오늘 실해석학 시험을 쳤는데, 다른 건 답변을 했지만(다른 것도 마이너한 실수들이 있긴 하다) 이 한 문제만 답변을 제대로 못했다.

쉬운건 알고 있었는데, 증명이 생각이 나질 않았다. 바로 증명을 보고 내 큰 실수를 또 발견했는데, ‘정의’에 충실하지 않았다는 것이다.

언제나 블로그에는 내 부끄러움도 올려야 한다고 생각하기 때문에, 못 풀었던 문제의 증명도 실어 놓는다.

Theorem.Let be a linear operator from to . Then the following are equivalent:

- is continuous on
- is continuous at
- is bounded

*Proof.* (1) implies (2): clear.

(2) implies (3): Assume is continuous at . Then there is such that if , then we have

Then for all nonzero , we have

Since was arbitrary chosen nonzero vector, is bounded.

(3) implies (1): Assume is bounded. Choose in . Then we have

So this is Lipschitz continuous on . So it is continuous on