Sobolev Embedding

By | February 10, 2016

Sobolev space \Sob kp\left(\Omega\right)는 거칠게 말하면 \Omega에서 정의된 함수 f\Leb p\left(\Omega\right) 함수이고 k-times weak derivative 또한 \Leb p\left(\Omega\right)인 함수들의 모임을 말한다.

기본적으로 Sobolev embedding은 다음과 같은 경우를 말한다. k>\ell이고 \left(k-\ell\right)p<d이고

    \[ \frac{1}{q}=\frac{1}{p}-\frac{k-\ell}{d} \]

를 만족하는 1\le p<q<\infty을 생각하자. 그러면

    \[ \Sob kp\left(\mathbb{R}^{d}\right)\subset\Sob{\ell}q\left(\mathbb{R}^{d}\right) \]

가 성립하며 이 embedding은 continuous이다. 특히 k=1이고 \ell=0일 때,

    \[ \Sob 1p\left(\mathbb{R}^{d}\right)\subset L^{p^{*}}\left(\mathbb{R}^{d}\right) \]

가 성립한다. 여기서 p^{*}\frac{1}{p*}=\frac{1}{p}-\frac{1}{d}를 만족하는 수다. 이 절에서는 간단한 수준의 Sobolev inequality, k=1이고 \ell=0일 때를 증명하는 것을 목표로 한다.

1. Riesz potential and Hardy-Littlewood-Sobolev theorem

이 절에서는 Riesz potential을 정의하고 I_{\alpha}의 성질을 알려주는 Hardy-Littlewood-Sobolev theorem을 증명한다. f\in\mathcal{S}\left(\mathbb{R}^{d}\right)에 대하여

    \[ -\widehat{\triangle f}\left(\xi\right)=4\pi^{2}\left|\xi\right|^{2}\hat{f}\left(\xi\right) \]

를 얻는다. 그러면 Fourier inversion에 의하여

    \[ -\triangle f\left(x\right)=\int_{\mathbb{R}^{d}}\left(2\pi\left|\xi\right|\right)^{2}\hat{f}\left(\xi\right)e^{2\pi ix\cdot\xi}d\xi \]

를 얻는다. 그러므로 위 관찰로부터 다음과 같은 일반화를 시도하는 것이 자연스럽다. 임의의 a>0에 대하여

    \[ \left(-\triangle\right)^{a}f\left(x\right)=\int_{\mathbb{R}^{d}}\left(2\pi\left|\xi\right|\right)^{2a}\hat{f}\left(\xi\right)e^{2\pi ix\cdot\xi}d\xi \]

라 정의하자.

여기서 a가 양의 정수이면 \left(2\pi\left|\xi\right|\right)^{2a}\xi_{i}들의 polynomial이므로 f\in\mathcal{S}\left(\mathbb{R}^{d}\right)일 경우 위 operator는 잘 정의되어있다. 이런 관점에서 \left(-\triangle\right)^{a}f에 미분하는 것처럼 생각할 수 있는 연산으로 간주 할 수 있다.

이와 관련해서 다음과 같은 개념을 정의한다.

Definition. 0<\alpha<d일 때 f\in\mathcal{S}\left(\mathbb{R}^{d}\right)에 대하여

    \[ \left(I_{\alpha}f\right)\left(x\right)=\frac{1}{\gamma\left(\alpha\right)}\int_{\mathbb{R}^{d}}\frac{f\left(y\right)}{\left|x-y\right|^{d-\alpha}}dy \]

라 정의하자. I_{\alpha}를 Riesz potential이라 부른다. 여기서

    \[ \gamma\left(\alpha\right)=\frac{\pi^{\frac{d}{2}}2^{\alpha}\Gamma\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{d-\alpha}{2}\right)} \]

이다.

I_{\alpha}는 잘 정의된 operator이다. 왜냐하면 \frac{1}{\left|x\right|^{d-\alpha}}는 locally integrable하기 때문이고 f\in\mathcal{S}\left(\mathbb{R}^{d}\right)의 decay가 워낙 좋기 때문이다. 그리고 잘 알려진 사실로 0<\alpha<d일 경우 \left(I_{\alpha}f\right)^{\wedge}\left(\xi\right)=\left(2\pi\left|\xi\right|\right)^{-\alpha}\hat{f}\left(\xi\right)
있다. 이는

    \[ I_{\alpha}\left(f\right)=\left(-\triangle\right)^{-\frac{\alpha}{2}}\left(f\right) \]

가 성립한다는 것을 알려주며, I_{\alpha}는 어떤 의미에서의 Laplacian의 일반화로 간주할 수 있다.

Remark. distribution의 언어를 사용하면 \alpha의 제한 범위를 더 풀 수 있으나, 이 글에서는 그런 방향은 지양한다.

그리고 f\in\Leb p인 경우에도 거의 모든 x에 대하여 I_{\alpha}\left(f\right)\left(x\right)가 잘 정의됨을 보일 수 있다. 이에 대한 증명은 이 글의 원 목적과는 거리가 멀기 때문에 Stein, Singular integral을 참고하라.

다음의 Theorem은 Riesz potential의 성질을 보여주는 중요한 정리라 할 수 있겠다.

Theorem (Hardy-Littlewood-Sobolev theorem of fractional integration). 0<\alpha<d라 하고 1\le p<q<\infty, \frac{1}{q}=\frac{1}{p}-\frac{\alpha}{d}
하자. 그러면

    \[ \norm{I_{\alpha}f}{\Leb q}\le C\norm f{\Leb p} \]

for all f\in\Leb p\left(\mathbb{R}^{d}\right)가 성립하는 constant C=C\left(d,p,\alpha\right)
존재한다.

증명하는 방법은 여러가지가 있지만, 이 글에서는 Hardy-Littlewood maximal function을 이용하고자 한다.

이를 증명하기 위해서, 다음의 lemma가 필요하다.

Lemma. 0<\alpha<d라 하고 \delta>0라 하면

    \[ \int_{B\left(x,\delta\right)}\frac{\left|f\left(y\right)\right|}{\left|x-y\right|^{d-\alpha}}dy\le C\delta^{\alpha}Mf\left(x\right) \]

for all x\in\mathbb{R}^{d}가 성립하는 constant C=C\left(d,\alpha\right)가 존재한다.

Proof. x\in\mathbb{R}^{d}라 하고 \delta>0라 잡은 후

    \[ A_{k}=B\left(x,\frac{\delta}{2^{k}}\right)\setminus B\left(x,\frac{\delta}{2^{k+1}}\right) \]

라 하자.

    \[ B\left(x,\delta\right)=\bigcup_{k=0}^{\infty}A_{k} \]

라는 것은 쉬운 관찰이다. 그리고 이 union은 disjoint다.

이제

    \begin{align*} & \relphantom{=}\int_{B\left(x,\delta\right)}\frac{\left|f\left(y\right)\right|}{\left|x-y\right|^{d-\alpha}}dy\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\int_{A_{k}}\frac{\left|f\left(y\right)\right|}{\left|x-y\right|^{d-\alpha}}dy\\ & \le\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{\delta}{2^{k+1}}\right)^{\alpha-d}\int_{A_{k}}\left|f\left(y\right)\right|dy\\ & \le m\left(B\left(0,1\right)\right)\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{\delta}{2^{k+1}}\right)^{\alpha-d}\left(\frac{\delta}{2^{k}}\right)^{d}\frac{1}{m\left(B\left(0,\frac{\delta}{2^{k}}\right)\right)}\int_{B\left(x,\frac{\delta}{2^{k}}\right)}\left|f\left(y\right)\right|dy\\ & \le m\left(B\left(0,1\right)\right)\frac{\delta^{\alpha}}{2}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{k\alpha}}\right)Mf\left(x\right)\\ & \le C\left(d,\alpha\right)Mf\left(x\right) \end{align*}

가 성립하므로 증명이 끝난다.


Proof of Theorem. \delta>0를 고정하고 p^{\prime}p의 Hölder conjugate라 하자. 그러면 Hölder’s inequality에 의하여

    \begin{align*}  & \relphantom{=}\int_{\mathbb{R}^{d}\setminus B\left(x,\delta\right)}\frac{\left|f\left(y\right)\right|}{\left|x-y\right|^{d-\alpha}}dy\\  & \le\left(\int_{\mathbb{R}^{d}\setminus B\left(x,\delta\right)}\left|f\left(y\right)\right|^{p}dy\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_{\mathbb{R}^{d}\setminus B\left(x,\delta\right)}\frac{1}{\left|x-y\right|^{\left(d-\alpha\right)p^{\prime}}}dy\right)^{\frac{1}{p^{\prime}}}\\  & \le\norm f{\Leb p}\left(c_{d}\int_{\delta}^{\infty}s^{d-1-\left(d-\alpha\right)p^{\prime}}ds\right)^{\frac{1}{p^{\prime}}} \end{align*}

을 얻는다. 그런데 d-\left(d-\alpha\right)p^{\prime}<0로부터 적분의 수렴성이 보장받으며
이는

    \[ C\left(d,p,\alpha\right)\delta^{\alpha-\frac{d}{p}}\norm f{\Leb p} \]

와 같이 쓸 수 있다.

그러므로 앞의 Lemma에 의하여

    \[ \left|I_{\alpha}f\left(x\right)\right|\le C\left(\delta^{\alpha}Mf\left(x\right)+\delta^{\alpha-\frac{d}{p}}\norm f{\Leb p}\right) \]

를 얻는다. 이제

    \[ \delta=\left(\frac{Mf\left(x\right)}{\norm f{\Leb p}}\right)^{-\frac{p}{d}} \]

로 놓으면

    \[ \delta^{\alpha}Mf\left(x\right)=\left(Mf\left(x\right)\right)^{1-\frac{\alpha p}{d}}\norm f{\Leb p}^{\frac{\alpha p}{d}} \]

를 얻고

    \[ \delta^{\alpha-\frac{d}{p}}\norm f{\Leb p}=\left(Mf\left(x\right)\right)^{1-\frac{\alpha p}{d}}\norm f{\Leb p}^{\frac{\alpha p}{d}} \]

를 얻는다.

이제

    \begin{align*} \left|I_{\alpha}f\left(x\right)\right|^{q} & \le C\left(Mf\left(x\right)\right)^{q\left(1-\frac{\alpha p}{d}\right)}\norm f{\Leb p}^{\frac{\alpha pq}{d}}\\  & =C\left(Mf\left(x\right)\right)^{p}\norm f{\Leb p}^{\frac{\alpha pq}{d}} \end{align*}

를 얻고 Hardy-Littlewood maximal function의 \Leb p-boundedness에 의하여

    \[ \norm{I_{\alpha}f}{\Leb q}\le C\norm f{\Leb p} \]

를 얻는다.


Remark. 다른 증명으로는 Marcinkiewicz interpolation theorem을 이용하는 방법도 있다.

2. Sobolev Embedding Theorem

이 글의 Main Theorem인 Sobolev Embedding Theorem을 제시한다.

Theorem. k를 양의 정수라 하고 \frac{1}{p^{*}}=\frac{1}{p}-\frac{k}{d}라 하자. p^{*}<\infty이면(다시 말해 p<\frac{d}{k}) \Sob kp\left(\mathbb{R}^{d}\right)\subset L^{p^{*}}\left(\mathbb{R}^{d}\right)이고 이 inclusion map은 continuous이다.

Proof. k=1일 때만 보여도 충분하다. f\in C_{0}^{\infty}\left(\mathbb{R}^{1}\right)에 대하여

    \[ f\left(x\right)=\int_{0}^{\infty}f^{\prime}\left(x-t\right)dt \]

가 fundamental theorem of calculus에 의하여 잘 성립하며, 이 결과의 d-dimensional analogue는

    \[ f\left(x\right)=\int_{0}^{\infty}\left\langle \nabla f\left(x-\xi t\right),\xi\right\rangle dt \]

이다. 여기서 \xi\in\mathbb{S}^{d-1}이며 \nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}},\dots,\frac{\partial f}{\partial x_{d}}\right)이다.
식은 chain rule과 fundamental theorem of calculus에 의해 쉽게 얻는다.

이제 위의 양변에 \xi\in\mathbb{S}^{d-1}위에서 적분을 취하면

    \begin{align*} f\left(x\right) & =\frac{1}{\omega_{d-1}}\int_{\mathbb{S}^{d-1}}\int_{0}^{\infty}\left\langle \nabla f\left(x-\xi t\right),\xi\right\rangle dtd\sigma\left(\xi\right)\\  & =\frac{1}{\omega_{d-1}}\int_{0}^{\infty}\int_{\mathbb{S}^{d-1}}\sum_{j=1}^{d}\frac{\partial f}{\partial x_{j}}\left(x-\xi t\right)\xi_{j}d\sigma\left(\xi\right)dt\\  & =\frac{1}{\omega_{d-1}}\int_{\mathbb{R}^{d}}\sum_{j=1}^{d}\frac{\partial f}{\partial x_{j}}\left(x-y\right)\frac{y_{j}}{\left|y\right|^{d}}dy \end{align*}

를 얻는다.

그리고 잘 알려진 Riesz potential의 성질 중 f=-I_{2}\left(\triangle f\right)가 있다는 것을 기억하고 있자. 그리고 F=I_{1}\left(f\right)일 경우, \frac{\partial F}{\partial x_{j}}=-R_{j}\left(f\right)라는 것 또한 잘 알려져 있다. 여기서 R_{j}j번째 Riesz transform이다. 증명은 Fourier transform을 이용하면 된다.

이제 위 사실들을 바탕으로 k=1, 1<p<\infty일 때를 해결해보도록 하자. f\in C_{0}^{\infty}\left(\mathbb{R}^{d}\right)라 가정하자. 그러면

    \[ \left|f\left(x\right)\right|\le\frac{1}{\omega_{d-1}}\sum_{j=1}^{d}\int_{\mathbb{R}^{d}}\left|\frac{\partial f}{\partial x_{j}}\left(x-y\right)\right|\frac{1}{\left|y\right|^{d-1}}dy \]

가 성립하고 우변은 Riesz potential 형태라는 점에 주목해서 Hardy-Littlewood-Sobolev theorem \left(\alpha=1\right)을 적용하면

    \[ \norm f{\Leb{p^{*}}}\le\frac{1}{\omega_{d-1}}\sum_{j=1}^{d}\norm{\frac{\partial f}{\partial x_{j}}}{\Leb p} \]

를 얻는다.

이제 f\in\Sob 1p\left(\mathbb{R}^{d}\right)라 하자. 그러면 f_{n}\rightarrow f in \Leb p norm이고 \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{j}} converges in \Leb p이 되게하는 \left\{ f_{n}\right\} \subset C_{0}^{\infty}\left(\mathbb{R}^{d}\right)가 존재한다. 그리고 \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\partial f_{n}}{\partial x_{j}}=\frac{\partial f}{\partial x_{j}}이다. 왜냐하면 임의의 \varphi\in C_{0}^{\infty}에 대하여

    \begin{align*} \int_{\mathbb{R}^{d}}f\frac{\partial\varphi}{\partial x_{j}}dx & =\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\mathbb{R}^{d}}f_{n}\frac{\partial\varphi}{\partial x_{j}}dx\\  & =-\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\mathbb{R}^{d}}\frac{\partial f_{n}}{\partial x_{j}}\varphi dx\\  & =-\int_{\mathbb{R}^{d}}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\partial f_{n}}{\partial x_{j}}\varphi dx \end{align*}

가 성립하기 때문이다.

그리고 앞서 보인 식에 의하여

    \[ \norm{f_{n}-f_{m}}{\Leb{p^{*}}}\le A^{\prime}\sum_{j=1}^{d}\norm{\frac{\partial f_{n}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{j}}}{\Leb p} \]

를 얻는다. 그러므로 수열 \left\{ f_{n}\right\}\Leb{p^{*}}\left(\mathbb{R}^{d}\right)에서 converge 하며 이는 f와 반드시 일치한다. 그러므로 f\in\Leb{p^{*}}이며

    \[ \norm f{\Leb{p^{*}}}\le A^{\prime}\sum_{j=1}^{d}\norm{\frac{\partial f}{\partial x_{j}}}{\Leb p}\le A^{\prime}\norm f{\Sob 1p} \]

를 얻으므로 Sobolev inequality를 얻으며 \Sob 1p\hookrightarrow\Leb{p^{*}}은 continuous이다.

일반적인 f\in\Sob kp에 대해서는 f\in\Sob kp\left(\mathbb{R}^{d}\right)라는 것과 f\in\Sob{k-1}p이고 \frac{\partial f}{\partial x_{j}}\in\Sob{k-1}p라는 것과 동치라는 것으로부터 induction에 의하여 얻는다.


더 일반화된 형태인 Gagliardo–Nirenberg–Sobolev inequality과 같은 것은 필자의 공부가 짧아 여기서는 소개하지 않는다.

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