Limit points of {sin n}

By | March 24, 2016

Proposition 1. \alpha가 무리수일 때, A=\left\{ m+n\alpha:m,n\in\mathbb{Z}\right\}\mathbb{R}에서 dense하다.

Proof. \left\langle \alpha\right\rangle ,\left\langle 2\alpha\right\rangle ,\dots\left\langle \left(n+1\right)\alpha\right\rangle와 같은 수열을 생각하자. 여기서 n\ge1은 임의의 정수다. \alpha\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}이므로 \left\langle j\alpha\right\rangle \neq\left\langle k\alpha\right\rangle for any 1\le j<k\le n+1이다. 이제

    \[ \left\{ \left\langle \alpha\right\rangle ,\left\langle 2\alpha\right\rangle ,\dots,\left\langle \left(n+1\right)\alpha\right\rangle \right\} \subset\left[0,1\right)=\bigcup_{k=1}^{n}\left[0,\frac{1}{k}\right) \]

가 성립한다. 그러므로 비둘기집의 원리에 의하여 적어도 한 쌍 \left\langle p\alpha\right\rangle ,\left\langle q\alpha\right\rangle\left(1\le p<q\le n+1\right)\left[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right)에 있다. 다시 말해 \left|\left\langle p\alpha\right\rangle -\left\langle q\alpha\right\rangle \right|<\frac{1}{n}이다.
이제

    \[ a_{n}=\left\langle p\alpha\right\rangle -\left\langle q\alpha\right\rangle =\left(p-q\right)\alpha+\left[q\alpha\right]-\left[p\alpha\right]\in A \]

라는 것을 기억하고 \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0이라는 것을 기억하자. 그런데 a_{n}\neq0이므로 B=\left\{ ka_{n}:k\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N}\right\}\mathbb{R}에서 dense하다. B\subset A이므로 원하는 바를 얻는다.


 

Example 1. \left\{ \sin n\right\}의 limit point들을 찾아라.

Proof. y\in\left[-1,1\right]에 대하여 x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]를 만족하는 \sin x=y가 존재한다. Kronecker’s density theorem에 의하여 a_{n}=p_{n}+2\pi q_{n}, \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=x를 만족하는 p_{n},q_{n}\in\mathbb{Z}이 존재한다. 다시 말해 p_{n}\neq0 for infinitely many n이다. 그러므로 p_{n}\neq0 for all n\ge1이라 해도 무방하다. a_{n}\rightarrow x이므로 \sin a_{n}=\sin p_{n}\rightarrow\sin x=y이다.
이제 두 가지 경우로 나누어서 증명한다.
(i) p_{n}>0 for infinitely many n\ge1. 증명 끝
(ii) p_{n}>0이 finitely many한 경우. 이런 경우에는 p_{n}<0 for all n\ge1이라 가정해도 무방하다. b_{n}=\pi-a_{n}=-p_{n}-\left(2q_{n}-1\right)\pi라 하면 b_{n}\rightarrow\pi-x이다. 그러므로 -p_{n}>0이고 \sin b_{n}\rightarrow\sin\left(\pi-x\right)=\sin x=y이다.

따라서 \left\{ \sin n\right\} ^{\prime}=\left[-1,1\right]이다.

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