Sobolev space and continuous representative

By | February 9, 2016

I=\left(a,b\right)라 하고 I는 unbounded인 경우도 고려한다. p\in[1,\infty]에 대하여 Sobolev space \Sob{1}{p}\left(I\right)를 다음과 같이 정의한다.

    \[ \Sob{1}{p}\left(I\right)=\left\{ u\in L_{p}\left(I\right):\text{ there is }g\in L_{p}\left(I\right)\text{ such that }\int_{I}u\varphi^{\prime}=-\int_{I}g\quad\text{for all }\varphi\in C_{c}^{1}\left(I\right)\right\} . \]

이 공간에서의 norm은

    \[ \norm u_{\Sob 1p\left(I\right)}=\norm u_{\Leb p\left(I\right)}+\norm{u^{\prime}}_{\Leb p\left(I\right)} \]

라 정의한다.

이 글에서 증명하고자 하는 바는 다음과 같다.

Theorem. 1\le p\le\infty라 하고 u\in\Sob{1}{p}\left(I\right)라 하자. 여기서 I는 bounded 또는 unbounded이다. 그러면

    \[ u=\tilde{u}\quad\text{a.e. on }I \]

이고

    \[ \tilde{u}\left(x\right)-\tilde{u}\left(y\right)=\int_{y}^{x}u^{\prime}\left(t\right)dt\quad\text{for all }x,y\in\overline{I} \]

\tilde{u}\in C\left(\overline{I}\right)가 존재한다.

본격적으로 증명하기 전에 이 결과를 조금 요약을 해보도록 한다. 이 정리가 시사하는 바는 임의의 u\in\Sob{1}{p}에 대하여 이의 \overline{I}위에서 정의된 continuous representative가 존재한다. 다시
말해, equivalence relation u\sim vu=v a.e. on I라는 말로 정의하면, continuous function \tilde{u}\tilde{u}\in\left[u\right]라는 말이다.

그리고 이 성질은 전혀 continuous a.e.랑은 다른 말이라는 것에 유의한다.

이 증명을 위해서는 다음과 같은 Lemma들이 필요하다.

Lemma 1. f\in\Leb{1,loc}\left(I\right)라 하고

    \[ \int_{I}f\varphi^{\prime}=0\quad\text{for all }\varphi\in C_{c}^{1}\left(I\right) \]

라 하자. 그러면 f=C a.e. on I가 되는 constant C가 존재한다.

Proof. \int_{I}\psi=1를 만족하는 \psi\in C_{c}\left(I\right)를 고정한다. w\in C_{c}\left(I\right)에 대하여

    \[ \varphi^{\prime}=w-\left(\int_{I}w\right)\psi \]

를 만족하는 w이 존재한다는 것을 보이고자 한다.

h=w-\left(\int_{I}w\right)\psi라 하면 h는 continuous with compact support in I이다. 그리고

    \begin{align*} \int_{I}h\left(x\right)dx & =\int_{I}w\left(x\right)dx-\int_{I}\left(\int_{I}w\left(y\right)dy\right)\psi\left(x\right)dx\\ & =0 \end{align*}

을 만족한다. 그러므로 fundamental theorem of calculus에 의하여 hI에서 unique primitive with compact support in I를 갖는다. 이제 이를 바탕으로

    \[ \int_{I}f\left[w-\left(\int_{I}w\right)\psi\right]=0\quad\text{for all }w\in C_{c}\left(I\right), \]

즉,

    \[ \int_{I}\left[f-\left(\int_{I}f\psi\right)\right]w=0\quad\text{for all }w\in C_{c}\left(I\right) \]

를 얻으므로 f=\int_{I}f\psi a.e. on I를 얻는다. 그러므로 C=\int_{I}f\psi라 두면 원하는 바를 얻는다. 여기서 C는 앞서 보였던 h가 unique primitive를 갖는다는 가정에 의하여 constant가 된다.


Lemma 2. g\in\Leb{1,loc}\left(I\right)라 하고 고정된 y_{0}\in I에 대하여

    \[ v\left(x\right)=\int_{y_{0}}^{x}g\left(t\right)dt,\quad x\in I \]

라 하자. 그러면 v\in C\left(I\right)이고

    \[ \int_{I}v\varphi^{\prime}=-\int_{I}g\varphi\quad\text{for all }\varphi\in C_{0}^{1}\left(I\right) \]

를 얻는다.

Proof. g\in\Leb{1,loc}\left(I\right)이므로 v가 continuous라는 것은 자명하게 얻는다. 그리고

    \begin{align*} \int_{I}v\varphi^{\prime} & =\int_{I}\left[\int_{y_{0}}^{x}g\left(t\right)dt\right]\varphi^{\prime}\left(x\right)dx\\ & =-\int_{a}^{y_{0}}\left[\int_{x}^{y_{0}}g\left(t\right)dt\right]\varphi^{\prime}\left(x\right)dx+\int_{y_{0}}^{b}\left[\int_{y_{0}}^{x}g\left(t\right)dt\right]\varphi^{\prime}\left(x\right)dx \end{align*}

를 정의로부터 얻는다.

그리고 Fubini’s theorem에 의하여

    \begin{align*} \int_{I}v\varphi^{\prime} & =-\int_{a}^{y_{0}}\int_{a}^{t}g\left(t\right)\varphi^{\prime}\left(x\right)dxdt+\int_{y_{0}}^{b}\int_{t}^{b}g\left(t\right)\varphi^{\prime}\left(x\right)dxdt\\ & =-\int_{a}^{y_{0}}g\left(t\right)\left[\varphi\left(t\right)-\varphi\left(a\right)\right]dt+\int_{y_{0}}^{b}g\left(t\right)\left[\varphi\left(b\right)-\varphi\left(t\right)\right]dt\\ & =-\int_{I}g\left(t\right)\varphi\left(t\right)dt+\varphi\left(b\right)v\left(b\right)-\varphi\left(a\right)v\left(a\right)\\ & =-\int_{I}g\left(t\right)\varphi\left(t\right)dt \end{align*}

를 얻는다. 여기서 \varphi\left(b\right)=\varphi\left(a\right)=0으로 잡으면 되기 때문에 결과를 얻는다.


Proof of Theorem. y_{0}\in I를 고정하고 \overline{u}\left(x\right)=\int_{y_{0}}^{x}u^{\prime}\left(t\right)dt라 하자. 그러면

    \[ \overline{u}\left(x\right)-\overline{u}\left(y\right)=\int_{y}^{x}u^{\prime}\left(t\right)dt \]

를 정의에 의해 얻고 앞의 Lemma에 의하여

    \[ \int_{I}\overline{u}\varphi^{\prime}=-\int_{I}u^{\prime}\varphi\quad\text{for all }\varphi\in C_{c}^{1}\left(I\right) \]

를 얻는다. 그러므로 weak derivative의 정의에 의하여

    \[ \int_{I}\left(u-\overline{u}\right)\varphi^{\prime}=0 \]

for all \varphi\in C_{c}^{1}\left(I\right)를 얻으며 u=\overline{u}+C a.e.를 얻는다. 이제 \tilde{u}=\overline{u}+C라 정의하면 원하는 바를 얻는다.


Reference

  1. H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, 2011.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *