Egorov’s Theorem

By | December 13, 2015

Theorem (Egorov). \mu\left(X\right)<\infty이라 하고 f_{n}:X\rightarrow\mathbb{R}를 sequence of measurable function이라 하고 f_{n}\rightarrow f a.e.라 하자. 그리고 f가 finite a.e.라 하자. 임의의 \varepsilon>0에 대하여 \mu\left(X\setminus E\right)<\varepsilon이고 f_{n}\rightarrow f uniformly하게 하는 measurable setE\subset X이 존재한다.

Remark. 책에 따라 가정이 다르며, 설명이 조금 불충분한 편이다. 일반적으로 complete하지 않은 measure space는 sequence of measurable function이 almost everywhere convergence가 있다
할지라도 targetting function이 measurable하다는 보장을 할 수 없다. 그러나 이 정리는 local한 결과이기 때문에 X 전체에서 f가 measurable일 필요가 없다.

Proof. measure zero set을 제외하고 증명을 해도 무방하다. 정리의 결과가 local하기 때문이다. 그러므로 f_{n}fX위에 있는 모든 점에서 converge한다고 가정하고 fX위의 모든 점에서 finite하다고
가정하자. 그러면 f는 measurable이다. \varepsilon>0이 주어졌다고 하자.

    \[ E_{n}=\bigcap_{k=n+1}^{\infty}\left\{ x\in X:\left|f\left(x\right)-f_{k}\left(x\right)\right|<\varepsilon\right\}  \]

이라 정의하면 \left\{ x\in X:\left|f\left(x\right)-f_{k}\left(x\right)\right|<\varepsilon\right\}는 모든 k에 대하여 measurable이므로 E_{n}은 measurable이다. 또, intersection의 정의에 의하여 E_{n}\subset E_{n+1} for all n임을 확인할 수 있다. 또 \lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)=f\left(x\right) for all x\in X,에 의하여 X=\bigcup_{n=1}^{\infty}E_{n}이다. 그러므로 continuity from below에 의하여

    \[ \mu\left(X\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\mu\left(E_{n}\right) \]

이다. \mu\left(X\right)<\infty이고 E_{n}이 measurable이므로

    \[ \lim_{n\rightarrow\infty}\mu\left(X\setminus E_{n}\right)=0 \]

이다. 임의의 \eta>0에 대하여

    \[ \mu\left(X\setminus E_{N}\right)<\eta \]

이게 하는 자연수 N이 존재한다. 이로부터 각각의 k\in\mathbb{N}에 대하여 C_{k}\subset X,\mu\left(C_{k}\right)\le\frac{\varepsilon}{2^{k}}이고

    \[ \left|f\left(x\right)-f_{n}\left(x\right)\right|<\frac{1}{2^{k}}\quad\text{for }n>N_{k},x\in X\setminus C_{k} \]

이게 하는 N_{k}\in\mathbb{N}가 존재한다.

E=X\setminus\bigcup_{k=1}^{\infty}C_{k}라 하면

    \[ \mu\left(X\setminus E\right)\le\sum_{k=1}^{\infty}\mu\left(C_{k}\right)\le\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\varepsilon}{2^{k}}=\varepsilon \]

이다.

이제 f_{n}\rightarrow fE위에서 uniformly converge한다는 것만 보이면 된다.

\eta>0이 주어졌다고 하자. 그러면 \frac{1}{2^{k}}<\eta이 되게하는 k가 존재하며 이는

    \[ \left|f\left(x\right)-f_{n}\left(x\right)\right|<\frac{1}{2^{k}}<\eta\quad\text{for }n>n_{k},\,x\in E \]

가 성립한다. 따라서 f_{n}\rightarrow f converges uniformly on E다.

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