Calderón–Zygmund decomposition

By | November 26, 2017

이번 글에서는 조화해석학과 편미분방정식 이론의 역사를 바꿔버린 Calder\’on-Zygmund decomposition을 증명하는 것을 목표로 한다.

    \[ K\left(t\right)=\frac{1}{\pi t} \]

라 하자. K\left(t\right)는 원점을 포함한 작은 구간에서도 적분이 불가능한 함수다. 공학적인 응용에서 다음과 같은 적분변환을 생각하는 경우가 많다.

    \[ Hf\left(x\right)=\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_{\left|y\right|\ge\varepsilon}K\left(x-y\right)f\left(y\right)dy. \]

이는 수학자 힐베트의 이름을 따와 힐버트 변환이라고 부른다. f\in L^{p}\left(\mathbb{R}\right)에 대하여 1928년에 M. Riesz가 1\le p<\infty일 때 위 식이 잘 정의된다는 것을 증명했으며,

    \[ \Norm{Hf}_{L^{p}}\le C_{p}\Norm f_{L^{p}} \]

와 같은 estimate가 되도록 하는 상수 C_{p}가 존재함을 보였다. 여기서 p의 영역은 1<p<\infty이다. K\left(x-y\right)x=y에 있을 때 정의되지 않는 것 때문에, Hf\left(x\right)
정의하는 적분의 극한이 존재하지 않을 것 같지만, 이 경우에는 잘 정의되며, L^{p}-estimate 또한 잘 성립한다는 것을 알 수 있었다. 이와 같은 형태의 적분변환을 singular integral operator라 부른다.
이 정리를 증명할 때, 복소함수론의 코시정리를 이용하고 Riesz-Thorine interpolation을 사용하는데, 복소함수론의 방법의 특성상 이 결과를 일변수가 아닌 다변수에서 정의된 함수에서는 증명을 하는 것이 쉽지 않다. 이를 가능하게 만든 것이 Calderón-Zygmund theory이며, 이번 절에서 증명할 정리는 이 Calderón–Zygmund theory를 건설하기 위한 기본 보조정리다.

Lemma (Calderón-Zygmund). Let f be a non-negative integrable function on \mathbb{R}^{n} and let \alpha be a positive constant. Then there exists a decomposition of \mathbb{R}^{n} so that

  1.  \mathbb{R}^{n}=F\cup\Omega, F\cap\Omega=\varnothing;
  2. f\left(x\right)\le\alpha almost everywhere on F;
  3. \Omega is the union of cubes, \Omega=\bigcup_{k}Q_{k}, whose interiors are disjoint and for each Q_{k},

        \[ \alpha<\frac{1}{m\left(Q_{k}\right)}\int_{Q_{k}}f\left(x\right)dx\le2^{n}\alpha \]

    and

        \[ m\left(\Omega\right)\le\frac{A}{\alpha}\Norm f_{L^{1}}. \]

Proof. f가 적분가능하므로, \mathbb{R}^{n}을 축과 평행하고, 크기가 같고, interior가 서로 겹치지 않으며

    \[ \frac{1}{m\left(Q\right)}\int_{Q}f\left(x\right)dx\le\alpha \]

가 되도록 하는 cube Q들로 쪼개자. 이러한 cube은 존재한다. Lattice 점을 기준으로 각 변을 2등분 해서 만드는 과정을 해서 얻어낸다. 이러한 cube들은 물론 countable하다. 이제 Q^{\left(0\right)}를 하나 고정하고, 각 변을 이등분 해서 2^{n}개의 합동 cube를 만들어낸다. Q^{\left(1\right)}을 그러한 cube중 하나라고 하면, 두 가지 케이스로 나눌 수 있을 것이다: 하나는

    \[ \frac{1}{m\left(Q^{\left(1\right)}\right)}\int_{Q^{\left(1\right)}}f\left(x\right)dx\le\alpha \]

인 경우, 또 하나는

    \[ \frac{1}{m\left(Q^{\left(1\right)}\right)}\int_{Q^{\left(1\right)}}f\left(x\right)dx>\alpha \]

인 경우.

만약에 두 번째 경우라면, 그 cube는 그대로 냅두도록 하자. 이러한 cube들을 모은 것을 \mathcal{Q}라 쓰자. 그러면

    \[ \alpha<\frac{1}{m\left(Q^{\left(1\right)}\right)}\int_{Q^{\left(1\right)}}f\left(x\right)dx\le\frac{1}{2^{-n}m\left(Q^{\left(0\right)}\right)}\int_{Q^{\left(0\right)}}f\left(x\right)dx\le2^{n}\alpha \]

을 얻게 된다.

만약에 첫 번째 경우라면, Q^{\left(1\right)}을 다시 각 변을 이등분해서 2^{n}개의 합동 cube를 만들어낸다. 그리고나서 앞선 판정을 계속 진행한다. 이러한 과정으로부터 만들어진 \mathcal{Q}는 당연히 countable이다. 이제

    \[ \mathcal{Q}=\left\{ Q_{k}:k\in\mathbb{N}\right\} \]

이라 쓰고 \Omega=\bigcup_{k=1}^{\infty}Q_{k}, F=\Omega^{c}라 하자. 그러면 \left\{ Q_{k}\right\}의 interior가 disjoint하다는 것으로부터

    \[ m\left(\Omega\right)=\sum_{k=1}^{\infty}m\left(Q_{k}\right)<\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\alpha}\int_{Q_{k}}f\left(x\right)dx=\frac{1}{\alpha}\Norm f_{L^{1}} \]

을 얻는다. 이제 x\in\Omega^{c}를 보면, \Omega의 정의로부터

    \[ \frac{1}{m\left(\tilde{Q_{k}}\right)}\int_{\tilde{Q}_{k}}f\left(x\right)dx\le\alpha \]

를 만족하고 x\in\tilde{Q}_{k}이면서 \mathrm{diam}\left(\tilde{Q}_{k}\right)\rightarrow0인 cube들을 생각할 수 있다. 따라서 Lebesgue differentiation theorem에 의하여 거의 모든 x\in F에 대하여

    \[ f\left(x\right)=\lim_{m\left(\tilde{Q}_{k}\right)\rightarrow0}\frac{1}{m\left(\tilde{Q_{k}}\right)}\int_{\tilde{Q}_{k}}f\left(x\right)dx\le\alpha \]

를 얻는다.


이 분해의 결과로 다변수에서의 singular integral theory를 전개할 수 있게 되며, 그 내용이 다음에 연재할 글이다.

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