1.4. Bounded Sets and Bornologic Spaces

By | December 29, 2015

이 부분은 Yosida 책을 읽을 때 두 번째로 겪었던 큰 난관이었다. 가장 첫 번째의 이유로는 이미 친숙한 개념이었던 bounded 개념을 보다 일반화 시키는 작업이 생각보다 어려웠던 것으로 꼽고, 두 번째로는 새롭게 정의하는 bornologic space가 무엇을 일반화시킨 것인지 파악하기가 어려웠기 때문이다. 필자가 두 번째로 Yosida 책을 읽다가 던져버렸던
부분이었다.

우선은 필자가 이해하는 선에서 최대한 이 절을 해설해보고자 한다. 우선 거리 d가 있는 공간 X에서 E가 bounded라는 것은 E\subset B_{r}\left(x\right)가 되도록 하는 r>0이 존재한다는
것을 의미한다.

그러나 일반적인 위상공간에서는 거리개념조차 문제가 되기 때문에 이를 보완하기 위해서는 다른 작업들이 필요하다.

아이디어는 B_{r}\left(x\right)의 특성이다. B_{r}\left(x\right)는 여러가지 성질이 있지만, 그 중에서 주목하고자 하는 것은 absorbing set이었다. 어떤 집합이 bounded라는 개념을 만들기 위해서는 그 집합을 포함하는 큰 집합을 생각했다. 이런 개념을 잘 수용할 수 있는 것이 absorbing이다. 일반적으로
topological vector space에서는 0을 포함하는 open set을 생각했으므로 이를 바탕으로 absorbing 성질을 이용해서 다음과 같이 정의하는 것이 합리적이다.

Definition 1. X가 topological vector space라 하자. B\subset Xbounded라는 것은 임의의 0의 neighborhood U에 대하여 \alpha^{-1}B\subset U가 되게하는 양수 \alpha>0가 존재할 때를 말한다.

normed vector space에서의 operator T에 대하여 T가 continuous linear operator라는 것과 bounded operator라는 것이 동치였다. 그러나 일반적인 공간에서는 다르다.

Proposition 2. X,Y가 topological vector space라 하고 T:X\rightarrow Y가 continuous linear operator라 하자. 그러면 TX의 bounded set을 Y의 bounded set으로 보낸다.

Proof. VY0을 포함하는 neighborhood라 하고 BX의 bounded set이라 하자. T가 continuous이므로 0을 포함하는 neighborhood UX에 존재해서 T\left(U\right)\subset V가 성립한다.

그런데 B가 bounded in X이므로 \alpha^{-1}B\subset U가 되게하는 양의 상수 \alpha>0가 존재한다. 즉, B\subset\alpha U이다. 그러므로

    \[ T\left(B\right)\subset T\left(\alpha U\right)\subset\alpha T\left(U\right)\subset\alpha V \]

가 성립한다. 즉, \alpha^{-1}T\left(B\right)\subset V이다. 그러므로 bounded set의 정의에 의하여 T\left(B\right)는 bounded set이다.


이제 조금 개념이 어려운 공간을 이야기하고자 한다. 역시나 좀 추상적이고 뭔 느낌인지 모르겠으면, Bourbaki가 한 짓이라고 생각이 저절로 들기 마련인데, 역시나 하는 것은 역시다 (….)

Definition 3. Locally convex space X가 다음 성질을 가지고 있다면 bornological이라 부른다:

Balanced convex set MX의 bounded set을 absorb한다면, M0을 포함하는 neighborhood가 된다.

이 공간을 도입한 본래의 목적은 집합과 함수들의 boundedness가 가질 최소한의 조건을 만들 수 있는 공간때문이라고 한다. 따라나오는 정리들이나 결과들이 이 이유를 설명해준다. 개념 자체는 그렇게 와닿지는 않는다.

Theorem 4. Locally convex space X가 bornologic라는 것과 X의 semi-norm 중 bounded set에서 bounded인 것이 continuous라는 것과 동치다. (A locally convex space X is bornologic if and only if every semi-norm on X, which is bounded
on every bounded set, is continuous)

Proof. \left(\Rightarrow\right): X위에서의 semi-norm p가 임의의 bounded set위에서 bounded라 가정하자. 그러면 집합 M=\left\{ x\in X:p\left(x\right)\le1\right\}는 이전에 살펴본 것과 같이 convex, balanced set이다. B가 bounded set이라고 하면 \sup_{b\in B}p\left(b\right)=\alpha<\infty이다.
그러므로 B\subset\alpha M이다. 그런데 X가 bornological space이므로 M0의 neighoborhood다. 그러므로 px=0에서 연속이다.

\left(\Leftarrow\right): M이 convex, balanced set이라 하고 X의 모든 bounded set을 absorb한다고 하자. pM의 Minkowski functional이라 하자.
BX의 bounded set이라 하자. MB를 absorb하므로 \alpha^{-1}B\subset M이 되게하는 양수 \alpha가 존재한다. 그러므로 x\in B에 대하여 p\left(x\right)\le\alpha가 성립한다. 따라서 p는 bounded set이다. 그러므로 가정에 의하여 px=0에서 연속이다. 그러므로
M_{1}=\left\{ x\in X:p\left(x\right)<\frac{1}{2}\right\}은 bounded set이면서 0을 포함하는 open set이며, 이는 M의 부분집합이다. 그러므로 M0을 포함하는 neighborhood이므로 증명이 끝난다.


Normed vector space가 대표적인 bornologic space다. 이를 확인하기 위해 X를 normed vector space라 하자. S=\left\{ x\in X:\norm x{}\le1\right\}X의 bounded set임은 자명하다. X위에서의 semi-norm pS위에서 bounded라고 가정하자.
\alpha=\sup_{x\in S}p\left(x\right)라 하자. 그러면 y\neq0에 대하여

    \[ p\left(y\right)=p\left(\norm y{}\cdot\frac{y}{\norm y{}}\right)=\norm y{}p\left(\frac{y}{\norm y{}}\right)\le\alpha\norm y{} \]

가 성립한다. 그러므로 py=0에서 연속이다. 그러므로 X에서 연속이므로 앞의 Theorem에 의하여 증명이 끝나게 된다.

Quasi-normed vector space는 bornologic space가 반드시 되지는 않는다. locally convex space가 아니기 때문이다. 그러나 다음과 같은 결과는 있다.

Theorem 5. X,Y가 quasi-linear space라 하고 T:X\rightarrow Y를 linear operator라 하자. 그러면 T가 continuous라는 것과 T가 bounded set에서 bounded set으로 보낸다는 것과 동치다.

Proof. \left(\Rightarrow\right): X,Y가 topological vector space이므로 당연히
성립한다.

\left(\Leftarrow\right): T가 bounded set에서 bounded set으로 보내주는 linear operator라 가정하고 s-\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=0이라 가정하자. 그러면 X가 Quasi-normed vector space에므로 \norm{x_{n}}{}\rightarrow0 as n\rightarrow\infty이다. 그러면 다음과 같이 부분수열 \left\{ n_{k}\right\}를 고르도록 하자:

    \[ n_{k}=\begin{cases} \text{largest integer}\le\norm{x_{k}}{}^{-\frac{1}{2}} & \text{if }x_{k}\neq0,\\ k & \text{if }x_{k}=0. \end{cases} \]

그러면 \lim_{k\rightarrow\infty}n_{k}=\infty이고 \lim_{k\rightarrow\infty}n_{k}\norm{x_{k}}{}=0이다. 이제

    \[ \norm{n_{k}x_{k}}{}\le n_{k}\norm{x_{k}}{} \]

로부터 \lim_{k\rightarrow\infty}\norm{n_{k}x_{k}}{}=0을 얻는다. 여기에 덧붙여서 quasi-normed space에서는 \left\{ n_{k}x_{k}\right\}가 bounded이 된다. 따라서

    \[ s-\lim_{k\rightarrow\infty}Tx_{k}=s-\lim_{k\rightarrow\infty}n_{k}^{-1}\left(T\left(n_{k}x_{k}\right)\right)=0 \]

을 얻는다. 따라서 Tx=0에서 연속이고 이는 X 전체에서 연속이다.


Theorem 6. X가 Bornologic, Y는 locally convex linear topological space라 하자. 만약 linear operator T:X\rightarrow Y가 모든 bounded set을 bounded set으로 보낸다면, T는 연속이다.

Proof. V0을 포함하는 convex balanced neighborhood라고 하고 pV의 Minkowski functional이라 하자. q\left(x\right)=p\left(Tx\right)라 정의하자. 그러면 qX의 semi-norm이 된다. 그리고 이 semi-norm q는 모든 bounded set in X에서 bounded이다. 왜냐하면 T가 bounded set을 bounded set으로 보내고, V가 bounded set을 absorbing하기 때문이다. 따라서 X가 Bornologic이므로, q는 continuous다. 그러므로

    \[ \left\{ x\in X:Tx\in\overline{V}\right\} =\left\{ x\in X:q\left(x\right)\le1\right\} \]

0의 neighborhood이므로 T가 continuous임을 보이게 된다.


Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *