Hardy-Littlewood maximal function and approximation to the identity

By | August 31, 2015

Hardy-Littlewood maximal function은 조화해석학을 공부하다보면 자주 만나게 되는 수학적 대상이다. 특히 미분이나 approximation to identity가 나오는 상황인 경우 꽤나 자주 나타나는 경우가 많다. 이 글에서는 Stein, Real Analysis의 연습문제를 하나 풀이해보도록 한다.

책마다 approximation to the identity가 정의가 다른 면이 있는데, 이 글은 Stein, Real Analysis 기준으로 설계를 하도록 한다. 우선 이 글에서의 approximation to the identity의 정의는 다음과 같다.

Definition. A family \{K_\varepsilon\}_{\varepsilon>0} is said to be an approximation to the identity if the following three conditions hold:

  • \int_{_\mathbb{R}} K_{\varepsilon} (x)dx = 1.
  • |K_{\varepsilon}(x)|\leq \frac{A}{\varepsilon^d}.
  • |K_\varepsilon(x)|\leq \frac{A\varepsilon}{|x|^{d+1}}

이 글에서 증명할 문제는 다음과 같다.

Problem. Prove that if \{K_\varepsilon\}_{\varepsilon} is a family of approximations to the identity, then

    \[ \sup_{\varepsilon>0}|(f*K_{\varepsilon})(x)|\leq cf^{*}(x)\]

for some constant c>0 and all integrable f.

Proof. 다음과 같이 함수를 정의하도록 하자:

    \[ \psi (x) =\begin{cases} A & |x|\leq 1 \\ \frac{A}{|x|^{d+1}} & |x|>1 \end{cases}\]

그러면 임의의 양수 r>0에 대하여

    \[ \int_{r/2 \leq |x|\leq r} \psi(x) dx \geq \psi(r)\int_{r/2\leq |x|\leq r} dx =cr^d \psi(r) \]

여기서 \psi(r) = \psi(x) if |x|=r를 나타낸다.

\psi \in L^1이므로 r\rightarrow 0 또는 r\rightarrow \infty일 때, \psi(r) r^d\rightarrow 0임을 알 수 있다. 이제 본격적으로 증명을 시작해보면 f에 대해서는 translation invariant이고 \psi는 radial function이므로

    \[ |(f*\psi)(0)|\leq cf^*(0) \]

임을 보이면 된다. 이를 보이기 위해서

    \begin{align*} & (f*\psi)(0) \\ & = \int_{\mathbb{R}^d} f(y)\psi(y)dy\\ & = \int_{0}^{\infty} \int_{\mathbb{S}^d} f(t\gamma)\psi(t)t^{d-1} d\sigma(\gamma)dt\\ & = \int_{0}^{\infty} \int_{\mathbb{S}^d} f(t\gamma) d\sigma(\gamma)\psi(t)t^{d-1}dt \end{align*}

를 관찰하고,

    \[ \lambda(r)=\int_{\mathbb{S}^d} f(r\gamma) d\sigma(\gamma)\]

라 하고

    \[ \Lambda(r)=\int_{|x|\leq r} f(x)dx \]

라 정의를 하면 부분적분법에 의하여

    \[ (f*\psi)(0)=-\int_{0}^{\infty}\Lambda\left(r\right)d\psi\left(r\right)\]

를 얻으며 여기서 error-term은

    \[\Lambda\left(r\right)\le m(B(0,1))r^{d}f^{*}\left(0\right)\]

로부터

    \[\left(f*\psi\right)\left(0\right)\le m(B(0,1))f^{*}\left(0\right)\int_{0}^{\infty}r^{d}d\left(-\psi\left(r\right)\right).\]

를 얻으므로 증명이 끝난다.

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