Some mistakes on Exam

By | October 22, 2015

실해석 시험을 치다보니 실수를 좀 했다. 앞으로 하는 수학이 long-term을 가지고 생각해야 하는 수학인데 시험을 못보면 하루가 꺼지듯이 아무것도 안잡히는데.. 이런 태도를 최대한 줄여가는게 앞으로 해나아가야 할 방향이 아닐까 싶다.  두 문제는 차마 잊을 수 없는 기억을 남긴 문제들이라서 기록으로 남긴다. 한 문제는 완전히 추측을 잘못해서 지옥구덩이로 밀고 들어간것이고, 한 문제는 정의를 깜빡했다.

하다보면 자제하게 되겠지…

시험이 한 가지 주는 단점이자 장점은 극도로 심리상태를 밑바닥까지 끌고가게 만드는 거 아닌가 싶다.
무엇이 맞다는 고집을 계속 부렸으니 ‘사실’이 앞에 보여도 왜곡된 시선으로 계속 문제를 바라보았다. 결국엔 몇 시간동안 계속 고민한 끝에 안나와서 지인에게 물어보니, 너무나도 쉬운 결론이었다.
잘못된 방향으로 문제를 바라봤다는 것이다. 괜한 고집을 피워서 문제를 더 복잡하게 만든 것이었다.
결국엔 시험으로부터 또 다시 뻔하지만 너무나도 중요한 교훈을 얻는 것 같다.

Problem. Let \varphi:(0,\infty)\rightarrow\mathbb{R} be an integrable function. Define f:(0,\infty)\rightarrow\mathbb{R} by

    \[ f\left(x\right)=m\left(\left\{ t\in\left(0,\infty\right):\varphi\left(t\right)>x\right\} \right). \]

  1. f is well-defined.
  2. f is of bounded variation on \left[a,b\right].

Proof. (i) By Chebyshev’s inequality, we have

    \[ m\left(\left\{ t\in\left(0,\infty\right):\varphi\left(t\right)>x\right\} \right)\le\frac{1}{x}\int_{0}^{\infty}\varphi\left(t\right)dt<\infty \]

since \varphi is integrable on \left(0,\infty\right).

(ii) For any partition \Gamma=\left\{ a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n}=b\right\} on \left[a,b\right], we have

    \begin{align*} & \sum_{j=1}^{n}\left|f\left(x_{j}\right)-f\left(x_{j-1}\right)\right|\\ & =\sum_{j=1}^{n}m\left(\left\{ t\in\left(0,\infty\right):x_{j-1}<\varphi\left(t\right)\le x_{j}\right\} \right)\\ & =m\left(\bigcup_{j=1}^{n}\left\{ t\in\left(0,\infty\right):x_{j-1}<\varphi\left(t\right)\le x_{j}\right\} \right)\\ & =m\left(\left\{ t\in\left(0,\infty\right):a\le\varphi\left(t\right)\le b\right\} \right)<\infty. \end{align*}

So by taking supremum on \Gamma, we have

    \[ TV\left(f\right)=m\left(\left\{ t\in\left(0,\infty\right):a\le\varphi\left(t\right)\le b\right\} \right). \]

Remark. Consider \varphi\left(x\right)=\chi_{\left(0,1\right)}+\frac{1}{2}\chi_{\left(1,2\right)}. Then

    \begin{align*} f\left(x\right) & =m\left(\left\{ t\in\left(0,\infty\right):\varphi\left(t\right)>x\right\} \right)\\ & =\begin{cases} 2 & \text{if }0<x<\frac{1}{2},\\ 1 & \text{if }\frac{1}{2}\le x<1,\\ 0 & \text{if }x\ge1. \end{cases} \end{align*}

Even though \varphi is integrable, f may not be continuous on \left(0,\infty\right).

Definition. Let \left(X,\mathcal{M}\right) be a measure space and \mu is a signed measure. We say that \mu is concentrated on A if there is a set A\in\mathcal{M} such that \mu\left(A\right)=\mu\left(A\cap E\right) for every E\in\mathcal{M}. Equivalently, \lambda\left(E\right)=0 whenever E\cap A=\varnothing. Suppose \mu_{1} and \mu_{2} are measures on \left(X,\mathcal{M}\right). We say that \mu_{1} and \mu_{2} are mutually singular if there exists a pair of disjoint sets A and B such that \mu_{1} is concentrated on A and \mu_{2} is concentrated on B.

Proposition. Suppose \mu,\lambda,\lambda_{1} and \lambda_{2} are measures on a \sigma-algebra, and \mu is positive.

  1. If \lambda is concentrated on A, so is \left|\lambda\right|.
  2. If \lambda_{1}\bot\lambda_{2}, then \left|\lambda_{1}\right|\bot\left|\lambda_{2}\right|.
  3. If \lambda_{1}\bot\mu and \lambda_{2}\bot\mu, then \left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)\bot\mu.

Proof. (i) If E\cap A=\varnothing and \left\{ E_{j}\right\} is any partition of E, then \lambda\left(E_{j}\right)=0 for all j. Hence \left|\lambda\right|\left(E\right)=0.

(ii) Clear from (ii).

(iii) Since \lambda_{1}\bot\mu, there are disjoint sets A_{1} and B_{1} such that \lambda_{1} is concentrated on A_{1} and \mu on B_{1}, and there are disjoint sets A_{2} and B_{2} such that \lambda_{2} is concentrated on A_{2} and \mu on B_{2}. So \lambda_{1}+\lambda_{2} is concentrated on A_{1}\cup A_{2} and \mu is concentrated on B=B_{1}\cap B_{2}, and A\cap B=\varnothing.

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