1.1 Semi-norms and Locally Convex Linear Topological Spaces (Theory)

By | December 19, 2015

요시다 책이 어려운 이유가 처음부터 Locally convex linear topological space부터 정의하고 시작한다는 점이다. 추상적인 L^{p}공간만 해도 어려운데, 바로 이것부터 하는 것은 책을 덮게 만드는 가장 큰 원인인 것 같다. 이 절의 목표는 사실상 topological vector space를 어떻게 정의하지에 대해서 소개하는 절이다.

필자는 이런 이유에서 이 절을 읽을 때 간단한 수준에서의 L^{p} 공간에 대한 기본적인 이해나, 유클리드 공간과 같이 비교적 친숙한 공간에서 가지고 있던 컨셉을 가져와서 읽고자 노력했다.

바로 이 책은 norm부터 정의하기 보다는 semi-norm부터 시작한다. 이 벡터의 크기를 보다 더 일반화한 개념이다. 원래 거리에서는 원점에서의 거리가 0이면 그 자신과 같다는 것이 있지만, 여기에는 없다.

Definition 1. X가 vector space라 하자. real-valued function p\left(x\right)가 다음 조건을 만족한다면, 이를 semi-norm on X라 부른다.

  • p\left(x+y\right)\le p\left(x\right)+p\left(y\right)
  • p\left(\alpha x\right)=\left|\alpha\right|p\left(x\right)

Semi-norm은 기본적인 두 성질들이 있다. 첫 번째로 p\left(0\right)=0이라는 사실과 모든 x_{1},x_{2}\in X에 대하여 p\left(x_{1}-x_{2}\right)\ge\left|p\left(x_{1}\right)-p\left(x_{2}\right)\right|가 성립한다. 이 들은 쉽게 증명할 수 있다.

그리고 이 책은 Minkowski functional을 정의하기 위하여 몇 가지 관찰을 잠시 거친다.

Proposition 2. pX에서의 semi-norm이라 하고 c>0이라 하자. M=\left\{ x\in X:p\left(x\right)\le c\right\}는 다음과 같은 성질을 가지고 있다.

  • 0\in M.
  • x,y\in M이고 0<\alpha<1이면 \alpha x+\left(1-\alpha\right)y\in M이다.
  • x\in M이고 \left|\alpha\right|\le1이면 \alpha x\in M이다. (이러한 성질을 가지고 있으면 M을 balanced set이라 한다.)
  • 임의의 x\in X에 대하여 \alpha^{-1}x\in M이게 하는 \alpha>0가 존재한다. (이러한 성질을 가지고 있으면 M을 absorbing set이라 부른다.)
  • p\left(x\right)=\inf_{\alpha>0,\alpha^{-1}x\in M}\alpha c.

Proof. 마지막 것만 자명치 않다. 이는

    \[ \left[\alpha^{-1}x\in M\right]\iff\left[p\left(\alpha^{-1}x\right)\le c\right]\iff\left[p\left(x\right)\le\alpha c\right] \]

로부터 유도된다.


Definition 3. M을 convex, balanced, absorbed set in X라 하자. X위에서 정의된 functional

    \[ p_{M}\left(x\right)=\inf_{\alpha>0,\alpha^{-1}x\in M}\alpha \]

를 Minkowski functional of M on X라 부른다.

사실 이렇게 정의해놓고 무엇을 일반화한 것인지 바로 와닿지는 않았다. 이를 이해하기 위해서는 X=\mathbb{R}^{n}, M=B_{1}\left(0\right)라 하자.

    \begin{align*} p_{M}\left(x\right) & =\inf\left\{ \alpha>0:x\in\alpha B_{1}\left(0\right)\right\} \\ & =\inf\left\{ \alpha>0:x\in B_{\alpha}\left(0\right)\right\} \end{align*}

이다. 그림을 그려서 관찰해보면, 원점을 기점으로 원을 그렸을 때, x에 도달하는 거리의 최소원을 직관적으로 의미한다.

그러므로 Minkowski functional은 convex, balanced, absorbed set M의 거리를 일반화하는 개념이라고 볼 수 있겠다. 앞에서 정의한 Minkowski functional의 역할이 다음의 proposition에 의하여 분명해진다.

Proposition 4. M이 convex, balanced and absorbing set이라 하자. Minkowski functional p_{M}X에서의 semi-norm이 된다.

Proof. 임의의 \varepsilon>0에 대하여 M의 convexity에 의하여 \frac{x}{p_{M}\left(x\right)+\varepsilon}\in M, \frac{y}{p_{M}\left(y\right)+\varepsilon}\in M이라 가정하면

    \[ \frac{p_{M}\left(x\right)+\varepsilon}{p_{M}\left(x\right)+p_{M}\left(y\right)+2\varepsilon}\cdot\frac{x}{p_{M}\left(x\right)+\varepsilon}+\frac{p_{M}\left(y\right)+\varepsilon}{p_{M}\left(x\right)+p_{M}\left(y\right)+2\varepsilon}\cdot\frac{y}{p_{M}\left(y\right)+\varepsilon}\in M \]

를 얻는다. 이 말은

    \[ \frac{x+y}{p_{M}\left(x\right)+p_{M}\left(y\right)+2\varepsilon}\in M \]

이다. p_{M}\left(x\right)+p_{M}\left(y\right)+2\varepsilon>0이므로 Minkowski functional의 정의에 의하여

    \[ p_{M}\left(x+y\right)\le p_{M}\left(x\right)+p_{M}\left(y\right)+2\varepsilon \]

를 얻으므로 subadditivity를 얻는다.

\alpha\neq0, x\in X with x\neq0이라 하자. 임의의 \varepsilon>0에 대하여 \beta^{-1}\left(\alpha x\right)\in M을 만족하는

    \[ \beta\le p_{M}\left(\alpha x\right)+\varepsilon \]

\beta>0가 존재한다.

\frac{\left|\alpha\right|}{\alpha}의 크기는 1이고 M이 balanced set이므로 \frac{\left|\alpha\right|}{\alpha}\beta^{-1}\left(\alpha x\right)=\beta^{-1}\left|\alpha\right|x\in M이다. 여기서 \frac{\beta}{\left|\alpha\right|}>0이므로 Minkowski functional의 정의에 의하여 p_{M}\left(x\right)\le\frac{\beta}{\left|\alpha\right|}를 얻고, 즉 \left|\alpha\right|p_{M}\left(x\right)\le\beta를 얻는다. 따라서

    \[ \left|\alpha\right|p_{M}\left(x\right)\le p_{M}\left(\alpha x\right)+\varepsilon \]

을 얻으므로 한 쪽 방향이 증명된다.

반대로 임의의 \varepsilon>0에 대하여 \gamma^{-1}x\in M이면서

    \[ \gamma\le p_{M}\left(x\right)+\varepsilon \]

\gamma>0가 존재한다. 양변에 \left|\alpha\right|를 곱하면

    \[ \left|\alpha\right|\gamma\le\left|\alpha\right|p_{M}\left(x\right)+\left|\alpha\right|\varepsilon \]

이고 \frac{\alpha}{\left|\alpha\right|}의 크기는 1이고 M은 absorbing set이므로 \frac{\alpha}{\left|\alpha\right|}\gamma^{-1}x\in M이다. 즉, \frac{1}{\left|\alpha\right|\gamma}\alpha x\in M이다. 여기서 \frac{\left|\alpha\right|}{\gamma}>0이므로 Minkowski functional의 정의에 의하여 p_{M}\left(\alpha x\right)\le\left|\alpha\right|\gamma다. 따라서

    \[ p_{M}\left(\alpha x\right)\le\left|\alpha\right|p_{M}\left(x\right)+\left|\alpha\right|\varepsilon \]

로 부터 p_{M}이 semi-norm이라는 것을 얻는다.


Normed vector space에서는 norm이 주어지면 topology를 줄 수 있었다. semi-norm이 주어진 공간도 적당한 조건이 있으면 topology를 줄 수 있다.

Yosida를 처음에 읽으면 바로 던져버리기 쉬운 정리가 바로 다음의 정리다. 왜냐하면 필자가 처음에 던져버렸던 이유가 이 정리였기 때문이다.

Theorem 5. \left\{ p_{\gamma}:\gamma\in\Gamma\right\}X에서의 semi-norm의 family라 하자. 그리고 이 family는 axiom of separation이 성립한다고 하자. 즉, 임의의 x_{0}\neq0에 대하여 p_{\gamma_{0}}\left(x_{0}\right)\neq0이 되게하는 p_{\gamma_{0}}가 존재한다.

그 family에서 유한 개만 골라오자, 편의상 p_{1},\dots,p_{n}이라 하자. 양수 \varepsilon_{1},\dots,\varepsilon_{n}에 대하여 다음과 같은 집합

    \[ U=\left\{ x\in X:p_{i}\left(x\right)<\varepsilon_{i}\quad\text{for }1\le i\le n\right\} \]

을 생각하자. 그러면 U는 convex, balanced, and absorbing set이다.

위에서 만든 집합과 같은 것을 0에서의 neighborhood라 하자. 임의의 x_{0}\in X에서의 neighborhood를 다음과 같은 집합이라 정의하자.

    \[ x_{0}+U=\left\{ y\in X:y=x_{0}+u,u\in U\right\} . \]

X의 부분집합 G가 다음과 같은 성질을 만족한다고 하자: G의 임의의 점은 각각의 점에서의 neighborhood를 가지며 이 neighborhood는 G에 포함된다.

그러면 위의 G와 같은 집합을 모은 collection \left\{ G\right\}X위에서의 topology를 이룬다.

Remark. Yosida 책은 특별한 말이 없는 한, topological space은 적어도 Hausdorff 조건을 만족해야 한다. 즉, 서로 다른 두 점 x_{1},x_{2}에 대하여 분리시킬 수 있는 서로 disjoint하는 open set들이 존재하는 공간이다.

Proof. U가 convex, balanced, absorbing set이라는 것은 앞에서 이미 보인거나 다름없다. \left\{ G\right\}모임이 topology를 이루는 걸 보이는 건 어렵지 않다.

우선 G_{0}=\left\{ x\in X:p_{\gamma}\left(x\right)<c\right\}가 정리에서 정의한 open이라는 걸 보여야 한다. 즉 x_{0}\in G_{0}라 하고 p_{\gamma}\left(x_{0}\right)=\beta<c라 하자. U=\left\{ x\in X:p_{\gamma}\left(x\right)\le\frac{c-\beta}{2}\right\}라 정의하자. 그러면 x_{0}+U\subset G_{0}가 됨을 보이고자 한다. 이는 간단하다. 왜냐하면 u\in U라 하면 p_{\gamma}\left(x_{0}+u\right)\le p_{\gamma}\left(x_{0}\right)+p_{\gamma}\left(u\right)<\beta+\left(c-\beta\right)=c가 된다. 그러므로 임의의 x_{0}\in X에 대하여 x_{0}를 포함하는 open set x_{0}+G_{0}가 존재한다.

이제 남은 것은 Hausdorff 조건만 보이면 된다. translation을 고려하면 x_{1}=0, x_{2}\neq0인 경우에 성립한다는 것을 보이면 된다.

axiom of separation에 의하여 p_{\gamma}\left(x_{2}\right)=\alpha>0이 되게하는 semi-norm p_{\gamma}을 잡을 수 있다. 그러면 앞에서 보인 논리에 의하여 G_{1}=\left\{ x\in X:p_{\gamma}\left(x\right)<\frac{\alpha}{2}\right\}는 open이다. 0\in G_{1}이다. 그러므로 보이고자 하는 것은

    \[ G_{1}\cap\left(x_{2}+G_{1}\right)=\varnothing \]

이다.

그렇지 않다고 하자. 즉 y\in G_{1}\cap G_{2}\neq\varnothing이라 하자. 그러면 y=x_{2}+g=x_{2}-\left(-g\right) for some g\in G_{1}이고 그러므로 semi-norm의 성질에 의하여

    \[ p_{\gamma}\left(y\right)\ge p_{\gamma}\left(x_{2}\right)-p_{\gamma}\left(-g\right)\ge\alpha-\frac{\alpha}{2}=\frac{\alpha}{2} \]

를 얻는다. 그러나 이는 y\in G_{1}에 있다는 사실과 모순이다. 왜냐하면 \frac{\alpha}{2}<\frac{\alpha}{2}이기 때문이다. 그러므로 \left\{ G\right\}은 axiom of separation도 만족하므로 증명이 끝난다.


Definition 6. Separation 성질을 가지고 있는 Semi-norm family가 주어진 vector space에 대하여 앞처럼 open set을 정의하면 이를 topological vector space라 부른다.

사실 지금까지 뭘 하긴 했는데 이게 무슨 의미인지 와닿지는 않다. 이로부터 다음과 같은 성질을 증명할 수 있으며, 보통 책에서 topological vector space의 정의로 채택한다.

Proposition 7. X를 topological vector space라 하자. 그러면 연산

  • +:X\times X\rightarrow X \left(x,y\right)\mapsto x+y
  • \cdot:K\times X\rightarrow X \left(\alpha,x\right)\mapsto\alpha x

은 continuous이며 X와 함께 정의된 semi-norm p_{\gamma}X위에서 연속함수다.

Proof. 0의 근방 U를 잡자. 즉

    \[ U=\left\{ x\in X:p_{\gamma}\left(x\right)\le\varepsilon\right\}  \]

이다.

    \[ V+V=\left\{ w\in X:w=v_{1}+v_{2}\text{ where }v_{1},v_{2}\in V\right\} \subset U \]

가 되는 0의 열린 근방 V\subset U가 존재한다. 왜냐하면 v_{1},v_{2}\in V에 대하여 p_{\gamma}\left(v_{1}\right)\le\frac{\varepsilon}{2}, p_{\gamma}\left(v_{2}\right)\le\frac{\varepsilon}{2}라 하면

    \[ p_{\gamma}\left(w\right)=p_{\gamma}\left(v_{1}+v_{2}\right)\le p_{\gamma}\left(v_{1}\right)+p_{\gamma}\left(v_{2}\right)\le\varepsilon \]

이기 때문이다.

그러므로 위의 사실에 의하여

    \[ \left(x+y\right)-\left(x_{0}+y_{0}\right)=\left(x-x_{0}\right)+\left(y-y_{0}\right) \]

라 적으면 \left(x,y\right)\mapsto x+yx=x_{0}, y=y_{0}에서 연속이다.

0의 임의의 근방 U\alpha\neq0에 대하여

    \[ \alpha U=\left\{ x\in X:x=\alpha u,u\in U\right\}  \]

0의 근방이 된다. 그러므로

    \[ \alpha x-\alpha_{0}x_{0}=\alpha\left(x-x_{0}\right)+\left(\alpha-\alpha_{0}\right)x_{0} \]

라 쓰면 \left(\alpha,x\right)\mapsto\alpha x\alpha=\alpha_{0}, x=x_{0}에서 연속이다.

그리고 \left|p_{\gamma}\left(x\right)-p_{\gamma}\left(x_{0}\right)\right|<p_{\gamma}\left(x-x_{0}\right)로부터 x=x_{0}에서의 semi-norm p_{\gamma}의 연속성이 증명된다.


Definition 8. Topological vector space X0을 포함하는 모든 open set이 convex, balanced, and absorbing open set을 포함하는 경우를 locally convex topological vector space라 부른다.

이제 앞에서 얻은 모든 결론을 종합하고자 한다. Locally convex topological space를 Minkowski functional을 이용해서도 기술할 수 있다.

Theorem 1.9. A vector space X, topologized by a family of semi-norms p_{\gamma}\left(x\right) satisfying the axiom of separation, is a locally convex space in which each semi-norm p_{\gamma}\left(x\right) is continuous. Conversely, any locally convex space is nothing but the topological vector space, topologized as above through the family of semi-norms obtained as the Minkowski functionals of convex balanced and absorbing open sets of X.

다음 글에서는 Locally convex topological vector space의 예시들을 살펴본다. 주로 함수공간을 다룰 것이다. 왜냐고? 함수해석학이니까…

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