실해석 시험을 치다보니 실수를 좀 했다. 앞으로 하는 수학이 long-term을 가지고 생각해야 하는 수학인데 시험을 못보면 하루가 꺼지듯이 아무것도 안잡히는데.. 이런 태도를 최대한 줄여가는게 앞으로 해나아가야 할 방향이 아닐까 싶다. 두 문제는 차마 잊을 수 없는 기억을 남긴 문제들이라서 기록으로 남긴다. 한 문제는 완전히 추측을 잘못해서 지옥구덩이로 밀고 들어간것이고, 한 문제는 정의를 깜빡했다.

하다보면 자제하게 되겠지…

시험이 한 가지 주는 단점이자 장점은 극도로 심리상태를 밑바닥까지 끌고가게 만드는 거 아닌가 싶다.

무엇이 맞다는 고집을 계속 부렸으니 ‘사실’이 앞에 보여도 왜곡된 시선으로 계속 문제를 바라보았다. 결국엔 몇 시간동안 계속 고민한 끝에 안나와서 지인에게 물어보니, 너무나도 쉬운 결론이었다.

잘못된 방향으로 문제를 바라봤다는 것이다. 괜한 고집을 피워서 문제를 더 복잡하게 만든 것이었다.

결국엔 시험으로부터 또 다시 뻔하지만 너무나도 중요한 교훈을 얻는 것 같다.

Problem.Let be an integrable function. Define by

- is well-defined.
- is of bounded variation on .

*Proof.* (i) By Chebyshev’s inequality, we have

since is integrable on .

(ii) For any partition on , we have

So by taking supremum on , we have

**Remark.** Consider . Then

Even though is integrable, may not be continuous on .

Definition.Let be a measure space and is a signed measure. We say that is concentrated on if there is a set such that for every . Equivalently, whenever . Suppose and are measures on . We say that and aremutually singularif there exists a pair of disjoint sets and such that is concentrated on and is concentrated on .

Proposition.Suppose and are measures on a -algebra, and is positive.

- If is concentrated on , so is .
- If , then .
- If and , then .

*Proof.* (i) If and is any partition of , then for all . Hence .

(ii) Clear from (ii).

(iii) Since , there are disjoint sets and such that is concentrated on and on , and there are disjoint sets and such that is concentrated on and on . So is concentrated on and is concentrated on , and .