Some Calculations and Linear Algebra

By | August 14, 2015

조화해석학 세미나하면서 나왔던 기초적인 명제들이다. 이런 것들을 잘 해내는 것이 수학을 할 때 중요한 재능인 것 같다.

Orthogonal matrix에 대해서는 블로그 글을 참고하길 바란다.

Problem. Let \mathbf{x}\in\mathbb{R}^{n}. If A\mathbf{x}=\mathbf{x} for all A\in O\left(n\right), then \mathbf{x}=0.

Proof. 모순을 이끌어내기 위하여 \mathbf{x}\neq0이라 하고, \mathbf{v}_{1}=\frac{\mathbf{x}}{\left|\mathbf{x}\right|}이라 하자. \mathbf{v}_{1}^{\bot}를 span하는 orthonormal basis를 \left\{ \mathbf{v}_{2},\dots,\mathbf{v}_{n}\right\}이라 하자. 그러면 A=\begin{bmatrix}\mathbf{v}_{1} & \mathbf{v}_{2} & \cdots & \mathbf{v}_{n}\end{bmatrix}은 orthogonal matrix가 된다. 이제 A\mathbf{x}=\mathbf{x}라는 것을 생각해보면

    \[ \begin{cases} \sum_{k=1}^{n}A_{1k}x_{k} & =x_{1}\\ \sum_{k=1}^{n}A_{2k}x_{k} & =x_{2}\\ & \vdots\\ \sum_{k=1}^{n}A_{nk}x_{k} & =x_{n} \end{cases} \]

이고 여기서 첫 번째 방정식만 고려하면

    \[ \sum_{k=1}^{n}\frac{x_{k}}{\left|x\right|}x_{k}=x_{1} \]

을 얻는데, 이는 \left|x\right|=x_{1}를 의미한다. 따라서 x_{2}=\cdots=x_{n}=0이다.
이 이야기는 A\left(k\mathbf{e}_{1}\right)=\left(k\mathbf{e}_{1}\right) for all A\in O\left(n\right)이라는 소리인데, 이 명제는 틀린 명제다. 왜냐하면 orthogonal matrix의 1st column이 \mathbf{e}_{1}이 아닌 것이 있기 때문이다. 그러므로 모순이 발생한다.


 

사실 이 명제는 \mathbb{R}^{2}\mathbb{R}^{3}에서 계산은 물론이고 기하적으로도 잘 보이는 명제라 증명을 안하고 넘겼던게 화근이었다. 그리고 이와 관련된 주제인 rigid motion쪽을 공부했었기에 자명하게
넘겼었지만 그게 그렇게만 자명한건 아니란걸 알았다. 덤으로 rigid motion도 다시 공부했다. 그에 대한 글은 rigid motion에 대한 글을 참고하길 바란다.

잠시 구의 겉넓이와 구의 부피를 구해보도록 하자. \mathbb{R}^{n}에서의 unit sphere의 넓이를 A_{n}, unit ball의 부피를 V_{n}이라 하자. 그러면 다음과 같은 결과가 성립한다.

Proposition. Let A_{n} and V_{n} denote the area and volume of the unit sphere and unit ball in \mathbb{R}^{n}, respectively. Then

    \[ A_{n}=\frac{2\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)},\quad V_{n}=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}. \]

Proof. 다음의 등식은 쉽게 증명할 수 있다:

    \[ \int_{\mathbb{R}^{n}}e^{-\pi\left|x\right|^{2}}dx=1. \]

Polar coordinate를 이용하면

    \begin{align*} 1 & =\int_{0}^{\infty}\int_{\mathbb{S}^{n-1}}e^{-\pi r^{2}}r^{n-1}d\sigma\left(\gamma\right)dr\\ & =A_{n}\int_{0}^{\infty}e^{-\pi r^{2}}r^{n-1}dr\\ & =\frac{A_{n}}{2\pi^{\frac{n}{2}}}\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{\frac{n}{2}-1}dt\\ & =\frac{A_{n}}{2\pi^{\frac{n}{2}}}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right) \end{align*}

를 얻는다. 따라서

    \[ A_{n}=\frac{2\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \]

이다.

    \begin{align*} V_{n} & =\int_{\left|x\right|\le1}dx\\ & =\int_{0}^{1}\int_{\mathbb{S}^{n-1}}d\sigma\left(\gamma\right)r^{n-1}dr\\ & =\frac{2\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\frac{1}{n} \end{align*}

를 얻는다. 그래서

    \[ V_{n}=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)} \]

를 얻는다.


 

Problem. Evaluate

    \[ \int_{\mathbb{S}^{n-1}}\left|x_{1}\right|d\sigma\left(x\right). \]

이 적분은 두 가지 방법으로 계산할 수 있는데, 하나는 다음과 같은 Lemma를 사용하는 방법이다.

Theorem. Let f be a function defined on \mathbb{S}^{n-1}.
Then we have

    \[ \int_{R\mathbb{S}^{n-1}}f\left(x\right)d\sigma\left(x\right)=\int_{-R}^{R}\int_{\sqrt{R^{2}-s^{2}}\mathbb{S}^{n-2}}f\left(s,\theta\right)d\sigma\left(\theta\right)\frac{Rds}{\sqrt{R^{2}-s^{2}}}. \]

이를 바탕으로 계산을 해보도록 하자.
Proof. n\ge2일 때, 위 공식을 바탕으로 계산을 진행하면

    \begin{align*} & \int_{\mathbb{S}^{n-1}}\left|x_{1}\right|d\sigma\left(x\right)\\ & =\int_{-1}^{1}\int_{\sqrt{1-s^{2}}\mathbb{S}^{n-2}}\left|s\right|d\sigma\left(\tilde{x}\right)\frac{1}{\sqrt{1-s^{2}}}ds\\ & =A_{n-2}\int_{-1}^{1}\left|s\right|\left(1-s^{2}\right)^{\frac{n-3}{2}}ds\\ & =2A_{n-2}\int_{0}^{1}u^{\frac{n-3}{2}}du\\ & =\frac{2A_{n-2}}{d-1}\\ & =\frac{2\pi^{\frac{n-1}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)} \end{align*}

를 얻는다.


Another Proof. 잠시

    \begin{align*} & \int_{0}^{\rho}\left(\int_{\mathbb{S}^{n-1}}r\left|w_{1}\right|d\sigma\left(w\right)\right)r^{n-1}dr\\ & =\int_{B\left(0,\rho\right)}\left|x_{1}\right|dx=\Phi\left(\rho\right)\\ & =\int_{B\left(0,1\right)}\left|\rho y_{1}\right|\rho^{n}dy=\rho^{n+1}D_{1} \end{align*}

임에 주목하자. 여기서 D_{1}

    \begin{align*} D_{1} & =\int_{B_{1}\left(0\right)}\left|y_{1}\right|dy.\\ & =\int_{-1}^{1}\left[\int_{\left|y^{\prime}\right|<\sqrt{1-y_{1}^{2}}}\left|y_{1}\right|dy^{\prime}\right]dy_{1}\\ & =\int_{-1}^{1}\left|y_{1}\right|\left(\sqrt{1-y_{1}^{2}}\right)^{n-1}m\left(B\left(0,1\right)\right)dy_{1}\\ & =2m\left(B\left(0,1\right)\right)\int_{0}^{1}y_{1}\left(1-y_{1}^{2}\right)^{\frac{n-1}{2}}dy_{1}\\ & =\frac{m\left(B\left(0,1\right)\right)}{n+1}. \end{align*}

이다. 그러므로 fundamental theorem of calculus에 의하여

    \[ \int_{\mathbb{S}^{n-1}}\left|x_{1}\right|d\sigma\left(x\right)=\left(n+1\right)D_{1}=\frac{2\pi^{\frac{d-1}{2}}}{\Gamma\left(\frac{d+1}{2}\right)} \]

이다.

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