모임들을 정의역으로 갖는 실함수 f가 다음의 성질들을 모두 만족하면 이를 행렬식 함수(determinant function)이라 한다:

  1. f(I_n)=1
  2. f의 두 행이 서로 바뀔 경우 부호가 바뀐다. 즉, BA에서 두 행만 서로 바뀌었을 때, f(B)=-f(A)이다.
  3. f는 첫번째 행에서 선형성을 갖는다. 즉,

        \[ f\begin{bmatrix}a\mathbf{r}_{1}+\mathbf{r}_{1}^{\prime}\\ \mathbf{r}_{2}\\ \vdots\\ \mathbf{r}_{n} \end{bmatrix}=af\begin{bmatrix}\mathbf{r}_{1}\\ \mathbf{r}_{2}\\ \vdots\\ \mathbf{r}_{n} \end{bmatrix}+f\begin{bmatrix}\mathbf{r}_{1}^{\prime}\\ \mathbf{r}_{2}\\ \vdots\\ \mathbf{r}_{n} \end{bmatrix} \]

    이다.

이 함수의 성질을 갖는 것은 유일하므로 f=\det라 쓴다.

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