Sharp estimates for van der Corput lemma

By | May 16, 2015

이 글에서 증명하고자 하는 명제는 다음과 같다.

Theorem. F\left(x\right)를 미분가능한 실함수라고 하고 도함수 F^{\prime}\left(x\right)가 monotonic하다고 하자. 또한 a\le x\le b에 대하여 F^{\prime}\left(x\right)\ge\lambda>0 또는 F^{\prime}\left(x\right)\le-\lambda<0를 만족한다고 하자. 그러면

    \[ \left|\int_{a}^{b}e^{iF\left(x\right)}dx\right|\le\frac{2}{\lambda} \]

가 성립한다.

여기서 \lambda 위에 있는 숫자 2가 가장 작다는 의미로 sharp estimate라는 용어를 사용했다. Stein, Zygmund, van der Corput 모두 이 constant가 2보다는 컸다. 이 sharp한 estimate는 2005년에 K. M. Rogers가 발견했다.

본격적으로 sharp estimate를 구하기 전에 이전에 우리가 무엇을 알고 있었는지 점검해보도록 한다.

Theorem. F\left(x\right)를 미분가능한 실함수라고 하고 도함수 F^{\prime}\left(x\right)가 monotonic하다고 하자. 또한 a\le x\le b에 대하여 F^{\prime}\left(x\right)\ge\lambda>0
또는 F^{\prime}\left(x\right)\le-\lambda<0를 만족한다고 하자. 그러면

    \[ \left|\int_{a}^{b}e^{iF\left(x\right)}dx\right|\le\frac{4}{\lambda} \]

가 성립한다.

Proof. 일반성을 잃지않고 F^{\prime}\left(x\right)>0이라 하자. 그러면

    \begin{align*} & \left|\int_{a}^{b}e^{iF\left(x\right)}dx\right|\\ = & \left|\int_{a}^{b}\frac{1}{iF^{\prime}\left(x\right)}iF^{\prime}\left(x\right)e^{iF\left(x\right)}dx\right|\\ = & \left|\left[\frac{1}{iF^{\prime}\left(x\right)}e^{iF\left(x\right)}\right]_{a}^{b}-\frac{1}{i}\int_{a}^{b}\left(\frac{1}{F^{\prime}\left(x\right)}\right)^{\prime}e^{iF\left(x\right)}dx\right|\\ \le & \frac{2}{\lambda}+\int_{a}^{b}\left|\left(\frac{1}{F^{\prime}\left(x\right)}\right)^{\prime}\right|dx\\ = & \frac{2}{\lambda}+\left|\int_{a}^{b}\left(\frac{1}{F^{\prime}\left(x\right)}\right)^{\prime}e^{iF\left(x\right)}dx\right|\\ = & \frac{2}{\lambda}+\left|\left[\frac{1}{F^{\prime}\left(x\right)}\right]_{a}^{b}\right|\le\frac{4}{\lambda} \end{align*}

이다.


van der Corput lemma의 sharp estimate를 구하는 방법은 Rogers의 방법론도 있지만, 여기서는 최근에 Monthly에서 소개된 Carlos A. Catala de la Torre의 방법론을 소개하고자 한다. 이를 위해서는 다음의 Lemma가 필요하다.

Lemma. \left[a,b\right]에서 적분가능한 함수 g에 대하여 만약 f\left[a,b\right]위에서 nonnegative이고 decreasing이면,

    \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)g\left(x\right)dx=f\left(a\right)\int_{a}^{\xi}g\left(x\right)dx \]

\xi\in\left[a,b\right]가 존재한다.

Proof.
\left[a,b\right]위에서의 partition P

    \[ a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{k}<\cdots<x_{n}=b \]

라 하자. 약속으로

    \[ S_{n}\left(f\right)=\sum_{k=1}^{n}f\left(x_{k-1}\right)\Delta x_{k} \]

라 쓰고

    \begin{align*} \Delta f_{k} & =f\left(x_{k}\right)-f\left(x_{k-1}\right)\\ \Delta G_{k} & =G\left(x_{k}\right)-G\left(x_{k-1}\right) \end{align*}

라 하자. K=\sup\left\{ \left|g\left(x\right)\right|\right\}, \mu=\inf G\left(x\right), M=\sup G\left(x\right)라 하면 g\left(x\right)+K\ge0 for all x\in\left[a,b\right]이다. 이를 바탕으로

    \begin{align*} \int_{a}^{b}f\left(x\right)\left(g\left(x\right)+K\right)dx & =\sum_{k=1}^{n}\int_{x_{k-1}}^{x_{k}}f\left(x\right)\left(g\left(x\right)+K\right)dx\\ & \le\sum_{k=1}^{n}f\left(x_{k-1}\right)\int_{x_{k-1}}^{x_{k}}\left(g\left(x\right)+K\right)dx\\ & =\sum_{k=1}^{n}f\left(x_{k-1}\right)\left[\Delta G_{k}+K\left(x_{k}-x_{k-1}\right)\right]\\ & =\sum_{k=1}^{n}f\left(x_{k-1}\right)\Delta G_{k}+KS_{n}\left(f\right) \end{align*}

를 얻는다. 여기서 summation by part를 쓰기 위해 G\left(a\right)=0이고 f가 감소함수고 f\left(b\right)\ge0임에 주목하라.

    \begin{align*} \sum_{k=1}^{n}f\left(x_{k-1}\right)\Delta G_{k} & =-\sum_{k=1}^{n}G\left(x_{k}\right)\Delta f_{k}+f\left(b\right)G\left(b\right)-f\left(a\right)G\left(a\right)\\ & =-\sum_{k=1}^{n}G\left(x_{k}\right)\Delta f_{k}+f\left(b\right)G\left(b\right)\\ & \le-M\sum_{k=1}^{n}\Delta f_{k}+f\left(b\right)G\left(b\right)=M\left[f\left(a\right)-f\left(b\right)\right]+f\left(b\right)G\left(b\right)\\ & \le Mf\left(a\right) \end{align*}

를 얻는다. 이제 마지막으로

    \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)\left(g\left(x\right)+K\right)dx\le Mf\left(a\right)+KS_{n}\left(f\right) \]

를 얻고 f\left[a,b\right]에서 monotone 함수이므로 리만적분가능하므로 \left\Vert P\right\Vert \rightarrow0일 때, KS_{n}\left(f\right)\rightarrow K\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx이다.
이로부터

    \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)g\left(x\right)dx\le Mf\left(a\right)=f\left(a\right)\sup_{x\in\left[a,b\right]}G\left(x\right) \]

이다. g대신 위 식에 -g를 대입하면

    \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)g\left(x\right)dx\ge\mu f\left(a\right)=f\left(a\right)\inf_{x\in\left[a,b\right]}G\left(x\right) \]

을 얻는다. G\left(x\right)\left[a,b\right]에서 연속함수이므로 중간값의 정리에
의하여

    \[ f\left(a\right)G\left(\xi\right)=\int_{a}^{b}f\left(x\right)g\left(x\right)dx \]

\xi\in\left(a,b\right)가 존재한다.


 

이제 증명을 할 준비가 모두 끝났다. 증명이 다소 길긴 하지만, 복잡하지는 않다.

Proof of Sharp estimates. 이 정리를 증명하기 위해 몇 가지 단계로 나누어 증명을 한다. 일반성을 잃지 않고 F^{\prime}\left(x\right)>0이라 가정하자.

Step 1. t\in\mathbb{R}라 하자. 그러면 \left|e^{it}\right|=1이므로

    \[ \left|\int_{a}^{b}e^{iF\left(x\right)}dx\right|=\left|e^{it}\int_{a}^{b}e^{iF\left(x\right)}dx\right|=\left|\int_{a}^{b}e^{i\left(F\left(x\right)+t\right)}dx\right| \]

를 얻는다. 위 등식은 모든 t\in\mathbb{R}에 대해서 항상 성립한다.

    \begin{align*} U\left(t\right) & :=\int_{a}^{b}\cos\left(F\left(x\right)+t\right)dx\\ V\left(t\right) & :=\int_{a}^{b}\sin\left(F\left(x\right)+t\right)dx \end{align*}

라 정의하면 오일러 등식과 복소수의 크기의 정의에 의하여

    \begin{align*} \left|\int_{a}^{b}e^{iF\left(x\right)}dx\right|^{2} & =\left|U\left(t\right)+iV\left(t\right)\right|^{2}\\ & =U\left(t\right)^{2}+V\left(t\right)^{2} \end{align*}

이 성립한다. 이로부터 우리가 원하는 부등식을 얻기 위해서는 U\left(t\right)V\left(t\right)를 분석하면 된다는 결론을 얻었다.

일반성을 잃지 않고 F^{\prime}\left(x\right)이 monotonically increasing한다고 가정하자. 그러면

    \begin{align*} U\left(t\right): & =\int_{a}^{b}\frac{1}{F^{\prime}\left(x\right)}F^{\prime}\left(x\right)\cos\left(F\left(x\right)+t\right)dx\\ & =\int_{a}^{b}\frac{1}{F^{\prime}\left(x\right)}d\left(\sin\left(F\left(x\right)+t\right)\right) \end{align*}

임을 안다. F^{\prime}\left(x\right)은 positive이고 monotonically increasing하므로 \frac{1}{F^{\prime}\left(x\right)} 또한 positive이고 monotonically decreasing 한다. 그러므로 Lemma에 의하여 t에 의존하는 실수 c\left(t\right)\in\left(a,b\right)가 존재하며 이는

(1)   \begin{align*} U\left(t\right) & =\frac{1}{F^{\prime}\left(a\right)}\int_{a}^{c\left(t\right)}d\left(\sin\left(F\left(x\right)+t\right)\right)\nonumber \\ & =\frac{1}{F^{\prime}\left(a\right)}\left[\sin\left(u\left(t\right)\right)-\sin\left(F\left(a\right)+t\right)\right] \end{align*}

이며 u\left(t\right):=F\left(c\left(t\right)\right)+t이다.

같은 논리에 의하여

(2)   \begin{align*} V\left(t\right) & =\frac{1}{F^{\prime}\left(a\right)}\int_{c}^{\tilde{c}\left(t\right)}d\left(\cos\left(F\left(x\right)+t\right)\right)\nonumber \\ & =\frac{1}{F^{\prime}\left(a\right)}\left[-\cos\left(v\left(t\right)\right)+\cos\left(F\left(a\right)+t\right)\right] \end{align*}

이며 여기서 v\left(t\right):=F\left(\tilde{c}\left(t\right)\right)+t이다.

따라서 이로부터

    \begin{align*} &\left|\int_{a}^{b}e^{iF\left(x\right)}dx\right|^{2} \\ =& \left|U\left(t\right)+iV\left(t\right)\right|^{2}\\ =& \frac{1}{\left(F^{\prime}\left(a\right)\right)^{2}}\left[\left(\sin\left(u\left(t\right)\right)-\sin\left(F\left(a\right)+t\right)\right)^{2}+\left(-\cos\left(v\left(t\right)\right)+\cos\left(F\left(a\right)+t\right)\right)^{2}\right] \end{align*}

를 얻는다. 좌변의 정의에 의하여 이 값은 t에 영향을 받지 않는다는 것을 다시 상기하라. 이것으로 Step 1은 끝.

Step 2. U\left(t\right)V\left(t\right)의 특징에 대해서 분석을 한다.

    \begin{align*} U\left(t\right) & :=\int_{a}^{b}\cos\left(F\left(x\right)+t\right)dx\\ V\left(t\right) & :=\int_{a}^{b}\sin\left(F\left(x\right)+t\right)dx \end{align*}

이므로 \sin\left(F\left(x\right)+t\right)\cos\left(F\left(x\right)+t\right)t에 대하여 \mathbb{R}에서 미분가능하므로 Leibniz rule에 의하여 U\left(t\right),V\left(t\right)가 모두 \mathbb{R}위에서 연속함수이고, 미분가능한 함수다. Leibniz rule에 의하여

    \begin{align*} \frac{dU\left(t\right)}{dt} & =\int_{a}^{b}\partial_{t}\left(\cos\left(F\left(x\right)+t\right)\right)dx=-V\left(t\right),\\ \frac{dV\left(t\right)}{dt} & =\int_{a}^{b}\partial_{t}\left(\sin\left(F\left(x\right)+t\right)\right)dx=U\left(t\right) \end{align*}

이다. 이를 통해 UV가 1번 미분가능하며, 또한 그 도함수 또한 연속함수임을 UV의 정의로부터 알 수 있다.

이와 같은 논리를 반복하면 U\left(t\right),V\left(t\right)\in\mathscr{C}^{\infty}\left(\mathbb{R}\right)이다. 또, (1)와 (2)에 의하여 \sin\left(u\left(t\right)\right)
\cos\left(v\left(t\right)\right)t에 관하여 \mathbb{R}위에서 미분가능하다. 이 결과가 매우 좋은것은 보통 u\left(t\right)v\left(t\right)가 어떤 구조를 가질지 전혀 모르는 상황에서 \sin이나 \cos을 씌웠더니 미분가능한 함수라는 특성이 나타난다는 것은 매우 좋은 상황이다. 이로서 Step 2가 끝난다.

Step 3. \sin\left(u\left(t\right)\right)\cos\left(v\left(t\right)\right)에 대해서 조금 더 자세한 분석이 필요하다. 그렇기 때문에 다음과 같은 system of ODE를 생각해보자. \left(U\left(t\right)\right)^{\prime}=-V\left(t\right), \left(V\left(t\right)\right)^{\prime}=U\left(t\right)라는 조건으로부터

    \[ \begin{cases} \frac{d}{dt}\left(\sin\left(u\left(t\right)\right)\right)=\cos\left(v\left(t\right)\right)\\ \frac{d}{dt}\left(\cos\left(v\left(t\right)\right)\right)=-\sin\left(u\left(t\right)\right) \end{cases} \]

임을 알 수 있으며, \left(\cos\left(u\left(t\right)\right),\sin\left(v\left(t\right)\right)\right)\in\left[-1,1\right]\times\left[-1,1\right] for all t\in\mathbb{R}임은 당연하다. 이 ODE의 general solution은

(3)   \begin{equation*} \begin{cases} \sin\left(u\left(t\right)\right)=r\sin\left(t+k\right)\\ \cos\left(v\left(t\right)\right)=r\cos\left(t+k\right) \end{cases} \end{equation*}

이다. 여기서 r,k\in\mathbb{R}인 상수. 이로서 Step 3가 끝난다.

Step 4. \left(\cos\left(v\left(t\right)\right),\sin\left(u\left(t\right)\right)\right)를 하나 생각해보도록 하자. 그럼 식 (3)에 의하여 이 점을 원점을 중심으로 하고 반지름의 크기가 \left|r\right|인 원위에 있는 것으로 생각할 수 있다.

-1\le\cos\left(v\left(t\right)\right)\le1, -1\le\sin\left(u\left(t\right)\right)\le1가 성립하는 것은 \sin,\cos의 정의에 의해 자명하다.

\left(\cos\left(v\left(t\right)\right),\sin\left(u\left(t\right)\right)\right)이 위치할 수 모든 가능성을 생각해보면 0\le\left|r\right|\le\sqrt{2}임을 알 수 있다. 그런데

    \[ \left|\int_{a}^{b}e^{iF\left(x\right)}dx\right|=\left|\int_{a}^{b}e^{i\left(F\left(x\right)+t\right)}dx\right| \]

가 모든 t\in\mathbb{R}에 대하여 성립하고, \cos\left(v\left(t\right)\right), \sin\left(u\left(t\right)\right)가 모든 t에 대하여 연속함수이므로 0\le\left|r\right|\le1이다.
1<\left|r\right|\leq\sqrt{2}를 만족하는 r을 하나 생각해보면, (3)식에서 원주가 disconnected된 arc가 존재한다. 이는 \cos\left(v\left(t\right)\right),\sin\left(u\left(t\right)\right)가 연속이라는 가정에 모순이다. \left|r\right|\le1일 때는, 원주가 완전하게 \left[-1,1\right]\times\left[-1,1\right]에 들어간다.

Step 5. 이제 증명을 마무리 짓도록 하자. 우리가 앞서 system of ODE의 general solution (3)를 알고 있다. 그리고 Step 4에 의하여 r\in\left[-1,1\right]이고 k\in\mathbb{R}이다. 이제 general solution을 (1)에 대입하면

(4)   \begin{equation*} \left|\int_{a}^{b}e^{iF\left(x\right)}dx\right|^{2}=\frac{1}{\left(F^{\prime}\left(a\right)\right)^{2}}\left[r^{2}+1-2r\cos\left(F\left(a\right)-k\right)\right] \end{equation*}

임을 알고 있으며 이 또한 t에 의존하는 결과가 아님을 식으로서 확인했다.

\cos\left(F\left(a\right)-k\right)에 있는 실수 k\left[-1,1\right]의 모든 값을 취할 수 있도록 적당히 조정할 수 있다.

이제 Sharp bound를 얻기 위한 마무리를 시작하도록 하자. -1\le r\le1, -1\le\cos\left(F\left(a\right)-k\right)\le1가 되도록 k를 잘 고르면,

    \[ \left|r^{2}+1-2r\cos\left(F\left(a\right)-k\right)\right|\le\left|r^{2}+1\right|+2\left|r\right|\left|\cos\left(F\left(a\right)-k\right)\right|\le4 \]

이다. 여기서 이 maximum은 r=\pm1 \cos\left(F\left(a\right)-k\right)=\mp1일 때 얻어진다. 그러므로

    \[ r^{2}+1-2r\cos\left(F\left(a\right)-k\right)\le4 \]

이고

    \[ \left|\int_{a}^{b}e^{iF\left(x\right)}dx\right|^{2}=\frac{1}{\left(F^{\prime}\left(a\right)\right)^{2}}\left[r^{2}+1-2r\cos\left(F\left(a\right)-k\right)\right]\le\frac{4}{\left(F^{\prime}\left(a\right)\right)^{2}}\le\frac{4}{\lambda^{2}} \]

이다.

여기서 F^{\prime}\left(x\right)가 positive고 증가함수라는 가정을 추가한다면 부등식의 방향이나 결과는 변하지 않기 때문에

    \[ \left|\int_{a}^{b}e^{iF\left(x\right)}dx\right|\le\frac{2}{\lambda} \]

를 얻는다.

만약 monotone decreasing라는 가정으로 바꾸어도, 결론은 마찬가지로 변하지 않는다.

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