Brief Introduction to Hardy space

By | March 15, 2016

이 글에서는 Hardy 공간과 그에 관련된 중요한 결과들을 소개하고자 한다. Hardy 공간의 필요성은 여러 이유에서 나타난다. 전혀 관계가 없어보이는 결과도 Hardy 공간을 도입할 경우, 보다 증명을 간편하게 할 수 있는 경우가 종종 발생한다. 쉽게 소개할 수 있는 이유로는 Hardy-Littlewood maximal function에서 나온다. \mathbb{R}^{d}에서 정의된 measurable function f에 대하여 (uncentered) Hardy-Littlewood maximal
function은

    \[ M\left(f\right)\left(x\right)=\sup_{x\in B}\frac{1}{\left|B\right|}\int_{B}\left|f\left(y\right)\right|dy \]

라 정의된다. 여기서 B는 ball이며 \left|\cdot\right|\mathbb{R}^{d}의 Lebesgue measure를 말한다.

Hardy-Littlewood maximal function은 1<p\le\infty에 대하여

    \[ \norm{Mf}{L^{p}}\le C_{p}\norm f{L^{p}} \]

를 만족한다. 여기서 p=1일 때 성립하지 않는다. 그렇기 때문에 L^{p}공간을 자연스럽게 대체할 수 있는 공간으로서 어떤 것이 있는지 살펴보는 것이 중요하다. \mathcal{S}\mathbb{R}^{d}에서 정의된 Schwarz function들의 모임이라 하자. Tempered distribution f, \Phi\in\mathcal{S}에 대하여

    \[ M_{\Phi}f\left(x\right)=\sup_{t>0}\left|\left(f*\Phi_{t}\right)\left(x\right)\right| \]

라 정의하자. 여기서 \Phi_{t}\left(x\right)=\frac{1}{t^{d}}\Phi\left(\frac{x}{t}\right)를 말하며, convolution은 임의의 h\in C_{0}^{\infty}에 대하여

    \[ \left\langle f*\Phi,h\right\rangle =\left\langle f,\tilde{\Phi}*h\right\rangle \]

로 정의된 것이다. 참고로 \left(f*\Phi_{t}\right)\left(x\right)\in C^{\infty}이므로 M_{\Phi}f는 함수다.

이제부터 Hardy space를 정의하면 다음과 같다.

Definition. \mathbb{R}^{d}위에서의 tempered distribtuion f에 대하여

    \[ M_{\Phi}f\in L^{p}\left(\mathbb{R}^{d}\right) \]

를 만족하게 하는 \Phi\in\mathcal{S}, \int\Phi dx\neq0이 존재하면 fH^{p}\left(\mathbb{R}^{d}\right)의 원소라고 말한다.

첫번째로 중요한 관찰로, H^{p}=L^{p} for p>1이다. 그러므로 어떤 의미에서 H^{p}L^{p}공간의 일반화로 간주할 수 있다.

Hardy 공간의 미묘한 현상은 0<p\leq1일 때 발생한다. 그나마 다행인건 L^{1}함수일 때 가지고 있던 Calderon-Zygmund decomposition을 확장해서 H^{p}공간에도 적용할 수 있다는 것이다. 이 글에서는 그 원리를 설명하기에는 다소 복잡해서 적절치는 못하다.

아무튼간에 확장된 Calderon-Zygmund decomposition에 인하여 H^{p}\left(p\le1\right)의 원소를 단순한 성질을 갖는 함수들의 합으로 표현할 수 있는 기반을 갖게 된다. 이를 Atomic decomposition이라 하는데, 그 근본이 되는 H^{p}-atom을 정의하면 다음과 같다.

Definition. p\le1일 때, 다음의 성질을 갖는 함수 aH^{p}-atom이라 한다:

  1. \item a의 support는 한 ball의 부분집합이고,
  2. \left|a\right|\le\left|B\right|^{-\frac{1}{p}} a.e.이고
  3. \int x^{\beta}a\left(x\right)dx=0 for all \beta with \left|\beta\right|\le n\left(\frac{1}{p}-1\right)
    만족한다.

우선 aH^{p}-atom이면, a\in H^{p}이다. 그리고 1과 2에 의하여 \int\left|M_{\Phi}\left(a\right)\right|^{p}dx\le c라는 것을 확인할 수 있다. 여기서 ca에 의존하지 않는 상수다.

이제 중요한 관찰을 시작한다. 만약 \left\{ a_{k}\right\}H^{p}-atom들의 sequence이고 \left\{ \lambda_{k}\right\} \subset\mathbb{C}이면서 \sum_{k}\left|\lambda_{k}\right|^{p}
만족하면

    \[ f=\sum_{k}\lambda_{k}a_{k} \]

는 distribution sense로 수렴하고 f\in H^{p}가 성립한다. 사실 증명이 어렵지는 않다.

\Phi\in\mathcal{S}, \int\Phi dx\ne0에 대하여

    \[ M_{\Phi}\left(f\right)=M_{\Phi}\left(\sum_{k}\lambda_{k}a_{k}\right)\le\sum_{k}\left|\lambda_{k}\right|M_{\Phi}\left(a_{k}\right) \]

가 성립하며 p\le1이기 때문에

    \[ \left(\sum_{k}\left|\lambda_{k}\right|M_{\Phi}\left(a_{k}\right)\right)^{p}\le\sum_{k}\left|\lambda_{k}\right|^{p}M_{\Phi}\left(a_{k}\right)^{p} \]

가 성립한다. 따라서

    \[ \int\left|M_{\Phi}\left(f\right)\right|^{p}dx\le\sum_{k}\left|\lambda_{k}\right|^{p}\int M_{\Phi}\left(a_{k}\right)^{p}dx\le c\sum_{k}\left|\lambda_{k}\right|^{p}<\infty \]

가 성립하므로 f\in H^{p}이다.

반대 또한 성립한다는 것이 알려져있으며 이는 Fefferman과 Stein의 결과다.

Theorem.
p\le1 이라 하자. 그러면 f\in H^{p}H^{p}-atom들의 합으로 표현할 수 있다. 즉,

    \[ f=\sum_{k}\lambda_{k}a_{k}, \]

a_{k}H^{p}-atom들이고 \sum_{k}\left|\lambda_{k}\right|^{p}\le c\norm f{H^{p}}
만족한다.

이 증명에서 Calderon-Zygmund decomposition을 강력하게 사용한다. 증명은 소개하지 않는다.

다만 Hardy 공간이 어떤 의미에서는 조금 안 좋은 공간인게, 처음에 언급한 maximal function을 적용하기에는 그닥 좋은 공간은 아니다. 첫 번째로 Hardy 공간에서 H^{p}-atom만 생각해도 cancellation property를 가지고 있는데, Hardy-Littlewood maximal function은 절댓값으로서 정의되어 있다. 그렇기 때문에 f\in H^{p}의 atom들이 가지고 있는 cancellation property를 사용하기가 매우 곤란한 개념이 된다. 또한 근본적으로 Hardy-Littlewood maximal function은 정확히 말해 characteristic function들을 가지고 cut-off를 하고 있는 상황이라 말할 수 있는데, smoothness를 잃어버리는 상황이라 닥 좋지는 못하다. H^{p} 공간의 특성을 고려할 때 그닥 좋지만은 않은 상황이다.

그래서 이 공간에서는 대체재로서 M_{\Phi} 함수를 고려해야 한다. 참고로 임의의 L^{p}\left(\mathbb{R}^{d}\right)\left(1\le p\le\infty\right)에 대하여 \Phi가 radially decreasing with \int\Phi dx\neq0이면,

    \[ M_{\Phi}\left(f\right)\le CM\left(f\right) \]

인 것 또한 확인할 수 있다. Approximation to the identity를 염두하면 거의 모든 x에 대하여

    \[ \left|f\left(x\right)\right|\le M_{\Phi}\left(f\right)\le CM\left(f\right) \]

또한 얻을 수 있다.

p=1일 때 다음의 결과가 성립한다.

Theorem.
\Phi\in C_{c}^{1}\left(\mathbb{R}^{d}\right) 라 하자. f\in H^{1}이면
M_{\Phi}\left(f\right)\in L^{1}이고

    \[ \norm{M_{\Phi}\left(f\right)}{L^{1}\left(\mathbb{R}^{d}\right)}\le C\norm f{H^{1}\left(\mathbb{R}^{d}\right)} \]

이다.

Proof. f\in H^{1}\left(\mathbb{R}^{d}\right)라 하고 f=\sum_{k}\lambda_{k}a_{k}를 atomic decomposition이라 하자. 그러면

    \[ M_{\Phi}\left(f\right)\le\sum_{k}\left|\lambda_{k}\right|M\left(a_{k}\right) \]

가 성립하므로 f=a_{k}일때 원하는 식이 잘 성립하는지만 확인하면 된다.

a_{r}\left(x\right)=r^{d}a\left(rx\right), r>0이라 정의하면

    \[ \left(a_{r}*\Phi_{\varepsilon}\right)\left(x\right)=r^{d}\left(a*\Phi_{\varepsilon r}\right)\left(rx\right) \]

가 잘 성립하므로

    \[ M_{\Phi}\left(a_{r}\right)\left(x\right)=r^{d}M_{\Phi}\left(a\right)\left(rx\right) \]

가 성립한다. 그리고 a\mapsto M_{\Phi}\left(a\right)가 translation invariant이므로 a의 support of ball의 center가 origin이고 unit ball이라 해도 무방하다.

우선 \left|x\right|\le2일 때, M\left(a\right)\left(x\right)\le c이므로 \int_{\left|x\right|\le2}M\left(a\right)\left(x\right)dx\le c^{\prime}을 만족한다. 두 번째 경우에는 a의 cancellation property에 의하여

    \begin{align*} \left(a*\Phi_{\varepsilon}\right)\left(x\right) & =\varepsilon^{-d}\int_{\mathbb{R}^{d}}a\left(y\right)\Phi\left(\frac{x-y}{\varepsilon}\right)dy\\ & =\varepsilon^{-d}\int_{\mathbb{R}^{d}}a\left(y\right)\left[\Phi\left(\frac{x-y}{\varepsilon}\right)-\Phi\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)\right]dy \end{align*}

를 갖는다. 그런데 \left|x\right|\ge2, \left|y\right|\le1이므로 \left|x-y\right|\ge\frac{\left|x\right|}{2}
성립하며 \Phi\in C^{1}이므로 mean value theorem에 의하여

    \[ \left|\Phi\left(\frac{x-y}{\varepsilon}\right)-\Phi\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)\right|\le\frac{C}{\varepsilon} \]

C>0가 존재한다.

\Phi가 compact support를 가지므로 적당히 큰 A에 대하여 \left|\frac{x-y}{\varepsilon}\right|\le A가 아니라면 \left(a*\Phi_{\varepsilon}\right)\left(x\right)=0을 갖는다. 그리고 이 조건으로부터

    \[ \frac{\left|x\right|}{2A}\le\frac{1}{A}\left|\left|x\right|-\left|y\right|\right|\le\frac{\left|x-y\right|}{A}\le\varepsilon \]

를 갖는다.

그런 x들에 대하여

    \[ \varepsilon^{-d}\left|\Phi\left(\frac{x-y}{\varepsilon}\right)-\Phi\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)\right|\le c\varepsilon^{-d-1}\le\frac{c^{\prime}}{\left|x\right|^{d+1}} \]

가 성립하므로 \int_{\left|x\right|\ge2}M\left(a\right)\left(x\right)dx\le c가 성립한다. 따라서 원하는 결과가 증명이 된다.

그러므로 어떤 의미에서 H^{1}L^{1}을 대체할 수 있는 좋은 공간이라는 것을 확인할 수 있다.

Hardy 공간의 위력을 확인하기 위해서는 더 많은 수학들이 필요하다. 증명을 하지 않고 중요한 결과들만 소개하도록 한다.

Locally integrable function f에 대하여 임의의 ball B에 대하여

    \[ \frac{1}{\left|B\right|}\int_{B}\left|f\left(x\right)-f_{B}\right|dx\le A \]

를 만족하는 상수 A가 존재하면 이 때 f가 bounded mean oscillation 함수라고 한다. (줄여서 BMO라 한다.) 여기서 f_{B}=\frac{1}{\left|B\right|}\int_{B}fdx이다.

이전에 L^{p}공간의 duality를 공부했을 때, 1\le p<\infty이고 \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1일 때 \left(L^{p}\right)^{*}=L^{q} 가 된다는 것을 알고 있다. Hardy 공간도 비슷한 결과를 가지고 있다. Fefferman이 density argument를 이용해서

    \[ \left(H^{1}\right)^{*}=\mathrm{BMO} \]

라는 결과를 얻었다. 이 결과는 PDE에서도 강력한 응용이 있을 정도로 매우 중요한 결과다.

1<p<\infty일 때, L^{p}은 reflexive이므로 locally sequentially weak compactness를 가지고 있다. 그러나 L^{1}은 weak compactness라는 관점에서 그렇게 좋은 성질을 가지고 있는 공간은 아니다. 반례또한 쉽게 발견된다.

반면 H^{1}은 weak compactness를 가지고 있는 좋은 공간이다. 이 이유는

    \[ H^{1}=\left(\mathrm{VMO}\right)^{*} \]

이고 \mathrm{VMO}가 separable Banach space이기 때문에 가능한 일이다. 여기서 VMO는 vanishing mean oscillation의 약자로

    \[ \lim_{\mathrm{diam}\left(B\right)\rightarrow0\text{ or }\infty}\frac{1}{\left|B\right|}\int_{B}\left|f\left(x\right)-f_{B}\right|dx=0 \]

일때를 말한다.

또 하나 중요한 결과로서 sharp function이란 도구의 강력함을 소개한다. Locally integrable function f에 대하여 sharp function f^{\sharp}

    \[ f^{\sharp}\left(x\right)=\sup_{x\in B}\frac{1}{\left|B\right|}\int_{B}\left|f\left(y\right)-f_{B}\right|dy \]

라 정의한다. 여기서 supremum은 x를 포함하는 ball B에 대해서 취한다.

당연한 관찰로 f^{\sharp}이 bounded function이면 f\in\mathrm{BMO}이다.

한가지 자명한 관찰로

    \[ f^{\sharp}\left(x\right)\le2Mf\left(x\right) \]

를 얻는다. 그러므로 1<p\le\infty에 대하여 Hardy-Littlewood maximal function의
L^{p} boundedness에 의하여

    \[ \norm{f^{\sharp}}{L^{p}}\le C_{p}\norm f{L^{p}} \]

를 얻는다.

그럼 반대도 성립할지 궁금한데, 이에 대해서 Fefferman과 Stein이 증명했다.

Theorem. 1<p<\infty이라 하자. 만약 f\in L^{p}\left(\mathbb{R}^{d}\right)이면

    \[ \norm f{L^{p}}\le A_{p}\norm{f^{\sharp}}{L^{p}} \]

만족하는 상수 A_{p}가 존재한다. 여기서 A_{p}f에 의존하지 않는다.

크게 두 가지 방법이 있으나, H^{1} 공간의 관점으로 분석해서 얻어낼 수 있다. 다른 증명방법은 filtration of partition을 이용한 방법 또한 존재한다.

이런 관점에서 해석학의 여러결과를 유도하는데에 Hardy 공간은 꽤나 큰 역할을 하고 있다는 것을 확인할 수 있다.

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