Week 1. Infimum and Supremum

By | March 5, 2016

 

이 연재는 현재 서강대학교 수학과 고등미적분학의 진도에 맞춰 연재를 하는 글이다. 이 글에서는 교과서에 나온 정리를 증명하지는 않고, 예제들은 증명을 하도록 한다.

고등미적분학은 실수체를 바탕으로 함수의 극한의 존재성, 연속성, 미분가능성, 적분에 관련된 것을 공부하는 기본과목이다.

그렇기 때문에 처음에는 실수라는 것은 어떤 성질을 가지고 있는지 파악을 하는 것이 먼저다.

실수 구조는 크게 세 가지 요소로 구성되어있다. 하나는 사칙연산, 하나는 순서, 하나는 완비성이다. 사칙연산은 익숙한 것이므로 생략하고, 이번 글에서는 순서에 집중해서 이야기를 하고자 한다. 다음은 일반적인 순서의 정의와 순서집합의 정의다.

이 글에서는 자연수, 정수, 유리수에 대해서 이미 알고 있다고 전제한다. 이 내용에 대해서 알고 싶은 사람은 [이 글]을 참고하라.

Definition 1. S를 집합이라 하자. S의 \term{순서}{order}란 기호로 <라 쓰는 관계이며 다음의 성질을 두 성질을 만족한다: (i) 만약 x\in S이고 y\in S이면 셋 중 하나는 반드시 참이다: x<y, x=y, y<x 또 만약 x,y,z\in S이고 x<y, y<z이면 x<z이다.

어떤 집합 S가 순서집합(ordered set)이라는 것은 S에 순서가 정의된 집합을 말한다.

예를 들어 유리수 집합 \mathbb{Q}r<sr-s가 양의 유리수인 경우라 정의를 하면 이는 순서가 되며 \mathbb{Q}는 이 관계에 의하여 순서집합이 된다.

이제 중요한 개념을 하나 정의한다.

Definition 2. S가 순서집합이라 하고 E\subset S라 하자. 임의의 x\in E에 대하여 x\leq S를 만족하는 \beta\in S가 존재하면, E를 위로 유계(bounded above)라 하고 \betaE의 상계(upper bound)라 한다.

하계(lower bound)도 비슷한 방식으로 정의한다.

Definition 3. S를 순서집합이라 하고 E\subset S를 위로 유계(bounded above)라 하자. 다음의 성질을 갖는 \alpha\in SE의 상한(supremum, least upper bound)이라 한다:

  • \alphaE의 상계(upper bound)다.
  • 만약 \gamma <\alpha이면 \gammaE의 상계가 아니다.

이 때 기호로 \alpha=\sup_S{E}로 쓴다. 만약 S가 문맥상 분명한 집합이면 생략을 한다. 하한(infimum, greatest lower bound) 또한 비슷한 방식으로 정의할 수 있다.

Example 1. \sup{E},\inf{E}은 반드시 E에 들어갈 필요가 없다. 이에 대한 예시로

    \[ E = \left\{ \frac{1}{n} : n\in \mathbb{N} \right\} \]

를 생각해보도록 하자. 지금은 엄밀하게 증명하는 것보다 느낌을 아는 것이 중요하다. 이 예시에서 \sup{E}=1이고 \inf{E}=0이다. 그러나 1\in E이지만 0\notin E이다.

이제 정말 중요한 개념을 정의하도록 한다.

Definition 4. 순서집합 S가 다음의 성질을 만족한다면 least upper bound property를 갖는다고 한다: 공집합이 아닌 집합 E\subset S가 위로 유계(bounded above)일 경우, \sup_S{E} \in S가 항상 존재한다.

실수는 유리수 체 \mathbb{Q}를 부분집합으로 갖고 사칙연산이 정의되어있고 least upper bound property를 갖는 순서집합이라고 정의한다. 이 때 특별히 least upper bound property를 완비성 공리(Completeness Axiom)이라 부른다.

그렇지만 실수를 정의는 했지만, 문제는 이런 `수학적 대상’가 실제로 있을 지에 대해서는 현재로서는 알 방법이 없다. 그렇지만 데데킨트 컷이나 나중에 배울 코시 수열이라는 개념을 이용해서 실수라는 것이 존재한다는 것을 증명할 수 있다. 그러나 이 내용은 고등미적분학에 적절하지 못한 내용으로 생략하는 것이 바람직하다. 데데킨트 컷으로 만드는 과정이 궁금한 사람은 [루딘]을 참고하고, 코시 수열이라는 개념을 이용해서 만드는 과정은 [이 글]을 참고하라.

다음은 실수의 특성 중 완비성과 관련된 결과를 보여준다. 증명은 하지 않는다.

Theorem 1.

  1. x,y\in \mathbb{R}이고 x>0이면 nx>y를 만족하는 자연수 n이 존재한다.
  2. x,y\in \mathbb{R}이고 x<y이면 x<p<y를 만족하는 유리수 p가 존재한다.

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